アンビエント建築

共形幾何学において、アンビエント構築とは、チャールズ・フェファーマンとロビン・グラハム^[1]による構築を指し、 n次元の共形多様体が、あるポアンカレ多様体の境界として（アンビエントに）実現されるか、あるいはある擬リーマン多様体の天球として実現される。

アンビエント構成は、計量の共形クラスのみを使用して実行されるという意味で標準的であり、共形不変です。ただし、構成は、特定の近似次数まで漸近的にのみ機能します。一般に、この拡張を臨界次数を超えて継続するには障害があります。障害自体はテンソル特性を持ち、（共形）障害テンソルとして知られています。これは、ワイルテンソルとともに、共形微分幾何学における2つの原始不変量の1つです。

妨害テンソルとは別に、アンビエント構成はGJMS演算子として知られる共形不変微分演算子のクラスを定義するために使用できます。^[2]

関連する構造としてトラクターバンドルがあります。

アンビエント構築のモデル平面幾何学は、原点が削除されたミンコフスキー空間の未来ヌル円錐です。無限遠の天球は共形多様体Mであり、円錐のヌル光線はM上の線束を決定します。さらに、ヌル円錐は円錐の生成子の方向に退化する計量を持ちます。

この平坦なモデル空間におけるアンビエント構築は、次のような疑問を投げかけます。そのような線束とその退化した計量が与えられた場合、標準的な方法で計量をヌル円錐からどの程度まで拡張し、アンビエントミンコフスキー空間を回復できるか？ 形式的には、退化した計量は拡張問題に対するディリクレ境界条件を提供し、偶然にも、拡張された計量がリッチ平坦であることが自然な条件となります（通常の共形接続の正規化のため）。

アンビエント構築は、まず退化した計量を持つ自然なヌルラインバンドルNを構築し、次にN ×(-1,1)上の関連するディリクレ問題を解くことによって、 Mが共形に曲がっている場合にこれを一般化します。

このセクションでは、まずヌルラインバンドルの構築の概要を示し、次にそのアンビエント拡張の概要を示します。

M が共形多様体であり、[ g ] がM上で定義された共形計量を表すと仮定する。π : N → M が、共形計量のすべての代表によって定義された T ^* M ⊗ T ^* Mのトートロジー部分束を表すものとする。固定された背景計量g ₀に関して、N は計量のすべての正の倍数 ω ² g _{0から構成される。} Nに対するR ⁺の自然な作用があり、次式で与えられる。

${\displaystyle \delta _{\omega }g=\omega ^{2}g}$

さらに、Nの全空間はトートロジー退化計量を持ち、pがπ: N → Mのファイバーの点であり、共形代表g _pに対応する場合、

${\displaystyle h_{p}(X_{p},Y_{p})=g_{p}(\pi _{*}X,\pi _{*}Y).}$

この計量は垂直方向に沿って退化する。さらに、 Nに対するR ⁺作用の下で 2 次同次である。

${\displaystyle \delta _{\omega }^{*}h=\omega ^{2}h}$

X をスケーリング アクションを生成する垂直ベクトル フィールドと します。次のプロパティがすぐにわかります。

h ( X ,-) = 0

L _X h = 2 h、ここでL _{X は}ベクトル場Xに沿ったリー微分です。

N ^~ = N × (-1,1)とし、自然包含i  : N → N ^~とする。拡大 δ _{ω は自然に}N ^~まで拡張され、したがって拡大の生成元Xも N ~ まで拡張される。

N ^~上のアンビエント計量は、ローレンツ計量h ^~であって、

• 計量は同次である: δ _ω ^* h ^~ = ω ² h ^~
• 計量はアンビエント拡張です: i ^* h ^~ = h、ここでi ^*は自然な包含に沿ったプルバックです。
• メトリックはリッチフラットです: Ric( h ^~ ) = 0。

M上で、共形計量gの固定された代表値と局所座標系x = ( x ⁱ ) が選択されたと仮定します。これらは、Nのファイバー内の点を( x , t ² g ( x ))と同一視することでN上の座標を誘導します。ここで、 t > 0 はファイバー座標です。(これらの座標では、X = t ∂ _tです。) 最後に、 ρ がN ^~内のNの定義関数であり、拡大に関して次数 0 の同次である場合、 ( x , t ,ρ) はN ^~の座標です。さらに、次数 2 の同次である任意の拡大計量は、これらの座標で次の形式で表すことができます。

${\displaystyle h^{\sim}=t^{2}g_{ij}(x,\rho )dx^{i}dx^{j}+2\rho dt^{2}+2tdtd\rho ,\,}$

ここで、g _{ij は、与えられた共形代表値である}g ( x ,0) = g ( x ) を満たすn ²関数です。

計算してみると、リッチ平坦度は次の微分方程式と等価であることがわかります。ここで、プライムは ρ に関する微分です。

${\displaystyle \rho g_{ij}''-\rho g^{kl}g_{ik}'g_{jl}+{\tfrac {1}{2}}\rho g^{kl}g_{kl} 'g_{ij}'+{\frac {2-n}{2}}g_{ij}'-{\tfrac {1}{2}}g^{kl}g_{kl}'g_{ij}+\mathrm {Ric} (g)_{ij}=0.}$

次に、この方程式をρのべき級数として正式に解くことで、ヌルコーンからのアンビエント計量の漸近展開を得ることができる。例えば、ρ = 0を代入して解くと、

g _ij ^′ ( x ,0) = 2 P _ij

ここで、Pはスハウテンテンソルです。次に、再度微分し、既知の値g _ij ^′ ( x ,0) を式に代入すると、2 次導関数がバッハテンソルの倍数であることがわかります。以下同様に続きます。

• AdS/CFT通信
• ホログラフィック原理

• Charles Fefferman、Robin Graham、C. (2007)。「アンビエントメトリック」。arXiv : 0710.0919 [ math.DG]。