群論 において、逆半群 （反転半群 [ 1 ] S は、S のすべての要素xが S 内の唯一の逆元 yを持つ 半群であり、 x = xyx y = yxy 正則半群 である。逆半群はさまざまな文脈で現れる。例えば、部分対称性 の研究に利用できる。[ 2 ]
（本稿では、関数を引数の右側に記述する慣例に従う。例えば、f ( x )ではなくxf と 記述し、関数は左から右に合成する。これは半群理論でよく見られる慣例である。）
起源 逆半群は、1952年にソビエト連邦のヴィクトル・ウラジミロヴィチ・ワグナー[3]と1954年にイギリスのゴードン・プレストン[5]によってそれぞれ独立に導入されました。 著者 とも、集合 の 部分全 研究 を通して逆 半 群 に たどり着き まし た 。集合 Xの部分変換 α は、 A からB への関数 であり、A とBは X の部分集合です。αと β を集合X の部分変換とします。αとβは 、それらを合成することが「意味をなす」最大の 領域 上で（左から右へ）合成できます。
ドム α β = [ 私は α ∩ ドム β ] α − 1 {\displaystyle \operatorname {dom} \alpha \beta =[\operatorname {im} \alpha \cap \operatorname {dom} \beta ]\alpha ^{-1}\,} ここで、α − 1 はα による逆像 を表す。部分変換は擬群 の文脈ですでに研究されていた。[ 6 ] 二項関係の合成 の特殊な場合であることを最初に指摘したのはワグナーであった。[ 7 ] 空集合になる可能性があることも認識していたため、これを考慮に入れるために 空変換 を導入した。この空変換を加えることで、集合の部分変換の合成は至るところで定義された結合的な 二項演算 となる。この合成の下で、集合は 私 X {\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}} 集合X のすべての部分的な 1-1 変換の は、X上の 対称逆半群 逆関係 ) です。[ 8 ] これは、対称群が 原型群 であるのと同様に、「原型」逆半群です。たとえば、すべての群が 対称群 に埋め込むことができるのと同様に、すべての逆半群は対称逆半群に埋め込むことができます (以下の§ 逆半群の準同型と表現を 参照)。
基本 逆半群Sの要素 x の逆元は通常x − 1 と表記されます。逆半群の逆元は、例えば( ab ) − 1 = b − 1 a − 1 のように、群 の逆元と多くの同じ性質を持ちます。逆モノイド では、xx − 1 とx − 1 x は必ずしも単位元と等しいとは限りませんが、どちらも冪等 です。[ 9 ] xx − 1 = 1 = x − 1 x S のすべてのx に対して(単冪逆 モノイド)逆モノイドS は、もちろん群 です。
逆半群S にはいくつかの同等な特徴付けがあります: [ 10 ]
S のすべての要素は、上記の意味で一意の逆元を持つ。S のすべての要素は少なくとも 1 つの逆元を持ち ( Sは 正則半群 である)、冪等元は 可換である (つまり、S の冪等元は 半束を 形成する)。毎L {\displaystyle {\mathcal {L}}} R {\displaystyle {\mathcal {R}}} 冪等性 が含まれます。L {\displaystyle {\mathcal {L}}} R {\displaystyle {\mathcal {R}}} グリーンの親戚のうち の2人です。 冪等 性L {\displaystyle {\mathcal {L}}} s のクラスはs − 1 s であり 、 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} s のクラスはss − 1グリーンの関係 の簡単な特徴付けがあります: [ 11 ]
1 L b ⟺ 1 − 1 1 = b − 1 b 、 1 R b ⟺ 1 1 − 1 = b b − 1 {\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b\Longleftrightarrow a^{-1}a=b^{-1}b,\quad a\,{\mathcal {R}}\,b\Longleftrightarrow aa^{-1}=bb^{-1}} 特に断りのない限り、E(S) は逆半群S の冪等元からなる半束を表すものとする。
逆半群の例 X上の 部分全 単射 は、合成に関して逆半群を形成する。すべての群 は逆半群である。 二環式半群 は逆であり、( a , b ) − 1b , a ) である。 すべての半格子 は逆格子である。 ブラント半群は 逆群である。 マン半群 は逆群である。 九九表の例。結合法則を満たし、 aba = a bab = b
自然半順序 逆半群Sは 自然な部分順序 関係 ≤ (ω で表されることもある)を持ち、それは次のように定義される: [ 12 ]
1 ≤ b ⟺ 1 = e b 、 {\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=eb,} S 内の冪等元 e に対して。同等に、
1 ≤ b ⟺ 1 = b f 、 {\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=bf,} S 内のいくつかの（一般に異なる）冪等関数 f に対して。実際、e は aa − 1 と、fは a − 1 a とすることができる 。[ 13 ]
自然半順序 は乗算と逆順の両方と互換性がある、つまり、[ 14 ]
1 ≤ b 、 c ≤ d ⟹ 1 c ≤ b d {\displaystyle a\leq b,c\leq d\Longrightarrow ac\leq bd} そして
1 ≤ b ⟹ 1 − 1 ≤ b − 1 。 {\displaystyle a\leq b\Longrightarrow a^{-1}\leq b^{-1}.} 群 においては、単位元が唯一の冪等元 であるため、この半順序は 単純に等号に帰着する。対称逆半群においては、半順序は 写像の制限に帰着する。すなわち、α ≤ β は、 α の定義域がβ の定義域に含まれ、かつα の定義域内のすべてのxに対して xα = xβ [ 15 ]
逆半群上の自然な半順序は、グリーンの関係 と次のように相互作用します。s ≤ t s L {\displaystyle \,{\mathcal {L}}\,} t の場合、s = t sの場合、 R {\displaystyle \,{\mathcal {R}}\,} t [ 16 ]
E ( S )上では、自然な半順序 は次のようになる。
e ≤ f ⟺ e = e f 、 {\displaystyle e\leq f\Longleftrightarrow e=ef,} したがって、冪等元は 積演算の下で半束を形成するため、E ( S ) 上の積は ≤ に関して最小上界を与えます。
E ( S ) が有限で鎖 を形成する場合(すなわち、E ( S ) が≤ によって完全に順序付けられている場合)、 Sは 群 の和集合 である。[ 17 ] E ( S ) が無限鎖 である場合、 S とE ( S )に関する追加の仮定の下で同様の結果を得ることが可能である。[ 18 ]
準同型写像と逆半群の表現 逆半群の準同型写像 （または射 ）は、他の半群の場合とまったく同じように定義されます。逆半群S とT に対して、S からT への関数 θは、すべての s 、t ∈ S に対して( sθ )( tθ ) = ( st ) θ ( sθ ) − 1 = s − 1 θ
定理。 逆半群の準同型像は 逆半群である。要素の逆は常にその要素の像 の逆に対応する。[ 19 ]
逆半群に関して証明された最も初期の結果の1つは、群 に関するケイリーの定理 の類似物であるワグナー・プレストンの定理 である。
ワグナー・プレストン定理。S が 逆半群である場合、 S からへの関数 φ は 私 S {\displaystyle {\mathcal {I}}_{S}}
dom ( aφ ) = Sa − 1x ( aφ ) = xa S を忠実に 表現して いる。[ 20 ]
したがって、任意の逆半群は対称逆半群に埋め込むことができ、その像は部分全単射に対する逆演算に関して閉じている。逆に、対称逆半群の逆演算に関して閉じている任意の部分半群は逆半群である。ゆえに、半群Sが 、逆演算に関して閉じている対称逆半群の部分半群と同型であるのは、Sが 逆半群である場合に限る。
逆半群上の合同式 逆半群における合同関係 は、他の半群の場合とまったく同じように定義されます。 合同関係 ρ は、半群の乗法と互換性のある同値関係 です。つまり、
1 ρ b 、 c ρ d ⟹ 1 c ρ b d 。 {\displaystyle a\,\rho \,b,\quad c\,\rho \,d\Longrightarrow ac\,\rho \,bd.} [ 21 ] 特に興味深いのは、σ {\displaystyle \sigma } S 上で定義される
1 σ b ⟺ {\displaystyle a\,\sigma \,b\Longleftrightarrow } c ∈ S {\displaystyle c\in S} c ≤ 1 、 b 。 {\displaystyle c\leq a,b.} [ 22 ] σ は合同式であり、実際には群合同式 であることが示せる。つまり、因子半群S / σは群である。半群 S 上のすべての群合同式の集合において、最小要素 (集合の包含によって定義される半順序の場合) は最小要素である必要はない。Sが逆半群である特定の場合、σは S / σ が群となる S 上の最小の合同式である。つまり、τ が S / τ が群となる S 上の他の合同式であれば、σ は τに含ま れる 。合同 式 σはS 上の 最小 群合同式 と 呼ばれる 。[ 23 ] 最小 群合同式は、 E ユニタリ逆半群の特徴付けを与えるために使用できる(下記参照)。
逆半群S 上の合同ρ は、次の場合に冪等純粋で あると呼ばれる。
1 ∈ S 、 e ∈ E （ S ） 、 1 ρ e ⟹ 1 ∈ E （ S ） 。 {\displaystyle a\in S,e\in E(S),a\,\rho \,e\Longrightarrow a\in E(S).} [ 24 ]
E- ユニタリ逆半群長年にわたって広く研究されてきた逆半群のクラスの一つに、E- ユニタリ逆半群のクラスがあります。逆半群S （冪等元 からなる半 束 E を持つ）は、Eのすべてのe とS の すべての sに対して 、
e s ∈ E ⟹ s ∈ E 。 {\displaystyle es\in E\Longrightarrow s\in E.} 同様に、
s e ∈ E ⇒ s ∈ E 。 {\displaystyle se\in E\Rightarrow s\in E.} [ 25 ] E- ユニタリ逆半群S のもう1つの特徴付けは次のとおりです。eが E に属し、 S に属するあるsに対して e ≤ s である場合、sは E に属します。[ 26 ]
定理。S を冪等元による 半束 E を持つ逆半群とし、最小群合同σ とする。このとき、以下は同値である。[ 27 ]
S はE- ユニタリである。σ は冪等純粋関数である。～ {\displaystyle \sim } σ 、どこ～ {\displaystyle \sim } S 上の適合関係 は、次のように定義される。
1 ～ b ⟺ 1 b − 1 、 1 − 1 b {\displaystyle a\sim b\Longleftrightarrow ab^{-1},a^{-1}b} マカリスターの被覆定理。 すべての逆半群 S は E-ユニタリ被覆を持つ。つまり、ある E-ユニタリ半群 T から S への冪等分離全射準同型が存在する。[ 28 ]
E- ユニタリ逆半群の研究の中心となるのは、次の構成である。[ 29 ] X {\displaystyle {\mathcal {X}}} を順序が≤である半順序集合 とし、Y {\displaystyle {\mathcal {Y}}} サブセット であるX {\displaystyle {\mathcal {X}}}
Y {\displaystyle {\mathcal {Y}}} は下半格子で あり、つまり、 の要素A 、B の任意のペアはY {\displaystyle {\mathcal {Y}}} 最大の下限値 A を持つ∧ {\displaystyle \wedge } B Y {\displaystyle {\mathcal {Y}}} Y {\displaystyle {\mathcal {Y}}} 、 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} A 、B の場合X {\displaystyle {\mathcal {X}}} A がY {\displaystyle {\mathcal {Y}}} ≤ A の B はY {\displaystyle {\mathcal {Y}}} ここで、G を作用する 群と するX {\displaystyle {\mathcal {X}}}
G のすべてのg とすべてのA 、B についてX {\displaystyle {\mathcal {X}}} = gB は 、 に 限り成り立つ G の各g とB の各X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 、 A が存在するX {\displaystyle {\mathcal {X}}} gA = B すべてのA 、B に対してX {\displaystyle {\mathcal {X}}} A ≤ B は gA ≤ gB G のすべてのg 、h とすべてのA についてX {\displaystyle {\mathcal {X}}} g ( hA ) = ( gh ) A トリプル（ G 、 X 、 Y ） {\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}
すべてのX に対してX {\displaystyle {\mathcal {X}}} G にはg が存在し、 A はY {\displaystyle {\mathcal {Y}}} gA = X G のすべてのg について、g Y {\displaystyle {\mathcal {Y}}} Y {\displaystyle {\mathcal {Y}}} そんなトリプル（ G 、 X 、 Y ） {\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})} これはマカリスター三重項 と呼ばれます。マカリスター三重項は、以下の定義に使用されます。
P （ G 、 X 、 Y ） = { （ A 、 g ） ∈ Y × G : g − 1 A ∈ Y } {\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})=\{(A,g)\in {\mathcal {Y}}\times G:g^{-1}A\in {\mathcal {Y}}\}} 乗算とともに
（ A 、 g ） （ B 、 h ） = （ A ∧ g B 、 g h ） {\displaystyle (A,g)(B,h)=(A\wedge gB,gh)} それからP （ G 、 X 、 Y ） {\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})} ( A , g ) − 1g − 1 A , g − 1 ユニタリ 逆半群の研究における主要な結果の 1 つは、マカリスターの P 定理 である。
マカリスターのP定理 。（ G 、 X 、 Y ） {\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})} P （ G 、 X 、 Y ） {\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})} はE ユニタリ逆半群である。逆に、すべてのE ユニタリ逆半群は、このタイプの半群のいずれかと同型で ある。[ 30 ]
F 逆半群逆半群は、すべての要素が自然な半順序においてその上に一意の最大要素を持つ場合、すなわちすべての σ クラスが最大要素を持つ場合に、 F- 逆であると言われる。すべてのF-逆半群は E- ユニタリモノイドである。マカリスターの被覆定理は、 MVローソン によって次のように改良された。
定理。 すべての逆半群はF 逆被覆を持つ。[ 31 ]
マカリスターのP定理は、 F 逆半群を特徴づけるためにも用いられてきた。マカリスター三つ組（ G 、 X 、 Y ） {\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})} F 逆半群であるのは、Y {\displaystyle {\mathcal {Y}}} X {\displaystyle {\mathcal {X}}} X {\displaystyle {\mathcal {X}}}
自由逆半群 逆半群に対しても、自由群 と同様の構成が可能である。集合X 上の自由逆半群の表示は、逆 演算 (ここで逆演算とは逆をとること) を伴う自由半群を 考え、次にその商を ヴァグナー合同式 で割ることによって得られる。
{ （ x x − 1 x 、 x ） 、 （ x x − 1 y y − 1 、 y y − 1 x x − 1 ） | x 、 y ∈ （ X ∪ X − 1 ） + } 。 {\displaystyle \{(xx^{-1}x,x),\;(xx^{-1}yy^{-1},yy^{-1}xx^{-1})\;|\;x,y\in (X\cup X^{-1})^{+}\}.} 自由逆半群の語の問題 は、自由群の語の問題よりもはるかに複雑です。WD Munnは 、自由逆半群の要素は自然に木として捉えることができ、これをMunn木と呼びます。自由逆半群における乗法はMunn木 に対応するものがあり、これは基本的に木の共通部分の重なりから成り立っています。（詳細はLawson 1998を参照）
任意の自由逆半群はF 逆である。[ 31 ]
圏論との関連性 集合の部分変換の上記の合成により、対称逆半群が生成される。部分変換を合成する方法は、上記の方法よりも制約が厳しい別の方法もある。2つの部分変換α とβ は、αの像がβ の定義域と等しい場合に限り合成される。そうでない場合、合成αβは定義されない。この代替合成の下では、集合のすべての部分一対一変換の集合は、逆半群ではなく、圏論 の意味での帰納的群圏を形成する。逆半群と帰納的群圏のこの密接な関係は、 エレスマン・シャイン・ナンブーリパドの定理 に具体化されており、この定理は、帰納的群圏は常に逆半群から構成でき、その逆もまた然りであると述べている。[ 32 ] アレクサンドロフ位相 に関してエタール群であり、その対象の半順序集合 がミート半束であるような、順序集合のカテゴリー内の群です。
逆半群の一般化 前述のように、逆半群S は、(1) Sが 正則半群 であること、および (2) S の冪等元が 可換であること、という条件によって定義できます。これにより、逆半群の一般化として、(1) は成り立つが (2) は成り立たない半群と、その逆の半群という 2 つの異なるクラスが生まれました。
逆半群の正則な一般化の例は次のとおりです。[ 33 ]
正則半群 半群 S は、すべての要素が少なくとも 1 つの逆元を持つ場合、正則で ある。同等に、 S の各要素aに対して、 axa = a S のx が存在する。局所的に逆な半群 ：正則半群 S は、各冪等元 eに対して eSe が 逆半群である場合、局所的に逆である 。正統半群 ：正則半群 S は、その冪等元 からなる部分集合が部分半群を形成する場合に正統で ある。一般化逆半群 ：正則半群 Sは 、その冪等元が 正規バンドを形成する場合、すなわち、すべての冪等元 x 、y 、z に対してxyzx = xzyx である場合、一般化逆半群 と呼ばれます。一般化逆半群のクラスは 、局所逆半群のクラスと正統半群のクラスの共通部分である。 [ 34 ]
逆半群の非正則一般化の中には、次のものがある。[ 35 ]
（左、右、両側）適切な半群。 （左、右、両側）十分な半群。 （左、右、両側）半十分半群。 弱（左、右、両側）豊富半群。
逆カテゴリ この逆の概念は、容易に圏 にも一般化できる。逆圏 とは、すべての射 f : X → Yに対して、 fgf = f gfg = g g : Y → X 双対で ある。集合 と部分全単射 の圏がその代表例である。[ 36 ]
逆圏は理論計算機科学 において様々な応用例が見出されている。[ 37 ]
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![{\displaystyle \operatorname {dom} \alpha \beta =[\operatorname {im} \alpha \cap \operatorname {dom} \beta ]\alpha ^{-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2f6e744a6a9f94ada3a64a70d499407864bdc4f)
