ギメル関数

公理的集合論において、ギメル関数は基数を基数に マッピングする次の関数です。

${\displaystyle \gimel \colon \kappa \mapsto \kappa ^{\mathrm {cf} (\kappa )}}$

ここで、 cf は共終関数を表します。ギメル関数は連続関数と基数指数関数の研究に使用されます。記号はヘブライ文字gimelのセリフ体です。 ${\displaystyle \gimel}$

ギメル関数は、 ケーニッヒの定理により、すべての無限基数に対して特性を持ちます。 ${\displaystyle \gimel (\kappa )>\kappa }$${\displaystyle \kappa}$

正規基数 、 の場合、イーストンの定理によれば、この関数の値についてはあまりわかっていません。特異 の場合 、 の上限はShelahのPCF 理論から見つけることができます 。 ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \gimel (\kappa )=2^{\kappa }}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \gimel (\kappa )}$

ギメルの仮説によれば、 となります。本質的には、これは、に対して特異値がツェルメロ-フランケル集合論の公理によって許容される最小の値であることを意味します（一貫性を仮定）。 ${\displaystyle \gimel (\kappa )=\max(2^{{\text{cf}}(\kappa )},\kappa ^{+})}$${\displaystyle \gimel (\kappa )}$${\displaystyle \kappa}$

この仮説によれば、基数指数は単純化されますが、連続体仮説（ギメル仮説を意味する） ほど単純化されるわけではありません。

Bukovsky (1965) は、すべての基数指数は次のようにギメル関数によって (再帰的に) 決定されることを示しました。

• が無限正規基数（特に任意の無限後続基数）である場合、${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle 2^{\kappa }=\gimel (\kappa )}$
• が無限かつ特異であり、連続関数が最終的に以下で一定である場合、${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle 2^{\kappa }=2^{<\kappa }}$
• が極限であり、連続関数がそれ以下では最終的に一定でない場合${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle 2^{\kappa }=\gimel (2^{<\kappa })}$

残りのルールは、 とが両方とも無限である場合に当てはまります。 ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \lambda}$

• ℵ ₀ ≤ κ ≤ λの場合、κ ^λ = 2 ^λ
• 一部のμ < κについてμ ^λ ≥ κの場合、κ ^λ = μ ^λ
• すべてのμ < κおよびcf( κ ) ≤ λについてκ > λおよびμ ^λ < κの場合、κ ^λ = κ ^cf(κ)
• すべてのμ < κおよびcf( κ ) > λについてκ > λおよびμ λ < ^κの場合、κ ^λ = κ

• アレフ数
• ベス番号

• Bukovský, L. (1965)、「連続体問題とアレフの累乗」、Comment. Math. Univ. Carolinae、6 : 181– 197、hdl :10338.dmlcz/105009、MR  0183649
• Jech, Thomas J. (1973)、「ギメル関数の特性と特異基数の分類」(PDF)、Fund. Math.、Andrzej Mostowski の 60 歳の誕生日を記念した論文集、I.、81 (1): 57– 64、doi : 10.4064/fm-81-1-57-64、MR  0389593
• Thomas Jech、 『集合論』、第3千年紀版、2003年、Springer Monographs in Mathematics、Springer、ISBN 3-540-44085-2。