充実したカテゴリ

数学の一分野である圏論において、豊饒圏は、ホム集合を一般的なモノイド圏の対象に置き換えることで、局所的に小さい圏の概念を一般化したものです。これは、多くの実際的な応用において、ホム集合がしばしば尊重すべき追加の構造、例えば射のベクトル空間や射の位相空間であるといった構造を持つという観察に基づいています。豊饒圏では、任意の対象ペアに関連付けられた射の集合（ホム集合）が、ある固定された「ホム対象」のモノイド圏の対象に置き換えられます。通常の圏における射の（結合的な）合成を模倣するためには、hom-圏はhom-対象を結合的に合成する手段を持たなければならない。つまり、対象に対して少なくともモノイド圏の構造を与える二項演算が存在しなければならないが、場合によっては、その演算は可換である必要があり、右随伴も必要となる可能性がある（つまり、それぞれ圏を対称モノイド圏または対称閉モノイド圏にする）。^[¹^]

拡張されたカテゴリー理論は、同じ枠組みの中で、以下のような多様な構造を包含する。

通常の圏において、ホム集合が集合であることに加えて、追加の構造を持つ場合。つまり、合成によって尊重される必要のある射に対する演算や射の性質が存在する場合（例えば、2圏における射間の2セルの存在とその水平合成、あるいはアーベル圏における射に対する加算演算など）。
それ自体は個々の射の概念を持たないが、そのホムオブジェクトが同様の構成的側面を持つカテゴリのような実体（例えば、構成規則が推移性を保証する前順序、またはホムオブジェクトが数値距離であり、構成規則が三角不等式を提供するローヴェールの距離空間）。

hom対象圏が通常の直積を持つ集合の圏である場合、豊饒圏、豊饒関手などの定義は、通常の圏論における元の定義に帰着する。

モノイド圏Mの hom-対象を持つ豊饒圏は、 M 上の豊饒圏、M 内の豊饒圏、または単にM-圏と呼ばれます。マックレーンがモノイド圏を表す際に文字 V を好んで使用したため、豊饒圏は一般にV-圏 と呼ばれることもあります。

意味

$(M, \otimes, I, α, λ, ρ)を$ モノイド圏とする。このとき、豊饒圏C (あるいは、モノイド圏の選択を明示的にする必要がある場合は、M上で豊饒化された圏、またはM -圏) は、以下から構成される。

Cのオブジェクトのクラスob ( C ) 、
Mのオブジェクト $C (a, b)は、$ C内の任意のオブジェクトa、bのペアに対して、矢印を定義するために使用されます。 $f:a\rightarrow b$ C言語では矢印として $f:I\rightarrow C(a,b)$ Mでは、
M内の各オブジェクトaの識別子を指定する矢印 $id a : I \to C (a, a)$ があり、
M内の矢印 $° abc : C (b, c) \otimes C (a, b) \to C (a, c)は、$ C内のオブジェクトの各トリプルa、b、cの合成を指定し、合成を定義するために使用されます。 $f:a\rightarrow b$ そして $g:b\rightarrow c$ C言語では $g\circ _{\textbf {C}}f={^{\circ }}_{abc}(g\otimes f)$ 下記で説明する3つの通勤図とともに。

最初の図は、構成の連想性を表しています。

つまり、結合法則の要件は、モノイド圏Mの結合子によって引き継がれる。

Mが集合の圏であり、( $\otimes, I, α, λ, ρ)$ が直積、終端一点集合、およびそれらが誘導する標準同型写像によって与えられるモノイド構造 $(\times, {•}, ...)である場合、各$ $C$ $($ $a$ $,$ $b$ $)は、その要素が$ Cの「個別射」とみなせる集合であり、関数である ° は、連続する射がどのように合成されるかを定義します。この場合、最初の図で $C$ $($ $a$ $,$ $d$ $)に至る各経路は、連続する 3 つの個別射$ $a$ $\to$ $b$ $\to$ $c$ $\to$ $d$ を合成する 2 つの方法のうちの 1 つに対応します。つまり、 $C$ $($ $a$ $,$ $b$ $)$ 、 $C$ $($ $b$ $,$ $c$ $)$ および $C$ $($ $c$ $,$ $d$ $)$ の要素です。したがって、図の可換性は、通常の圏で要求されるのとまったく同じように、合成の順序が両方とも同じ結果を与えるという記述にすぎません。

ここで新しいのは、上記の式が、拡張された圏C内の個々の射への明示的な参照なしに結合性の要件を表現している点です。繰り返しますが、これらの図はモノイド圏M内の射に関するものであり、C内の射に関するものではありません。したがって、hom-オブジェクト $C (a, b)$ が抽象的であり、C自体が個々の射の概念を持つ必要すらない一般の場合において、合成の結合性の概念が意味を持つようになります。

通常の圏には恒等射がなければならないという考え方は、左および右の単位元を用いて恒等性を表現する第２および第３の図式によって置き換えられる。

そして

M が直積を持つ集合の圏である場合に戻ると、射 $id a : I \to C (a, a)$ は一点集合Iからの関数となり、任意の対象aに対して、各集合 $C (a, a)$ の特定の要素を識別しなければなりません。これは、 Cにおけるaの恒等射と考えることができます。後者の 2 つの図の可換性とは、これらの区別された個々の「 Cにおける恒等射」を含む合成 (関数 ° で定義される) が、通常の圏の恒等規則とまったく同じように振る舞うという記述です。

ここで言及されている「アイデンティティ」には、いくつかの異なる概念が存在することに注意してください。

Mのモノイド恒等オブジェクト $I は、$ モノイド理論的な意味でのみ ⊗ の恒等であり、その場合でも標準的な同型 $($ $λ$ $,$ $ρ$ $)$ までしか恒等ではありません。
M が（少なくとも）通常の圏であることにより、Mの各対象に対して持つ恒等射 $1 C (a, b) : C (a, b) \to C (a, b) 。$
Cの各オブジェクトaに対する拡張カテゴリの同一性 id $a : I \to C (a, a) は、$ Mの射であり、 C が独自の個別の射を持つとみなされる場合でも、必ずしも特定の射を識別するものではありません。

拡張カテゴリの例

通常の圏は、上記のように、デカルト積をモノイド演算とする集合の圏( Set , ×, {•})上で拡張された圏です。
2-カテゴリーは、小さなカテゴリーのカテゴリーであるCat上で拡張されたカテゴリーであり、デカルト積によってモノイド構造が与えられます。この場合、射a → bとそれらを関連付ける垂直合成規則の間の2-セルは、通常のカテゴリーC ( a , b )の射とその合成規則に対応します。
局所的に小さい圏とは、デカルト積をモノイド演算とする小集合の圏( SmSet , ×)上で拡張された圏のことである。（局所的に小さい圏とは、そのホム対象が小集合である圏のことである。）
局所的に有限な圏は、類推により、デカルト積をモノイド演算とする有限集合の圏である ( FinSet , ×)上で豊かになった圏である。
Cが閉じたモノイド圏であるならば、Cはそれ自身において豊饒である。
順序付き集合は、あるモノイド圏2上に拡張された圏であり、2 つのオブジェクトと、それらの間にFALSE → TRUEと書ける単一の非恒等矢印から構成されます。モノイド演算は論理積、モノイド恒等式はTRUE です。ホムオブジェクト2 ( a , b ) は、与えられたオブジェクトペア ( a , b ) 上の特定の二項関係を単純に否定または肯定します。より馴染みのある表記法のために、この関係を $a$ $\leq$ $b$ と書くことができます。2上に拡張された圏に必要な合成と恒等式の存在は、それぞれ次の公理に直結します。

b ≤ cかつa ≤ b ⇒ a ≤ c (推移律)

真⇒ a ≤ a (反射律)

これらは、≤ が前順序であるための公理に他なりません。そして、2のすべての図式は可換であるため、これが2上で拡張された圏の拡張圏公理の唯一の内容です。

ウィリアム・ローヴェアの一般化距離空間（擬似準距離空間とも呼ばれる）は、非負拡張実数 $R +\infty$ 上に豊穣化された圏であり、後者は通常の順序の逆（つまり、r ≥ sの場合に限り射r → s が存在する）によって通常の圏構造を与えられ、加算（+）とゼロ（0）によってモノイド構造が与えられます。 hom-オブジェクト $R$ $+\infty$ $($ $a$ $,$ $b$ $)$ は本質的に距離 d( a , b ) であり、合成と恒等性の存在は、

d( b , c ) + d( a , b ) ≥ d( a , c ) (三角不等式)

0 ≥ d( a , a )

ゼロ射を持つ圏は、モノイド演算としてスマッシュ積を持つ点付き集合の圏( Set* , ∧)上で豊かになった圏です。hom-オブジェクト Hom( A , B ) の特殊点は、 AからBへのゼロ射に対応します。
可換群の圏Abと可換環上の加群の圏R-Mod、および与えられた体上のベクトル空間の圏Vect は、自身上で豊饒化されており、射は「点ごとに」代数構造を継承します。より一般的には、前加法圏は、テンソル積をモノイド演算とする ( Ab , ⊗)上で豊饒化された圏です(可換群をZ加群と考える)。

モノイド関手との関係

モノイド圏Mからモノイド圏Nへのモノイド関手が存在する場合、 M上で豊饒化された任意の圏は、N上で豊饒化された圏として再解釈できます。すべてのモノイド圏M は、集合の圏へのモノイド関手M ( I , – ) を持つため、豊饒化された任意の圏は、基底となる通常の圏を持ちます。多くの例 (上記など) では、この関手は忠実であるため、 M上で豊饒化された圏は、特定の追加構造または性質を持つ通常の圏として記述できます。

拡張ファンクター

拡張ファンクターとは、ファンクターの概念を拡張圏に適切に一般化したものである。拡張ファンクターは、拡張構造を尊重する拡張圏間の写像である。

CとDがM圏 (つまり、モノイド圏M上で豊饒化された圏)である場合、 M豊饒化関手またはM関手T : C → Dは、 Cの各対象にDの対象を割り当て、 C内の対象aとbの各ペアに対して、CとDの hom-対象(M の対象) 間のMにおける射T _ab : C ( a , b ) → D ( T ( a ), T ( b ) )を提供する写像であり、関手の公理の豊饒版、すなわち同一性および合成の保存を満たします。

homオブジェクトは豊饒圏の集合である必要がないため、特定の射について語ることはできません。恒等射の概念も、2つの射の特定の合成の概念ももはや存在しません。代わりに、単位からhomオブジェクトへの射は恒等射の選択として、モノイド積からの射は合成として考えるべきであると考えるべきである。通常の関数公理は、これらの射を含む対応する可換図式に置き換えられます。

詳細には、図は次のようになっている。

通勤、つまり次の式

T_{aa}\circ \operatorname {id} _{a}=\operatorname {id} _{T(a)},

ここで、IはMの単位対象である。これは、通常のファンクターに対する規則F (id _a ) = id _{F ( a )}に類似している。さらに、図式が次の条件を満たす必要がある。

可換性は、通常のファンクターに対する規則F ( fg )= F ( f ) F ( g ) に類似しています。

また、豊饒なファンクター間の豊饒な自然変換という概念もあり、M圏、Mファンクター、M自然変換の関係は通常の圏論における関係を反映しています。すなわち、対象がM圏である2 圏M - catがあり、(1-)射はそれらの間のMファンクターであり、2-射はそれらの間のM自然変換です。

注記

↑ Hinich 2016、1.1

参考文献

Kelly, GM (2005) [1982].拡張圏理論の基本概念. 圏の理論と応用の再録. Vol. 10.
Mac Lane、Saunders （ 1998年9月）。『数学者のためのカテゴリー論』。大学院数学テキストシリーズ。第 5巻（第2 版）。Springer。ISBN 0-387-98403-8。
Lawvere, FW (2002) [1973].メトリック空間、一般化論理、および閉じたカテゴリ。カテゴリの理論と応用の再録。第 1 巻。
n Labの充実したカテゴリ
Hinich, Vladimir (2016). "Enriched Yoneda Lemma" (PDF) . Theory and Applications of Categories . 31 (29): 833– 838.

[1] Hinich 2016、1.1

[

意味

拡張カテゴリの例

モノイド関手との関係

拡張ファンクター

関連項目

注記

参考文献