物理科学における特別な機能
物理科学において、 エアリー関数 （または 第一種エアリー関数 ） Ai( x ) は、イギリスの天文学者 ジョージ・ビデル・エアリー（1801-1892）にちなんで名付けられた 特殊な関数 です 。関数Ai( x )と関連関数 Bi( x )は 、 エアリー方程式 または ストークス方程式
として知られる 微分方程式の 線形独立な 解です 。
d
2
ええ
d
x
2
− x ええ = 0 、
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-xy=0,}
線型微分方程式の解は
k <0
の場合は振動型 、 k >0 の場合は指数型なので、エアリー関数は x <0 の場合は振動型、 x >0 の場合は指数型です。実際、エアリー方程式は転換点（解の特性が振動型から指数型に変わる点）を持つ最も単純な 2 次 線型微分方程式 です。
d
2
ええ
d
x
2
− け ええ = 0
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-ky=0}
Mathematica 13.1 関数 ComplexPlot3D で作成した、 複素平面上の -2 - 2 i から2 + 2 i までの エアリー関数 Ai( z )のカラー プロット Mathematica 13.1 関数 ComplexPlot3D で作成した、 複素平面における -2 - 2 i から2 + 2 i までの エアリー関数 Ai'( z )の導関数のカラー プロット
定義 Ai( x ) を 赤で、 Bi( x ) を 青で プロット x の実数値に対して、第一種エアリー関数は、 不定 リーマン積分 によって定義できます 。
これは、 ディリクレのテスト によって収束します。任意の 実数 x に対して、関数が 増加、無制限、凸であり、区間で連続かつ無制限の導関数を持つ 正の実数 M があります。この区間での積分の収束は、次の代入の後にディリクレのテストによって証明できます。
あい （ x ） =
1 π
∫
0
∞
コス
（
t
3
3
+ x t
）
d t ≡
1 π
リム
b → ∞
∫
0
b
コス
（
t
3
3
+ x t
）
d t 、
{\displaystyle \operatorname {Ai} (x)={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt\equiv {\dfrac {1}{\pi }}\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt,}
t
3
3
+ x t
{\textstyle {\tfrac {t^{3}}{3}}+xt}
[
M
,
∞
)
.
{\displaystyle [M,\infty ).}
u
=
t
3
3
+
x
t
.
{\textstyle u={\tfrac {t^{3}}{3}}+xt.}
y = Ai( x ) は エアリー方程式を満たします
この方程式には 2 つ の独立した線形 解があります。スカラー乗算を除けば、 Ai( x ) は、条件 y → 0 および x → ∞ に従う解です。もう 1 つの解の標準的な選択は、第 2 種のエアリー関数 Bi( x ) です。これは、 x → −∞ のときに Ai( x ) と同じ振幅の振動を持ち、位相が π /2 異なる解として定義されます 。
y
″
−
x
y
=
0.
{\displaystyle y''-xy=0.}
Mathematica 13.1 関数 ComplexPlot3D で作成した、 複素平面上の -2 - 2 i から2 + 2 i までの エアリー関数 Bi( z )のカラー プロット
Bi
(
x
)
=
1
π
∫
0
∞
[
exp
(
−
t
3
3
+
x
t
)
+
sin
(
t
3
3
+
x
t
)
]
d
t
.
{\displaystyle \operatorname {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]dt.}
Mathematica 13.1 関数 ComplexPlot3D で作成した、 複素平面における -2 - 2 i から2 + 2 i までの エアリー関数 Bi'( z )の導関数のカラー プロット
プロパティ Ai( x ) と Bi( x ) の値と、 x = 0 におけるそれらの導関数は 次のように与えられます
。
ここで、 Γは ガンマ関数 を表します 。したがって、 Ai( x ) と Bi( x ) の ロンスキアンは 1/ π です 。
Ai
(
0
)
=
1
3
2
/
3
Γ
(
2
3
)
,
Ai
′
(
0
)
=
−
1
3
1
/
3
Γ
(
1
3
)
,
Bi
(
0
)
=
1
3
1
/
6
Γ
(
2
3
)
,
Bi
′
(
0
)
=
3
1
/
6
Γ
(
1
3
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (0)&{}={\frac {1}{3^{2/3}\,\Gamma \!\left({\frac {2}{3}}\right)}},&\quad \operatorname {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{3^{1/3}\,\Gamma \!\left({\frac {1}{3}}\right)}},\\\operatorname {Bi} (0)&{}={\frac {1}{3^{1/6}\,\Gamma \!\left({\frac {2}{3}}\right)}},&\quad \operatorname {Bi} '(0)&{}={\frac {3^{1/6}}{\Gamma \!\left({\frac {1}{3}}\right)}}.\end{aligned}}}
x が正のとき 、 Ai( x ) は 正で 凸で あり、指数関数的にゼロに向かって減少しますが、 Bi( x ) は 正で凸であり、指数関数的に増加します。x が負のとき 、 Ai ( x ) と Bi( x ) は ゼロの周りで振動し、周波数は常に増加し、振幅は常に減少します。これは、エアリー関数の以下の漸近式によってサポートされています。
エアリー関数は、
不定リーマン積分を使用する
という意味で
直交している [1] 。
∫
−
∞
∞
Ai
(
t
+
x
)
Ai
(
t
+
y
)
d
t
=
δ
(
x
−
y
)
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (t+x)\operatorname {Ai} (t+y)dt=\delta (x-y)}
Ai( x ) とその導関数 Ai'( x ) の実零点 Ai( x ) も その 導関数 Ai'( x ) も正の実数零点を持たない。「最初の」実数零点（つまりx=0に最も近いもの）は以下の通りである: [2]
Ai( x ) の「最初の」ゼロは x ≈ −2.33811、−4.08795、−5.52056、−6.78671、... です。 その導関数 Ai'( x )の「最初の」零点は、 x ≈ −1.01879、−3.24820、−4.82010、−6.16331、... である。
Ai(青)とAi(マゼンタ)の正弦波/指数漸近形 Bi(青)とBi(マゼンタ)の正弦波/指数漸近形 以下に説明するように、エアリー関数は複素平面に拡張することができ、 完全な関数 を与える。エアリー関数の漸近的挙動は、 | z | が arg ( z ) の一定値で無限大に近づくにつれて arg( z ) に依存し 、これは ストークス現象 と呼ばれる。 | arg( z ) | < π の場合、 Ai( z ) の 漸近式 は次のようになる : [3]
Ai
(
z
)
∼
1
2
π
z
1
/
4
exp
(
−
2
3
z
3
/
2
)
[
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
Γ
(
n
+
5
6
)
Γ
(
n
+
1
6
)
(
3
4
)
n
2
π
n
!
z
3
n
/
2
]
.
{\displaystyle \operatorname {Ai} (z)\sim {\dfrac {1}{2{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\exp \left(-{\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].}
または 、特に最初の数項は[4] Bi(z)にも同様の式があります
が 、 | arg (
z ) | < π / 3 の 場合にのみ適用可能です 。
Ai
(
z
)
∼
e
−
ζ
4
π
3
/
2
z
1
/
4
[
∑
n
=
0
∞
Γ
(
n
+
5
6
)
Γ
(
n
+
1
6
)
n
!
(
−
2
ζ
)
n
]
.
{\displaystyle \operatorname {Ai} (z)\sim {\dfrac {e^{-\zeta }}{4\pi ^{3/2}\,z^{1/4}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)}{n!(-2\zeta )^{n}}}\right].}
ζ
=
2
3
z
3
/
2
.
{\displaystyle \zeta ={\tfrac {2}{3}}z^{3/2}.}
Ai
(
z
)
=
e
−
ζ
2
π
1
/
2
z
1
/
4
(
1
−
5
72
ζ
+
385
10368
ζ
2
+
O
(
ζ
−
3
)
)
{\displaystyle \operatorname {Ai} (z)={\frac {e^{-\zeta }}{2\pi ^{1/2}z^{1/4}}}\left(1-{\frac {5}{72\zeta }}+{\frac {385}{10368\zeta ^{2}}}+O(\zeta ^{-3})\right)}
Bi
(
z
)
∼
1
π
z
1
/
4
exp
(
2
3
z
3
/
2
)
[
∑
n
=
0
∞
Γ
(
n
+
5
6
)
Γ
(
n
+
1
6
)
(
3
4
)
n
2
π
n
!
z
3
n
/
2
]
.
{\displaystyle \operatorname {Bi} (z)\sim {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\exp \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].}
π /3 < | arg( z ) | < π の場合の Ai ( z ) と Bi( z ) のより正確な式、または、| arg( z ) | < 2 π /3 であるがゼロではない場合の Ai(− z ) と Bi( − z
) の より 正確 な 式 は 、 次 の とおり です : [ 3 ] [ 5 ]
Ai
(
−
z
)
∼
1
π
z
1
/
4
sin
(
2
3
z
3
/
2
+
π
4
)
[
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
Γ
(
2
n
+
5
6
)
Γ
(
2
n
+
1
6
)
(
3
4
)
2
n
2
π
(
2
n
)
!
z
3
n
]
−
1
π
z
1
/
4
cos
(
2
3
z
3
/
2
+
π
4
)
[
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
Γ
(
2
n
+
11
6
)
Γ
(
2
n
+
7
6
)
(
3
4
)
2
n
+
1
2
π
(
2
n
+
1
)
!
z
3
n
+
3
/
2
]
Bi
(
−
z
)
∼
1
π
z
1
/
4
cos
(
2
3
z
3
/
2
+
π
4
)
[
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
Γ
(
2
n
+
5
6
)
Γ
(
2
n
+
1
6
)
(
3
4
)
2
n
2
π
(
2
n
)
!
z
3
n
]
+
1
π
z
1
4
sin
(
2
3
z
3
/
2
+
π
4
)
[
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
Γ
(
2
n
+
11
6
)
Γ
(
2
n
+
7
6
)
(
3
4
)
2
n
+
1
2
π
(
2
n
+
1
)
!
z
3
n
+
3
/
2
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-z)\sim &{}\ {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} (-z)\sim &{}{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}+{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right].\end{aligned}}}
| arg( z ) | = 0 の とき、これらは良い近似値ですが、 正弦または余弦がゼロになる
たびに Ai(− z ) または Bi(− z ) と上記の近似値の比が無限大になるため、漸近的ではありません。これらの極限 の漸近展開 も利用可能です。これらは (Abramowitz and Stegun, 1983) および (Olver, 1974) に記載されています。
導関数Ai'(z) と Bi'(z) の漸近表現も得ることができる 。前と同様に、 | arg( z ) | < π のとき: [5]
Ai
′
(
z
)
∼
−
z
1
/
4
2
π
exp
(
−
2
3
z
3
/
2
)
[
∑
n
=
0
∞
1
+
6
n
1
−
6
n
(
−
1
)
n
Γ
(
n
+
5
6
)
Γ
(
n
+
1
6
)
(
3
4
)
n
2
π
n
!
z
3
n
/
2
]
.
{\displaystyle \operatorname {Ai} '(z)\sim -{\dfrac {z^{1/4}}{2{\sqrt {\pi }}\,}}\exp \left(-{\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].}
| arg( z ) | < π /3 のとき、 次式が成り立ちます: [5]
Bi
′
(
z
)
∼
z
1
/
4
π
exp
(
2
3
z
3
/
2
)
[
∑
n
=
0
∞
1
+
6
n
1
−
6
n
Γ
(
n
+
5
6
)
Γ
(
n
+
1
6
)
(
3
4
)
n
2
π
n
!
z
3
n
/
2
]
.
{\displaystyle \operatorname {Bi} '(z)\sim {\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\exp \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].}
同様に、 | arg( z ) | < 2 π /3 だがゼロではない 場合の Ai'(− z ) と Bi'(− z ) の式は [5]である。
Ai
′
(
−
z
)
∼
−
z
1
/
4
π
cos
(
2
3
z
3
/
2
+
π
4
)
[
∑
n
=
0
∞
1
+
12
n
1
−
12
n
(
−
1
)
n
Γ
(
2
n
+
5
6
)
Γ
(
2
n
+
1
6
)
(
3
4
)
2
n
2
π
(
2
n
)
!
z
3
n
]
−
z
1
/
4
π
sin
(
2
3
z
3
/
2
+
π
4
)
[
∑
n
=
0
∞
7
+
12
n
−
5
−
12
n
(
−
1
)
n
Γ
(
2
n
+
11
6
)
Γ
(
2
n
+
7
6
)
(
3
4
)
2
n
+
1
2
π
(
2
n
+
1
)
!
z
3
n
+
3
/
2
]
Bi
′
(
−
z
)
∼
z
1
/
4
π
sin
(
2
3
z
3
/
2
+
π
4
)
[
∑
n
=
0
∞
1
+
12
n
1
−
12
n
(
−
1
)
n
Γ
(
2
n
+
5
6
)
Γ
(
2
n
+
1
6
)
(
3
4
)
2
n
2
π
(
2
n
)
!
z
3
n
]
−
z
1
/
4
π
cos
(
2
3
z
3
/
2
+
π
4
)
[
∑
n
=
0
∞
7
+
12
n
−
5
−
12
n
(
−
1
)
n
Γ
(
2
n
+
11
6
)
Γ
(
2
n
+
7
6
)
(
3
4
)
2
n
+
1
2
π
(
2
n
+
1
)
!
z
3
n
+
3
/
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} '(-z)\sim &{}-{\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} '(-z)\sim &{}\ {\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right]\\\end{aligned}}}
複雑な議論 エアリー関数の定義を複素平面に拡張するには、
次のようにします。ここで、積分は、 無限遠点の引数 − π /3から始まり、無限遠点の引数 π/3 で終わる経路 C 上を進みます。あるいは、微分方程式 y " − xy = 0を使用して、 Ai( x ) と Bi( x ) を複素平面上の
全関数 に 拡張することもできます。
Ai
(
z
)
=
1
2
π
i
∫
C
exp
(
t
3
3
−
z
t
)
d
t
,
{\displaystyle \operatorname {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\tfrac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,}
Ai( x ) の漸近公式は、 x 2/3 の主値 が取られ、 xが 負の実軸から離れて制限されている場合、複素平面でも有効です。Bi ( x )の公式は、 xが 正のδのセクター内に ある場合に有効です。最後に、 Ai(− x ) と Bi(− x ) の公式は、 xが セクター内にある 場合に有効です。
x
∈
C
:
|
arg
(
x
)
|
<
π
3
−
δ
{\displaystyle x\in \mathbb {C} :\left|\arg(x)\right|<{\tfrac {\pi }{3}}-\delta }
x
∈
C
:
|
arg
(
x
)
|
<
2
π
3
−
δ
.
{\displaystyle x\in \mathbb {C} :\left|\arg(x)\right|<{\tfrac {2\pi }{3}}-\delta .}
エアリー関数の漸近的挙動から、 Ai( x ) と Bi( x ) はともに負の実軸上に無限の零点を持つことがわかる。関数 Ai( x )は 複素平面上に他の零点を持たないが、関数 Bi( x )は セクター内にも無限の零点を持つ。
z
∈
C
:
π
3
<
|
arg
(
z
)
|
<
π
2
.
{\displaystyle z\in \mathbb {C} :{\tfrac {\pi }{3}}<\left|\arg(z)\right|<{\tfrac {\pi }{2}}.}
プロット
他の特殊機能との関係 正の引数の場合、エアリー関数は 修正ベッセル関数 と関連している。
ここで、 I ±1/3 と K 1/3 は、
Ai
(
x
)
=
1
π
x
3
K
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
,
Bi
(
x
)
=
x
3
[
I
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
+
I
−
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {\frac {x}{3}}}\,K_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right),\\\operatorname {Bi} (x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left[I_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{-1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right].\end{aligned}}}
x
2
y
″
+
x
y
′
−
(
x
2
+
1
9
)
y
=
0.
{\displaystyle x^{2}y''+xy'-\left(x^{2}+{\tfrac {1}{9}}\right)y=0.}
エアリー関数の1次導関数は
A
i
′
(
x
)
=
−
x
π
3
K
2
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
.
{\displaystyle \operatorname {Ai'} (x)=-{\frac {x}{\pi {\sqrt {3}}}}\,K_{2/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right).}
関数 K 1/3 と K 2/3 は急速に収束する積分で表される [6] （ 修正ベッセル関数 も参照）
負の引数の場合、エアリー関数は ベッセル関数 と関連している。
ここで、 J ±1/3 は
Ai
(
−
x
)
=
x
9
[
J
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
+
J
−
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
]
,
Bi
(
−
x
)
=
x
3
[
J
−
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
−
J
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{9}}}\left[J_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right],\\\operatorname {Bi} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left[J_{-1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right].\end{aligned}}}
x
2
y
″
+
x
y
′
+
(
x
2
−
1
9
)
y
=
0.
{\displaystyle x^{2}y''+xy'+\left(x^{2}-{\frac {1}{9}}\right)y=0.}
スコアラー 関数 Hi( x ) と -Gi( x ) は方程式 y ''− xy = 1/π を解きます。これらはエアリー関数で表現することもできます。
Gi
(
x
)
=
Bi
(
x
)
∫
x
∞
Ai
(
t
)
d
t
+
Ai
(
x
)
∫
0
x
Bi
(
t
)
d
t
,
Hi
(
x
)
=
Bi
(
x
)
∫
−
∞
x
Ai
(
t
)
d
t
−
Ai
(
x
)
∫
−
∞
x
Bi
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Gi} (x)&{}=\operatorname {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\operatorname {Ai} (t)\,dt+\operatorname {Ai} (x)\int _{0}^{x}\operatorname {Bi} (t)\,dt,\\\operatorname {Hi} (x)&{}=\operatorname {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\operatorname {Ai} (t)\,dt-\operatorname {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\operatorname {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}}
エアリー関数 Ai( x )の定義を使用すると、その フーリエ変換が 次のように与えられることが
簡単に示せます 。 これは、エアリー方程式のフーリエ変換を行うことで得られます。 とする と、 となり 、解が存在します。 フーリエ変換では y が 十分速くゼロに減衰する必要があり、 Bi は 指数関数的に速く無限大に増加するため、解の次元は 1 つしかなく、フーリエ変換では取得できません。
F
(
Ai
)
(
k
)
:=
∫
−
∞
∞
Ai
(
x
)
e
−
2
π
i
k
x
d
x
=
e
i
3
(
2
π
k
)
3
.
{\displaystyle {\mathcal {F}}(\operatorname {Ai} )(k):=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (x)\ e^{-2\pi ikx}\,dx=e^{{\frac {i}{3}}(2\pi k)^{3}}.}
y
^
=
1
2
π
i
∫
y
e
−
i
k
x
d
x
{\textstyle {\hat {y}}={\frac {1}{2\pi i}}\int ye^{-ikx}dx}
i
y
^
′
+
k
2
y
^
=
0
{\displaystyle i{\hat {y}}'+k^{2}{\hat {y}}=0}
y
^
=
C
e
i
k
3
/
3
.
{\displaystyle {\hat {y}}=Ce^{ik^{3}/3}.}
アプリケーション
量子力学 エアリー関数は、三角形の ポテンシャル井戸 内に閉じ込められた粒子 と 1 次元の一定の力場内の粒子に対する、 時間に依存しないシュレーディンガー方程式の解です。同じ理由で、ポテンシャルが位置の線形関数によって局所的に近似できる場合、 WKB 近似の転換点付近で均一な半古典的近似を提供するのにも役立ちます。三角形のポテンシャル井戸の解は、半導体 ヘテロ接合 に閉じ込められた電子の理解に直接関係しています 。
光学 横方向に非対称な光ビームでは、電界プロファイルがエアリー関数で与えられますが、その最大強度は対称ビームの場合のように直線的に伝播するのではなく、片側に向かって 加速する という興味深い特性があります。これは、低強度のテールが反対方向に広がることを犠牲にしているため、ビームの全体的な運動量は当然保存されます。
コースティクス エアリー関数は、 虹 （過剰虹と呼ばれる） のような光の方向性 火面近くの強度の形の基礎となる。歴史的には、これがエアリーがこの特殊な関数を開発するきっかけとなった数学的問題であった。1841年、 ウィリアム・ハロウズ・ミラーは、 薄い水の円筒に光を当て、望遠鏡で観察することで過剰虹の類似物を実験的に測定した。彼は最大30の帯を観察した。 [7]
確率 1980年代半ばに、エアリー関数は チェルノフ分布 と密接に関係していることが判明した。 [8]
エアリー関数は、ランダム行列 における最大固有値の法則を記述する トレーシー・ウィドム分布 の定義にも登場する。ランダム行列理論と カルダー・パリシ・チャン方程式 の密接な関係により、KPZには エアリー過程 などの中心過程が構築されている 。 [9]
歴史 エアリー関数は、物理学における光学 の研究の初期段階でこの関数に出会った イギリスの天文学者で物理学者の ジョージ・ビデル・エアリー(1801–1892) にちなんで名付けられました (Airy 1838)。Ai( x )という表記法は、 ハロルド・ジェフリーズ によって導入されました。エアリーは 1835 年にイギリス 王立天文学者 となり 、1881 年に引退するまでその職を務めました。
参照
数学ポータル 物理学ポータル
注記
^ デイビッド・E・アスプネス、物理評論、 147、554 （1966） ^ 「エアリー関数と関連関数」 dlmf.nist.gov . 2022年 10月9日 閲覧 。 ^ ab Abramowitz & Stegun (1983, p. 448)、式 10.4.59、10.4.61 ^ 「DLMF: §9.7 漸近展開 ‣ エアリー関数 ‣ 第9章 エアリー関数と関連関数」. dlmf.nist.gov . 2023年5月11日 閲覧 。 ^ abcd アブラモウィッツ＆ステグン（1983、p.448）、式10.4.60および10.4.64 ^ M.Kh.Khokonov. ハード光子の放出によるエネルギー損失のカスケードプロセス // JETP、V.99、No.4、pp. 690-707 \ (2004)。 ^ ミラー、ウィリアム・ハロウズ。「偽りの虹について」ケンブリッジ哲学協会紀要7（1848年）：277。 ^ Groeneboom, Piet; Lalley, Steven; Temme, Nico (2015). 「Chernoff 分布と放物型およびエアリー型の微分方程式」. Journal of Mathematical Analysis and Applications . 423 (2): 1804–1824. arXiv : 1305.6053 . doi : 10.1016/j.jmaa.2014.10.051 . S2CID 119173815. ^ クアステル、ジェレミー、レメニック、ダニエル (2014)。「エアリー過程と変分問題」。 浸透 系と無秩序系の話題 。シュプリンガー数学・統計学紀要。 第 69 巻。pp. 121–171。arXiv : 1301.0750。doi : 10.1007/ 978-1-4939-0339-9_5。ISBN 978-1-4939-0338-2 . S2CID 118241762。
参考文献 アブラモウィッツ、ミルトン 、 ステグン、アイリーン ・アン編 (1983) [1964 年 6 月]。「第 10 章」。 数式、グラフ、および数学表付き数学関数ハンドブック 。応用数学シリーズ。第 55 巻 (第 10 刷の訂正を加えた第 9 刷 (1972 年 12 月)、初版)。ワシントン DC、ニューヨーク: 米国商務省、国立標準局、ドーバー出版。p. 448。ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036。MR 0167642。LCCN 65-12253 。 エアリー (1838)、「腐食物質の近傍における光の強度について」、 ケンブリッジ哲学協会紀要 、 6 、大学出版局: 379–402、 書誌コード :1838TCaPS...6..379A フランク・ウィリアム・ジョン・オルバー (1974)。 漸近論と特殊関数、 第 11 章。アカデミック プレス、ニューヨーク。 Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007)、「セクション 6.6.3. エアリー関数」、 Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (第 3 版)、ニューヨーク: Cambridge University Press、 ISBN 978-0-521-88068-8 、2011年8月11日にオリジナルからアーカイブされ 、 2011年8月9日に取得 ヴァレー、オリヴィエ、ソアレス、マヌエル（2004）、エアリー関数と物理学への応用、ロンドン：インペリアル・カレッジ・プレス、 ISBN 978-1-86094-478-9 , MR 2114198、2010-01-13にオリジナルからアーカイブ 、 2010-05-14に取得
外部リンク
_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg/500px-Plot_of_the_Airy_function_Ai(z)_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg.png)
_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg/500px-Plot_of_the_derivative_of_the_Airy_function_Ai'(z)_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg.png)
_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg/500px-Plot_of_the_Airy_function_Bi(z)_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg.png)
![{\displaystyle \operatorname {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3bcd1d018bad9c90fe2a8575dbb9038f2371ad4)
_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg/500px-Plot_of_the_derivative_of_the_Airy_function_Bi'(z)_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg.png)
![{\displaystyle \operatorname {Ai} (z)\sim {\dfrac {1}{2{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\exp \left(-{\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f5126841f2fbb258f59ecbe9253278655d74125)
![{\displaystyle \operatorname {Ai} (z)\sim {\dfrac {e^{-\zeta }}{4\pi ^{3/2}\,z^{1/4}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)}{n!(-2\zeta )^{n}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e3b873174de875bd4cbfc6622690a758c89585)
![{\displaystyle \operatorname {Bi} (z)\sim {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\exp \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f26147bd014818b2de921af74ce2cb12329ebf4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-z)\sim &{}\ {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} (-z)\sim &{}{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}+{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e196759543503a1086e6fc8d6171705f1d358896)
![{\displaystyle \operatorname {Ai} '(z)\sim -{\dfrac {z^{1/4}}{2{\sqrt {\pi }}\,}}\exp \left(-{\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caed579ee27f7b2c095a7af0851c5c87c2034125)
![{\displaystyle \operatorname {Bi} '(z)\sim {\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\exp \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3794afa5aebc6c8b40f248ad361a1f931ad48d56)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} '(-z)\sim &{}-{\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} '(-z)\sim &{}\ {\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d79b5e8a69688ba7dce12b0eceec1c92fc1407c1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {\frac {x}{3}}}\,K_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right),\\\operatorname {Bi} (x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left[I_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{-1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e861d86904629a2d1d12a7ce85411999080f2eb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{9}}}\left[J_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right],\\\operatorname {Bi} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left[J_{-1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ecb62168bcf5ece20eaff8fe6f769991c1a63e4)
