一様8次元多面体

8次元幾何学において、8次元多面体または8-多面体とは、 7-多面体の面によって囲まれた多面体であり、各6-多面体の稜線はちょうど2つの 7-多面体の面によって共有される。

均一な8次元多面体とは、頂点推移性を持ち、均一な7次元多面体の面から構成される多面体のことである。

正8多面体

正8多面体は、各ピークの周りにv { p,q,r,s,t,u,v} 7多面体の面を持つシュレーフリ記号{ p,q,r,s,t,u}で表すことができます。

このような凸型の正8多面体はちょうど3つ存在する。

{3,3,3,3,3,3,3} - 8単体
{4,3,3,3,3,3,3} - 8キューブ
{3,3,3,3,3,3,4} - 8-オルトプレックス

非凸な正8多面体は存在しない。

特徴

任意の8次元多面体のトポロジーは、そのベッチ数とねじれ係数によって定義される。^{[ 1 ]}

多面体を特徴付けるために用いられるオイラー標数の値は、高次元に有用に一般化できず、基礎となるトポロジーに関わらず、すべての8次元多面体に対してゼロとなる。高次元における異なるトポロジーを確実に区別する上でオイラー標数が不十分であることから、より洗練されたベッチ数が発見された。^{[ 1 ]}

同様に、多面体の向き付け可能性の概念は、トーラス多面体の表面のねじれを特徴付けるには不十分であり、これがねじれ係数の使用につながった。^{[ 1 ]}

基本コクセター群による均一な8次元多面体

これらの4つのコクセター群は、コクセター・ディンキン図の環の順列によって表され、反射対称性を持つ均一な8次元多面体を生成することができる。

各ファミリーから選ばれた正多面体および均一多面体は以下のとおりです。

単体族: A ₈ [3 ⁷ ] -
- 群図における環の順列として表される135個の均一な8次元多面体（正則多面体1個を含む）：
  1. {3 ⁷ } - 8-シンプレックスまたはennea-9-トープまたはenneazetton -
ハイパーキューブ/直交多様体: B ₈ [4,3 ⁶ ] -
- 群図における環の順列として表される255個の均一な8次元多面体（正則多面体2個を含む）：
  1. {4,3 ⁶ } - 8キューブまたは八角形-
  2. {3 ⁶ ,4} - 8-直交多角形または八角形-
半超立方体D ₈ファミリー: [3 ^5,1,1 ] -
- 群図における環の順列として表される191個の均一な8次元多面体。以下を含む。
  1. {3,3 ^5,1 } - 8-デミキューブまたはデミオクタクト、1 ₅₁ - ; また h{4,3 ⁶ } -とも呼ばれる
  2. {3,3,3,3,3,3 ^1,1 } - 8-オルトプレックス、5 ₁₁ -
E多面体ファミリーE ₈ファミリー: [3 ^4,1,1 ] -
- 群図における環の順列として表される255個の均一な8次元多面体。以下を含む。
  1. {3,3,3,3,3 ^2,1 } -トロルド・ゴセットの半正則4 ₂₁、
  2. {3,3 ^4,2 } - 一様1 ₄₂、、
  3. {3,3,3 ^4,1 } - 一様2 ₄₁、

均一な角柱状

一様な角柱状のファミリーは数多く存在し、以下のようなものがある。

A8ファミリー

A ₈ファミリーは、362880 次 (9 の階乗) の対称性を持つ。

1つ以上の環を持つコクセター・ディンキン図のすべての順列に基づく形式は135種類あります（128 + 8 − 1ケース）。これらはすべて以下に列挙されています。相互参照のために、括弧内にはバウワーズ式の頭字語名が示されています。

これらの多面体の対称コクセター平面グラフについては、8単体多面体のリストも参照してください。

B8ファミリー

B _{8ファミリーは、10321920 次 (8 の}階乗× 2 ⁸ )の対称性を持つ。1つ以上の環を持つコクセター・ディンキン図のすべての順列に基づく形式は 255 種類存在する。

これらの多面体の対称コクセター平面グラフについては、 B8多面体のリストも参照してください。

D ₈ファミリー

D ₈ファミリーは、5,160,960 次 (8 の階乗× 2 ⁷ ) の対称性を持っています。

_{このファミリーには、1つ以上のリングを持つD 8}コクセター・ディンキン図の3 × 64 − 1個の順列から得られる191個のウィソフ型均一多面体が含まれています。そのうち127個（2 × 64 − 1個）はB ₈ファミリーから重複しており、64個はこのファミリー固有のものです。これらはすべて以下にリストされています。

これらの多面体のコクセター平面グラフについては、D8多面体のリストを参照してください。

E ₈ファミリー

E ₈ファミリーの対称次数は 696,729,600 です。

1つ以上の環を持つコクセター・ディンキン図のすべての順列に基づく形式は255種類あります。以下に8種類の形式を示します。4種類は単一環、3種類は切断（2環）、そして最後の完全切断です。相互参照のために、バウワーズ式の頭字語名を使用しています。

この族のコクセター平面グラフに対応するE8多面体のリストも参照してください。

規則的で均一なハニカム構造

コクセター・ディンキン図は、図のファミリー間および図内の高次対称性間の対応関係を示します。各行において同じ色のノードは、同一の鏡像を表します。黒色のノードは対応関係において有効ではありません。

7次元空間において、規則的かつ均一なテセレーションを生成する基本的なアフィン・コクセター群は5つ存在する。

規則的で均一なテセレーションには以下が含まれます。

$\displaystyle {\tilde {A}}_{7}}$ $\displaystyle {\tilde {A}}_{7}}$ 29種類の独特な環状構造を持つ形態を含む。
- 7-単体ハニカム: {3 ^[8] }
$\displaystyle {\tilde {C}}_{7}}$ $\displaystyle {\tilde {C}}_{7}}$ 135種類の独特な環状模様を持つ形態、以下を含む：
- 通常の7キューブハニカム：{4,3 ⁴ ,4} = {4,3 ⁴ ,3 ^1,1 }、=
$\displaystyle {\tilde {B}}_{7}}$ $\displaystyle {\tilde {B}}_{7}}$ 191 独自の環状形態、127 は $\displaystyle {\tilde {C}}_{7}}$ $\displaystyle {\tilde {C}}_{7}}$ 、そして新たに加わった64の作品には以下が含まれる。
- 7-10立方体ハニカム：h{4,3 ⁴ ,4} = {3 ^1,1 ,3 ⁴ ,4}, =
${\チルダ {D}}_{7}$ ${\チルダ {D}}_{7}$ , [3 ^1,1 ,3 ³ ,3 ^1,1 ]: 77 の固有のリング順列があり、そのうち 10 は新しいもので、最初のコクセターは4 分の 7 立方体のハニカムと呼ばれています。
- 、、、、、、、、、、
${\チルダ {E}}_{7}$ ${\チルダ {E}}_{7}$ 143種類の独特な環状模様を持つ形態、以下を含む：
- 1 ₃₃ハニカム: {3,3 ^3,3 }、
- 3 ₃₁ハニカム: {3,3,3,3 ^3,1 },

規則的で均一な双曲型ハニカム

階数8のコンパクト双曲コクセター群、すなわちすべての面が有限で頂点図形が有限なハニカムを生成できる群は存在しない。しかし、階数8のパラコンパクト双曲コクセター群は4つ存在し、それぞれがコクセター図の環の置換として7次元空間に均一なハニカムを生成する。

参考文献

1 2 3 Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology、プリンストン、2008 年。
1 2クリッツィング。
↑クリッツィング、 (x3o3x3o3o3o3o3x3 - xorene)。
↑クリッツィング、 x3o3x3o3o3o3o4o - スレック。
↑クリッツィング、 (x3o3o *b3o3o3o3x3o - ソトー)。
↑クリッツィング、 (x3o3o *b3o3o3o3o3x - spuho)。

T. ゴッセ：n次元空間における正則図形と半正則図形について、数学の使者、マクミラン、1900年
A. ブール・ストット(1910)。「正多面体と空間充填からの半正則の幾何学的演繹」(PDF)。アムステルダムのVerhandelingen der Koninklijke Academy van Wetenschappen。Ⅹ（１）．アムステルダム：ヨハネス・ミュラー。 2025 年 4 月 29 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
HSMコクセター：
- HSM Coxeter、MS Longuet-Higgins、JCP Miller:一様な多面体、Philosophical Transactions of the Royal Society of London、1954年
- HSM Coxeter著、『正多面体』第3版、ドーバー出版、ニューヨーク、1973年
- 『万華鏡：HSM コクセター選集』、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、エイジア・イヴィッチ・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、wiley.com、ISBN 978-0-471-01003-6
  - （論文22）HSM Coxeter、「正多面体と半正多面体 I」、[Math. Zeit. 46 (1940) 380–407、MR 2,10]
  - （論文23）HSM Coxeter、「正多面体と半正多面体 II」、[Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  - （論文24）HSM Coxeter、「正則多面体と半正則多面体 III」、[Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
NWジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、トロント大学博士論文、1966年
クリッツィング、リチャード。「8D 均一多面体 (ポリゼッタ) と頭字語」。

外部リンク

多面体名
様々な次元の多面体
多次元用語集

[richeson-1] 1 2 3 Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology、プリンストン、2008 年。

[FOOTNOTEKlitzing-2] 1 2クリッツィング。

[FOOTNOTEKlitzing[httpsbendwavyorgklitzingincmatsxorenehtm_(x3o3x3o3o3o3o3x3_-_xorene)]-3] クリッツィング、 (x3o3x3o3o3o3o3x3 - xorene)。

[FOOTNOTEKlitzing[httpsbendwavyorgklitzingincmatssrekhtm_x3o3x3o3o3o3o4o_-_srek]-4] クリッツィング、 x3o3x3o3o3o3o4o - スレック。

[FOOTNOTEKlitzing[httpsbendwavyorgklitzingincmatssothohtm_(x3o3o_*b3o3o3o3x3o_-_sotho)]-5] クリッツィング、 (x3o3o *b3o3o3o3x3o - ソトー)。

[FOOTNOTEKlitzing[httpsbendwavyorgklitzingincmatsspuhohtm_(x3o3o_*b3o3o3o3o3x_-_spuho)]-6] クリッツィング、 (x3o3o *b3o3o3o3o3x - spuho)。

[ 1 ]

一様8次元多面体

正8多面体

特徴