一様7次元多面体

7次元幾何学において、7多面体とは、 6多面体の面によって囲まれた多面体のことである。各5多面体の稜線は、ちょうど2つの6多面体の面によって共有される。

一様7多面体とは、その対称群が頂点に関して推移的であり、その面が一様6多面体である多面体のことである。

正 7 多面体は、各 4 面の周りにu { p,q,r,s,t } 6 多面体の面を持つSchläfli 記号{p,q,r,s,t,u} で表されます。

このような凸型の正則7次元多面体は、正確に3つ存在する。

1. {3,3,3,3,3,3} - 7-単体
2. {4,3,3,3,3,3} - 7キューブ
3. {3,3,3,3,3,4} - 7-オルトプレックス

非凸な正7多面体は存在しない。

任意の7次元多面体のトポロジーは、そのベッチ数とねじれ係数によって定義される。^{[ 1 ]}

多面体を特徴付けるために用いられるオイラー標数の値は、その基礎となるトポロジーに関わらず、高次元には有効に一般化できない。高次元における異なるトポロジーを確実に区別する上でオイラー標数が不十分であるというこの問題が、より洗練されたベッティ数の発見につながった。^{[ 1 ]}

同様に、多面体の向き付け可能性の概念は、トーラス多面体の表面のねじれを特徴付けるには不十分であり、これがねじれ係数の使用につながった。^{[ 1 ]}

これらの4つのコクセター群は、コクセター・ディンキン図の環の順列によって表され、反射対称性を持つ均一な7次元多面体を生成することができる。

A ₇ファミリーは、40320 次 (8 の階乗) の対称性を持つ。

1つ以上の環を持つコクセター・ディンキン図のすべての順列に基づく形式は71（64 + 8 − 1）種類あります。以下に71種類すべてを列挙します。ノーマン・ジョンソンの切り捨て名も記載しています。相互参照のために、バウワーズの名前と頭字語も記載しています。

これらの多面体の対称コクセター平面グラフについては、A7多面体のリストも参照してください。

B ₇ファミリーは、645120 次 (7 の階乗x 2 ⁷ ) の対称性を持っています。

1つ以上の環を持つコクセター・ディンキン図のすべての順列に基づいた形式は127種類あります。相互参照のために、バウワーズの名前と頭字語が示されています。

これらの多面体の対称コクセター平面グラフについては、 B7多面体のリストも参照してください。

D ₇ファミリーは、322560 次 (7 の階乗× 2 ⁶ ) の対称性を持つ。

_{このファミリーには、D 7}コクセター・ディンキン図の 1 つ以上のノードをマークすることによって生成される、3 × 32 − 1 = 95 個のウィソフ型一様多面体があります。これらのうち、63 個 (2 × 32 − 1) は B ₇ファミリーから重複しており、32 個はこのファミリー固有のものです。以下にリストします。相互参照のために、バウワーズの名前と頭字語を記載しています。

これらの多面体のコクセター平面グラフについては、D7多面体のリストも参照してください。

E ₇コクセター群の位数は2,903,040である。

1つ以上の環を持つコクセター・ディンキン図のすべての順列に基づいた形式は127種類あります。相互参照のために、バウワーズの名前と頭字語が示されています。

これらの多面体の対称コクセター平面グラフについては、E7多面体のリストも参照してください。

6次元空間において、規則的かつ均一なテセレーションを生成する基本的なアフィン・コクセター群は5つ、プリズム群は16個存在する。

規則的で均一なテセレーションには以下が含まれます。

• $\displaystyle {\tilde {A}}_{6}}$17のフォーム
  • 均一な6単体ハニカム：{3 ^[7] }
  • 一様サイクロトレンテッド6単体ハニカム：t _0,1 {3 ^[7] }
  • 一様全切断6単体ハニカム：t _{0,1,2,3,4,5,6,7} {3 ^[7] }
• $\displaystyle {\tilde {C}}_{6}}$, [4,3 ⁴ ,4], 71 形式
  • 正六立方体ハニカム、記号{4,3 ⁴ ,4}で表される。
• $\displaystyle {\tilde {B}}_{6}}$, [3 ^1,1 ,3 ³ ,4], 95 フォーム、64 が共有されています$\displaystyle {\tilde {C}}_{6}}$32件の新しい
  • 均一な6-10 立方体ハニカムは、記号 h{4,3 ⁴ ,4} = {3 ^1,1 ,3 ³ ,4}で表されます。
• ${\displaystyle {\チルダ {D}}_{6}}$, [3 ^1,1 ,3 ² ,3 ^1,1 ], 41 個の固有の環状順列、そのほとんどは以下と共有されています$\displaystyle {\tilde {B}}_{6}}$そして$\displaystyle {\tilde {C}}_{6}}$、そして6は新しいものです。コクセターは最初のものを4分の1 6立方ハニカムと呼んでいます。
  • =
  • =
  • =
  • =
  • =
  • =
• ${\displaystyle {\チルダ {E}}_{6}}$: [3 ^2,2,2 ]、39形式
  • 均一な2 ₂₂ハニカム: 記号 {3,3,3 ^2,2 } で表されます。
  • 均一な t ₄ (2 ₂₂ ) ハニカム: 4r{3,3,3 ^2,2 }、
  • 均一な0 ₂₂₂ハニカム: {3 ^2,2,2 }、
  • 均一な t ₂ (0 ₂₂₂ ) ハニカム: 2r{3 ^2,2,2 }、

反射型7次元均一多面体は、ウィソフ構成法によって構築され、各ノードが鏡を表すコクセター・ディンキン図で表されます。アクティブな鏡は、環状ノードで表されます。アクティブな鏡の組み合わせごとに、一意の均一多面体が生成されます。均一多面体は、各ファミリーの正則多面体との関連で命名されます。一部のファミリーには2つの正則構成法が存在するため、2つの同等に有効な命名方法が存在する場合があります。

均一な7次元多面体を構築および命名するために使用できる主要な演算子を以下に示します。

プリズム型グラフと分岐グラフは同じ切り捨てインデックス表記法を使用できますが、明確化のためにノードに明示的な番号付けシステムが必要です。

• T. ゴッセ：n次元空間における正則図形と半正則図形について、数学の使者、マクミラン、1900年
• A. ブール・ストット(1910)。「正多面体と空間充填からの半正則の幾何学的演繹」(PDF)。アムステルダムのVerhandelingen der Koninklijke Academy van Wetenschappen。Ⅹ（１）．アムステルダム：ヨハネス・ミュラー。 2025 年 4 月 29 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
• HSMコクセター：
  • HSM Coxeter、MS Longuet-Higgins、JCP Miller:一様な多面体、Philosophical Transactions of the Royal Society of London、1954年
  • HSM Coxeter著、『正多面体』第3版、ドーバー出版、ニューヨーク、1973年
• 『万華鏡：HSM コクセター選集』、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、エイジア・イヴィッチ・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、wiley.com、ISBN 978-0-471-01003-6
  • （論文22）HSM Coxeter、「正多面体と半正多面体 I」、[Math. Zeit. 46 (1940) 380–407、MR 2,10]
  • （論文23）HSM Coxeter、「正多面体と半正多面体 II」、[Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • （論文24）HSM Coxeter、「正則多面体と半正則多面体 III」、[Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• NWジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、トロント大学博士論文、1966年
• クリッツィング、リチャード。「7D 均一多面体 (polyexa) と頭字語」。

• 多面体名
• 様々な次元の多面体
• 多次元用語集