反ド・ジッター空間

数学と物理学において、n次元反ド・ジッター空間（AdS _n）は、一定の負のスカラー曲率を持つ最大対称 ローレンツ多様体である。反ド・ジッター空間とド・ジッター空間は、ライデン大学の天文学教授でライデン天文台の所長であったウィレム・ド・ジッター（1872年 - 1934年）にちなんで名付けられた。ウィレム・ド・ジッターとアルバート・アインシュタインは1920年代にライデンで宇宙の時空構造について緊密に協力した。ポール・ディラックは1963年に反ド・ジッター空間を厳密に研究した最初の人物である。 ^{[1] [2] [3] [4]}

一定曲率の多様体は、2 次元の場合に最もよく知られており、楕円平面または球面は一定の正の曲率の表面であり、平面 (つまりユークリッド) は一定のゼロ曲率の表面であり、双曲面は一定の負の曲率の表面です。

アインシュタインの一般相対性理論では、空間と時間を同等の立場に置いているため、空間と時間を別々に考えるのではなく、統一された時空の幾何学を考慮することになります。曲率が一定の時空のケースは、ド・ジッター空間 (正)、ミンコフスキー空間(ゼロ)、反ド・ジッター空間 (負) です。したがって、これらはそれぞれ正、ゼロ、負の宇宙定数を持つ空の宇宙に対するアインシュタイン場の方程式の正確な解です。

反ド・ジッター空間は、任意の数の空間次元に一般化されます。高次元では、反ド・ジッター空間はAdS/CFT 対応での役割で最もよく知られています。これは、弦理論を使用して、特定の数 (たとえば 4) の量子力学の力 (電磁気、弱い力、強い力など) を、反ド・ジッター空間に弦が存在する弦理論で記述し、さらに 1 つの (非コンパクトな) 次元を追加できることを示しています。

最大対称なローレンツ多様体は、空間と時間のどの点も他の点と区別できない時空であり、（ローレンツ多様体であるため）方向（または時空点における経路の接線）を区別できる唯一の方法は、それが空間的、光的、または時間的であるかどうかです。特殊相対性理論の空間（ミンコフスキー空間）がその一例です。

一定のスカラー曲率とは、物質やエネルギーが存在しない場合に時空のどこでも同じ単一の数値で記述される曲率を持つ、一般相対性理論の重力のような時空の曲がりを意味します。

負の曲率は、鞍型の表面やトランペットのベルに似たガブリエルの角の表面のように、双曲的に曲がっていることを意味します。

一般相対性理論は、時間、空間、重力の性質に関する理論であり、重力は物質またはエネルギーの存在によって生じる空間と時間の曲率です。エネルギーと質量は等価です(式E  =  mc ²で表されます)。空間と時間の値は、値を光速で乗算または除算することで、それぞれ時間と空間の単位に関連付けることができます (例: 秒数とメートル/秒数を掛けるとメートルになります)。

よくある例え話としては、重い物体を乗せると平らなゴム板が凹み、近くを転がる小さな物体の進路に影響を及ぼし、重い物体がなかったらたどっていたはずの進路から内側に逸れてしまうというものがあります。もちろん、一般相対性理論では、小さな物体も大きな物体も時空の曲率に相互に影響を及ぼします。

物質によって生み出される重力の引力は、時空の負の曲率によるもので、ゴムシートの例えでは、シートの負に曲がった（トランペットのベルのような）くぼみで表されます。

一般相対性理論の重要な特徴は、重力を電磁力のような従来の力としてではなく、物質やエネルギーの存在から生じる時空の幾何学的変化として記述することです。

上記の例えは、一般相対性理論における重力によって引き起こされる 2 次元空間の曲率を、3 次元超空間で表したもので、3 次元目は重力の影響に対応します。一般相対性理論に関する幾何学的な考え方では、現実世界の 4 次元空間を 5 次元超空間に投影し、5 次元目は一般相対性理論における重力と重力のような影響によって生じる時空の曲率に対応します。

その結果、一般相対性理論では、おなじみのニュートンの重力方程式 (つまり、2 つの物体間の引力は、重力定数にそれらの質量の積をそれらの間の距離の 2 乗で割った値に等しい) は、一般相対性理論で見られる重力効果の近似値にすぎません。ただし、この近似値は、相対速度 (特に光) や非常に大きくて密度の高い質量などの極端な物理的状況では不正確になります。 ${\displaystyle \textstyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\ }$

一般相対性理論では、重力は時空が曲がっている（「歪んでいる」）ことによって生じます。重力を曲がった空間に帰することはよくある誤解です。相対性理論では、空間も時間も絶対的な意味を持ちません。しかし、地球上のように弱い重力を説明するには、特定の座標系での時間の歪みを考慮するだけで十分です。地球上の重力は非常に顕著ですが、相対論的な時間の歪みを検出するには精密な機器が必要です。私たちが日常生活で相対論的効果に気づかない理由は、光速（c =）の値が巨大であるからです。速度は秒速約30万 キロメートルで、これによって私たちは空間と時間を別のものとして認識するのです。

ド・ジッター空間は、物質やエネルギーが存在しない場合に時空がわずかに曲がるという一般相対性理論のバリエーションです。これは、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の関係に似ています。

物質やエネルギーが存在しないときの時空の固有の曲率は、一般相対性理論における宇宙定数によってモデル化されます。これは、エネルギー密度と圧力を持つ真空に対応します。この時空幾何学により、瞬間的に平行な時間的測地線^[b]が発散し、空間的セクションは正の曲率を持ちます。

一般相対性理論における反ド・ジッター空間は、時空の曲率の符号が変わることを除いてド・ジッター空間に似ている。反ド・ジッター空間では、物質やエネルギーが存在しない状態で、空間的断面の曲率は負であり、双曲幾何学に対応し、瞬間的に平行な時間的測地線^[b]が最終的に交差する。これは負の宇宙定数に対応し、空の空間自体は負のエネルギー密度を持ちながら正の圧力を持ち、遠方の超新星の観測から（漸近的）ド・ジッター空間に対応する正の宇宙定数が示される我々の宇宙の標準的なΛCDM モデルとは異なる。

反ド・ジッター空間では、ド・ジッター空間と同様に、固有の時空曲率は宇宙定数に対応します。

反ド・シッター空間AdS _2は、時間的ラベルと空間的ラベルの交換を通じて、ド・シッター空間dS _{2でもある。} ^[5]このような再ラベル付けは、通常、空間的ラベルが付けられた方向を参照する曲率の符号を反転する。

上記のアナロジーは、1 次元高い平坦な周囲空間における重力によって生じる 2 次元空間の曲率を説明しています。同様に、4 次元の (湾曲した) ド・ジッター空間と反ド・ジッター空間は、5 次元の (平坦な) 擬似リーマン空間に埋め込むことができます。これにより、埋め込まれた空間内の距離と角度を、5 次元の平坦な空間内の距離と角度から直接決定できます。

この記事の残りの部分では、これらの概念の詳細を、より厳密で正確な数学的および物理的な説明で説明します。人間は 5 次元以上のものを視覚化するのに不向きですが、数式は同じように難しくなく、視覚化しやすい 3 次元および 4 次元の概念を説明するために数式が使用する方法と同じくらい適切な方法で 5 次元の概念を表すことができます。

より正確な数学的記述には、上記のド・ジッター空間と反ド・ジッター空間の類推に基づく発見的記述とは異なる、特に重要な意味合いがあります。反ド・ジッター空間の数学的記述は、曲率の概念を一般化します。数学的記述では、曲率は特定の点の特性であり、時空内の曲がった点が溶け合う目に見えない表面から切り離すことができます。そのため、たとえば、現実世界の幾何学では完全に表現できない特異点（一般相対性理論で最もよく知られているのはブラックホール）などの概念は、数式の特定の状態に対応できます。

完全な数学的記述は、一般相対性理論における空間のような次元と時間のような次元の間の微妙な区別も捉えています。

球面空間と双曲空間が、1 つ高い次元の平坦な空間 (それぞれ球面と擬球面) への等長埋め込みによって視覚化できるのと同様に、反ド・ジッター空間は、1 つ追加の次元の空間における球面のローレンツ類似体として視覚化できます。追加の次元は時間的です。この記事では、時間的方向の計量は負であるという規則を採用します。

署名( p , q )の反ド・ジッター空間は、座標( x1 ,..., _xp,t1,...,tq + ₁ )の空間_に等_長的に埋め込まれ、計量_は${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q+1}}$

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{p}dx_{i}^{2}-\sum _{j=1}^{q+1}dt_{j}^{2}}$

準球体として

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}x_{i}^{2}-\sum _{j=1}^{q+1}t_{j}^{2}=-\alpha ^{2},}$

ここで、は長さ（曲率半径）の次元を持つ非ゼロの定数です。これは、原点からの「距離」（二次形式によって決定）が一定である点の集合という意味で（一般化された）球ですが、図に示すように、 視覚的には双曲面です。${\displaystyle \alpha}$

反ド・ジッター空間上の計量は、周囲計量から誘導される計量である。これは非退化であり、 q = 1の場合はローレンツ符号を持つ。

q = 0のとき、この構成は標準的な双曲空間を与えます。残りの議論はq ≥ 1 のときに適用されます。

q ≥ 1の場合、上記の埋め込みには時間的閉じた曲線が含まれます。たとえば、 によってパラメータ化され、他のすべての座標が 0 であるパスは、そのような曲線です。q ≥ 2の場合、これらの曲線は幾何学に固有のものです (当然のことながら、複数の時間次元を持つ空間には時間的閉じた曲線が含まれます)。しかし、q = 1の場合、普遍被覆空間に渡すことでこれらの曲線を除去でき、埋め込みを効果的に「展開」できます。 同様の状況が擬似球 で発生します。擬似球 は、双曲平面ではそうではありませんが、それ自身で丸まります。その結果、双曲平面ではそうではない、自己交差直線 (測地線) が含まれます。一部の著者は、反ド・ジッター空間を埋め込まれた準球自体と同等と定義し、他の著者は、反ド・ジッター空間を埋め込みの普遍被覆と同等と定義しています。 ${\displaystyle t_{1}=\alpha \sin(\tau ),t_{2}=\alpha \cos(\tau ),}$

普遍被覆が取られていない場合、( p , q )反ド・シッター空間は等長変換群としてO( p , q + 1)を持ちます。普遍被覆が取られている場合、等長変換群はO( p , q + 1)の被覆です。これは、以下に示す商空間構成を使用して、反ド・シッター空間を対称空間として定義すると最も簡単に理解できます。

物理学者ピョートル・ビゾンとアンジェイ・ロストウォロウスキーが2011年に提唱した未証明の「AdS不安定性仮説」は、AdSの特定の形状の任意の小さな摂動がブラックホールの形成につながると述べています。^[6]数学者ゲオルギオス・モシディスは、球対称性を前提とすると、内部ミラーを備えたアインシュタインゼロダストシステム（2017年）とアインシュタイン質量ゼロのブラソフシステム（2018年）の特定のケースでこの仮説が成り立つことを証明しました。^{[7] [8]}

空間の一部を覆う座標パッチは反ド・ジッター空間の半空間座標を与える。このパッチの 計量テンソルは

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{y^{2}}}\left(-dt^{2}+dy^{2}+\sum _{i}dx_{i}^{2}\right),}$

半空間を与える。この計量は平坦な半空間ミンコフスキー時空と 共形的に等価である。${\displaystyle y>0}$

この座標パッチの定数時間スライスは、ポアンカレ半空間計量における双曲空間です。 の極限では、この半空間計量はミンコフスキー計量 と共形的に同値です。したがって、反ド・ジッター空間には、無限遠（このパッチでは「無限遠」は y 座標が 0 になります）に共形ミンコフスキー空間が含まれます。 ${\displaystyle y\to 0}$${\textstyle ds^{2}=-dt^{2}+\sum _{i}dx_{i}^{2}}$

AdS では、空間時間は周期的であり、普遍カバーは非周期的な時間を持ちます。上記の座標パッチは、時空の単一周期の半分をカバーします。

AdS の共形無限大は時間的であるため、共形無限大に関連付けられた境界条件がない限り、空間的超曲面上の初期データを指定しても、将来の進化を一意に (つまり決定論的に) 決定することはできません。

隣の画像は、反ド・ジッター空間の「半空間」領域とその境界を表しています。円筒の内部は反ド・ジッター時空に対応し、円筒の境界はその共形境界に対応しています。内部の緑色の影付き領域は、半空間座標で覆われた AdS 領域に対応し、2 つのヌル(光のような) 測地線超平面で囲まれています。表面の緑色の影付き領域は、ミンコフスキー空間で覆われた共形空間領域に対応しています。

緑色の網掛け領域は AdS 空間の半分と共形時空の半分をカバーします。緑色の円盤の左端は右端と同じように接触します。

2次元球面の場合と同様に

${\displaystyle S^{2}={\mathrm {O} (3)}/{\mathrm {O} (2)}}$

は2つの直交群の商であり、パリティ（反射対称性）と時間反転対称性を持つ反ド・ジッターは2つの一般化直交群の商として見ることができる。

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}={\mathrm {O} (2,n-1)}/{\mathrm {O} (1,n-1)}}$

一方、PやCを除いたAdSは商として見ることができる。

${\displaystyle {\mathrm {Spin} ^{+}(2,n-1)}/{\mathrm {Spin} ^{+}(1,n-1)}}$

スピングループの。

この商の定式化は、同次空間の構造を与える。一般化直交群のリー代数は、行列によって与えられる。 ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$${\displaystyle {\mathcal {o}}(1,n)}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}}&{\begin{pmatrix}\cdots 0\cdots \\\leftarrow v^{t}\rightarrow \end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}\vdots &\uparrow \\0&v\\\vdots &\downarrow \end{pmatrix}}&B\end{pmatrix}}}$、

ここで は歪対称行列である。 のリー代数における相補生成子は ${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {o}}(2,n)}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&a\\-a&0\end{matrix}}&{\begin{pmatrix}\leftarrow w^{t}\rightarrow \\\cdots 0\cdots \\\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}\uparrow &\vdots \\w&0\\\downarrow &\vdots \end{pmatrix}}&0\end{pmatrix}}.}$

これら 2 つは を満たします。明示的な行列計算により、 および であることが示されます。したがって、反ド・ジッターは、簡約同次空間であり、非リーマン対称空間です。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle [{\mathcal {H}},{\mathcal {Q}}]\subseteq {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle [{\mathcal {Q}},{\mathcal {Q}}]\subseteq {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$は、負の宇宙定数（ ）を持つアインシュタイン-ヒルベルト作用を伴う重力理論のn次元真空解であり、次のラグランジアン密度で記述される理論です。 ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Lambda <0}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{16\pi G_{(n)}}}(R-2\Lambda )}$、

ここで、G _{( n ) は}n次元時空における重力定数です。したがって、これはアインシュタインの場の方程式の解です。

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=0,}$

ここで、はアインシュタインテンソル、 は時空の計量です。半径を と導入すると、この解は、 次の制約により 、計量が座標にある- 次元平坦時空に浸すことができます。${\displaystyle G_{\mu \nu }}$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle \alpha }$${\textstyle \Lambda ={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle \mathrm {diag} (-1,-1,+1,\ldots ,+1)}$${\displaystyle (X_{1},X_{2},X_{3},\ldots ,X_{n+1})}$

${\displaystyle -X_{1}^{2}-X_{2}^{2}+\sum _{i=3}^{n+1}X_{i}^{2}=-\alpha ^{2}.}$

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$グローバル座標では次のパラメータによってパラメータ化されます。 ${\displaystyle (\tau ,\rho ,\theta ,\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n-3})}$

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}=\alpha \cosh \rho \cos \tau \\X_{2}=\alpha \cosh \rho \sin \tau \\X_{i}=\alpha \sinh \rho \,{\hat {x}}_{i}\qquad \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1\end{cases}}}$、

ここで球をパラメータ化し、座標に関しては、、、などとなります。これらの座標における計量は次のとおりです。 ${\displaystyle {\hat {x}}_{i}}$${\displaystyle S^{n-2}}$${\displaystyle \varphi _{i}}$${\displaystyle {\hat {x}}_{1}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\ldots \sin \varphi _{n-3}}$${\displaystyle {\hat {x}}_{2}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\ldots \cos \varphi _{n-3}}$${\displaystyle {\hat {x}}_{3}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\ldots \cos \varphi _{n-2}}$${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

${\displaystyle ds^{2}=\alpha ^{2}\left(-\cosh ^{2}\rho \,d\tau ^{2}+\,d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\rho \,d\Omega _{n-2}^{2}\right)}$

ここで、およびです。時間の周期性を考慮し、閉じた時間的曲線(CTC)を避けるために、普遍被覆 を取る必要があります。極限では、通常共形境界と呼ばれるこの時空の境界に近づくことができます。 ${\displaystyle \tau \in [0,2\pi ]}$${\displaystyle \rho \in \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \rho \to \infty }$${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

変換とを使用すると、グローバル座標で 通常のメトリックを取得できます。${\displaystyle r\equiv \alpha \sinh \rho }$${\displaystyle t\equiv \alpha \tau }$${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

${\displaystyle ds^{2}=-f(r)\,dt^{2}+{\frac {1}{f(r)}}\,dr^{2}+r^{2}\,d\Omega _{n-2}^{2}}$

どこ${\displaystyle f(r)=1+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}}$

次のパラメータ化により:

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}={\frac {\alpha ^{2}}{2r}}\left(1+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{4}}}\left(\alpha ^{2}+{\vec {x}}^{2}-t^{2}\right)\right)\\X_{2}={\frac {r}{\alpha }}t\\X_{i}={\frac {r}{\alpha }}x_{i}\qquad i\in \{3,\ldots ,n\}\\X_{n+1}={\frac {\alpha ^{2}}{2r}}\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{4}}}\left(\alpha ^{2}-{\vec {x}}^{2}+t^{2}\right)\right)\end{cases}},}$

ポアンカレ座標における計量は次のとおりです 。${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\,dt^{2}+{\frac {\alpha ^{2}}{r^{2}}}\,dr^{2}+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\,d{\vec {x}}^{2}}$

ここで、 です。余次元 2 の表面はポアンカレキリング地平線であり、時空の境界に近づきます。したがって、グローバル座標とは異なり、ポアンカレ座標はすべての多様体をカバーするわけではありません。このメトリックを使用すると、次のように記述できます。 ${\displaystyle 0\leq r}$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle r\to \infty }$${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$ ${\displaystyle u\equiv {\frac {r}{\alpha ^{2}}}}$

${\displaystyle ds^{2}=\alpha ^{2}\left({\frac {\,du^{2}}{u^{2}}}+u^{2}\,dx_{\mu }\,dx^{\mu }\right)}$

ここで。変換により、次のように書くこともできます。 ${\displaystyle x^{\mu }=\left(t,{\vec {x}}\right)}$${\displaystyle z\equiv {\frac {1}{u}}}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}\left(\,dz^{2}+\,dx_{\mu }\,dx^{\mu }\right).}$

この後者の座標は、AdS/CFT 対応で通常使用される座標であり、AdS の境界は です。 ${\displaystyle z\to 0}$

AdSは最大対称性を持つため、FRW時空のような空間的に一様で等方的な形式にキャストすることも可能です（フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量を参照）。空間幾何学は負に曲がっている（開いている）必要があり、計量は

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sin ^{2}(t/\alpha )dH_{n-1}^{2},}$

ここで、は次元双曲面上の標準計量である。もちろん、これはAdS​​のすべてを網羅するものではない。これらの座標は、グローバル埋め込み座標と次のように関連している。 ${\displaystyle dH_{n-1}^{2}=d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\rho d\Omega _{n-2}^{2}}$${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}=\alpha \cos(t/\alpha )\\X_{2}=\alpha \sin(t/\alpha )\cosh \rho \\X_{i}=\alpha \sin(t/\alpha )\sinh \rho \,{\hat {x}}_{i}\qquad 3\leq i\leq n+1\end{cases}}}$

ここで、をパラメータ化します。 ${\displaystyle \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1}$${\displaystyle S^{n-3}}$

させて

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}&=\alpha \sinh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)\sinh \left({\frac {t}{\alpha }}\right)\cosh \xi ,\\X_{2}&=\alpha \cosh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right),\\X_{3}&=\alpha \sinh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)\cosh \left({\frac {t}{\alpha }}\right),\\X_{i}&=\alpha \sinh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)\sinh \left({\frac {t}{\alpha }}\right)\sinh \xi \,{\hat {x}}_{i},\qquad 4\leq i\leq n+1\end{aligned}}}$

ここで、をパラメータ化します。すると、メトリックは次のようになります。 ${\displaystyle \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1}$${\displaystyle S^{n-3}}$

${\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2},}$

どこ

${\displaystyle ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {t}{\alpha }}\right)dH_{n-2}^{2}}$

は、開スライス座標における曲率半径を持つ次元ド・ジッター空間の計量である。双曲計量は次のように与えられる。 ${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle dH_{n-2}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}(\xi )d\Omega _{n-3}^{2}.}$

半径を持つAdS _n計量は、最大対称n次元時空の 1 つです。次の幾何学的特性を持ちます。 ${\displaystyle \alpha }$

リーマン曲率テンソル

${\displaystyle R_{\mu \nu \alpha \beta }={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}(g_{\mu \alpha }g_{\nu \beta }-g_{\mu \beta }g_{\nu \alpha })}$

リッチ曲率

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}(n-1)g_{\mu \nu }}$

スカラー曲率

${\displaystyle R={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}n(n-1)}$

• 清明鄭 (2001) [1994]、「反ド・ジッター空間」、数学百科事典、EMS プレス
• エリス、GFR ;ホーキング、SW（1973）、時空の大規模構造、ケンブリッジ大学出版局、pp. 131-134
• Frances, C. (2005)。「反ド・ジッター時空の共形境界」。AdS/CFT 対応: アインシュタイン計量とその共形境界。IRMA 数学および理論物理学講義。第 8 巻。チューリッヒ: ヨーロッパ数学協会。pp. 205–216。doi :10.4171 / 013-1/ 8。ISBN 978-3-03719-013-5。
• 松田 秀 (1984). 「反ド・ジッター空間への上半空間の等長埋め込みに関するノート」(PDF) .北海道数学ジャーナル. 13 (2): 123–132. doi : 10.14492/hokmj/1381757712 .2017年2月4日閲覧。
• ウルフ、ジョセフ A. (1967)。定曲率空間。p. 334。

• ド・シッター空間と反ド・シッター空間の簡易ガイド – ド・シッター空間と反ド・シッター空間の教育的入門書。本文は簡略化されており、数学はほとんど使用されていません。付録は技術的な内容で、物理学または数学の知識を持つ読者を対象としています。