ランガー補正

ランガー補正は、数学者ルドルフ・エルンスト・ランガーにちなんで名付けられ、放射対称性の問題に対するWKB 近似の補正です。

有効ポテンシャルが （角運動量演算子に関連する方位量子数） で与えられる ラジアルシュレーディンガー方程式にWKB近似法を適用すると、 得られる固有エネルギーと波動関数の挙動は実際の解とは異なります。 $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}R(r)}{dr^{2}}}+[E-V_{\textrm {eff}}(r)]R(r)=0,}$$$${\displaystyle V_{\textrm {eff}}(r)=V(r)-{\frac {\hbar ^{2}\ell (\ell +1)}{2mr^{2}}}}$$${\displaystyle \ell}$

1937 年、ルドルフ E. ランガーは ランガー補正またはランガー置換として知られる補正を提案しました 。^[1]この操作は、が現れるたびに 1/4 定数係数を挿入することと同等です。経験的に、この係数は、ラジアル シュレーディンガー方程式の範囲が実数線全体ではなく 0 から無限大に制限されているため発生すると言われています。有効ポテンシャルの定数項をこのように変更することで、WKB 近似によって得られる結果は、多くのポテンシャルの正確なスペクトルを再現します。ランガー置換が正しいことは、よく知られている結果を再現する置換によるクーロン固有値の WKB 計算からわかります。^[2]$${\displaystyle \ell (\ell +1)\rightarrow \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}}$$${\displaystyle \ell (\ell +1)}$

2Dシステムの場合、有効ポテンシャルが次の形をとるため、 ランガー補正は次のようになることに注意してください。^[3] この操作は、が現れるたびに1/4定数係数を挿入することと同じです。 $${\displaystyle V_{\textrm {eff}}(r)=V(r)-{\frac {\hbar ^{2}(\ell ^{2}-{\frac {1}{4}})}{2mr^{2}}},}$$ $${\displaystyle \left(\ell ^{2}-{\frac {1}{4}}\right)\rightarrow \ell ^{2}.}$$${\displaystyle \ell^{2}}$

さらに説得力のある計算は、湯川ポテンシャルを持つラジアルシュレーディンガー方程式のレッジェ軌道（したがって固有値）を、摂動法（古い因子を使用）とWKB法（ランガー置換を使用）の両方で導出することです。どちらの場合も高次まで導出できます。摂動法の計算についてはミュラー・キルステンの本^[4]を、WKB計算についてはブーケマを参照してください。^{[5] [6]}${\displaystyle \ell (\ell +1)}$

• アインシュタイン・ブリルアン・ケラー法