多重スケール分析

数学と物理学において、多重スケール解析（多重スケール法とも呼ばれる）は、独立変数の値が小さい場合と大きい場合の両方において、摂動問題の解に対する一様に有効な近似値を構築するために使用される手法です。これは、独立変数に対して高速スケール変数と低速スケール変数を導入し、その後、これらの高速変数と低速変数を独立しているかのように扱うことによって行われます。その後の摂動問題の解決プロセスでは、新しい独立変数によってもたらされる追加の自由度を使用して、（不要な）永年項が削除されます。後者は、近似解に制約条件を課し、これを可解条件と呼びます。

1980 年代頃の数学研究では、座標変換と不変多様体がマルチスケールモデリングのより確実なサポートを提供することが提案されています^[要出典] (たとえば、中心多様体と低速多様体を参照)。

多重スケール解析法の例として、減衰も強制もないダフィング方程式を考えてみましょう: ^[1]これは 非線形振動子を記述する 2次常微分方程式です。解y ( t ) は、(正の)非線形パラメータ 0 <  ε ≪ 1 の小さな値に対して求められます。減衰のないダフィング方程式は、ハミルトン系 であることが知られています: q  =  y ( t ) およびp  =  dy / dt です。したがって、ハミルトンH ( p ,  q ) は保存量、定数であり、H  =  ⁠$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+y+\varepsilon y^{3}=0,}$$ $${\displaystyle y(0)=1,\qquad {\frac {dy}{dt}}(0)=0,}$$ $${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}},\qquad {\frac {dq}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial p}},\quad {\text{ ただし }}\quad H={\tfrac {1}{2}}p^{2}+{\tfrac {1}{2}}q^{2}+{\tfrac {1}{4}}\varepsilon q^{4},}$$1/2⁠  +  ⁠1/4⁠  ε は与えられた初期条件に対して成り立ちます。これは、yとdy / dt の両方が制限される必要があることを意味します。 $${\displaystyle \left|y(t)\right|\leq {\sqrt {1+{\tfrac {1}{2}}\varepsilon }}\quad {\text{ かつ }}\quad \left|{\frac {dy}{dt}}\right|\leq {\sqrt {1+{\tfrac {1}{2}}\varepsilon }}\qquad {\text{ すべての }}t について。}$$

この問題に対する通常の摂動級数アプローチは、これを減衰のないダフィング方程式に代入して書き表すことによって進む。のべき乗を合わせると、方程式のシステムが得られる。 ${\textstyle y(t)=y_{0}(t)+\varepsilon y_{1}(t)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})}$${\textstyle \epsilon }$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y_{0}}{dt^{2}}}+y_{0}&=0,\\{\frac {d^{2}y_{1}}{dt^{2}}}+y_{1}&=-y_{0}^{3}.\end{aligned}}}$$

これらを初期条件に従って解くと、次の式が得られます。 $${\displaystyle y(t)=\cos(t)+\varepsilon \left[{\tfrac {1}{32}}\cos(3t)-{\tfrac {1}{32}}\cos(t)-\underbrace {{\tfrac {3}{8}}\,t\,\sin(t)} _{\text{secular}}\right]+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}).}$$

角括弧で囲まれた最後の項は永年的であることに注意する。つまり、| t | が大きい場合、この項は無制限に大きくなる。特に、この項はO (1) であり、主要次数項と同じ大きさのオーダーである。項が無秩序になったため、級数はもはや解の漸近展開ではない。 ${\displaystyle t=O(\varepsilon ^{-1})}$

を超えて有効な解を構築するには、多重スケール解析法が使用されます。遅いスケールt ₁ : を導入し 、解y ( t ) がtとt _{1 の}両方に依存する摂動級数解であると仮定し、次のように扱われます。 ${\displaystyle t=O(\epsilon ^{-1})}$$${\displaystyle t_{1}=\varepsilon t}$$$${\displaystyle y(t)=Y_{0}(t,t_{1})+\varepsilon Y_{1}(t,t_{1})+\cdots .}$$

つまり、 dt ₁ / dt  =  ε を使用します。同様に、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dt}}&=\left({\frac {\partial Y_{0}}{\partial t}}+{\frac {dt_{1}}{dt}}{\frac {\partial Y_{0}}{\partial t_{1}}}\right)+\varepsilon \left({\frac {\partial Y_{1}}{\partial t}}+{\frac {dt_{1}}{dt}}{\frac {\partial Y_{1}}{\partial t_{1}}}\right)+\cdots \\&={\frac {\partial Y_{0}}{\partial t}}+\varepsilon \left({\frac {\partial Y_{0}}{\partial t_{1}}}+{\frac {\partial Y_{1}}{\partial t}}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t^{2}}}+\varepsilon \left(2{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t\,\partial t_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}Y_{1}}{\partial t^{2}}}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}).}$$

すると、ダフィング方程式の多重スケール摂動級数のゼロ次問題と一次問題は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t^{2}}}+Y_{0}&=0,\\{\frac {\partial ^{2}Y_{1}}{\partial t^{2}}}+Y_{1}&=-Y_{0}^{3}-2\,{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t\,\partial t_{1}}}.\end{aligned}}}$$

ゼロ次問題には一般解がある。A ( t 1 ₎は ゼロ次解Y ₀ ( t ,  t ₁ )の複素数値振幅で、 i ²  = −1 である。さて、1次問題では、微分方程式の 右辺の強制は 、cc は前の項の複素共役を表す。永年項の発生は、振幅A ( t ₁ ) （まだ未知）に次の解条件を課すことで防ぐことができる。$${\displaystyle Y_{0}(t,t_{1})=A(t_{1})\,e^{+it}+A^{\ast }(t_{1})\,e^{-it},}$$$${\displaystyle \left[-3\,A^{2}\,A^{\ast }-2\,i\,{\frac {dA}{dt_{1}}}\right]\,e^{+it}-A^{3}\,e^{+3it}+c.c.}$$ $${\displaystyle -3\,A^{2}\,A^{\ast }-2\,i\,{\frac {dA}{dt_{1}}}=0.}$$

初期条件y (0) = 1およびdy / dt (0) = 0も満たす可解条件の解は次のようになる。 $${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\,\exp \left({\tfrac {3}{8}}\,i\,t_{1}\right).}$$

その結果、多重スケール解析による近似解は t ₁ = εt を使用し、 εt = O(1)に対して有効である。これは、リンシュテット・ポアンカレ法を用いて発見された非線形周波数変化と一致する。 $${\displaystyle y(t)=\cos \left[\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \right)t\right]+{\mathcal {O}}(\varepsilon ),}$$

この新しい解は まで有効です。多重スケール法を用いた高次の解では、追加の遅いスケール、すなわちt ₂ = ε ² t、t ₃ = ε ³ tなどを導入する必要があります。しかし、これにより摂動級数解に曖昧さが生じる可能性があり、慎重な取り扱いが必要です (Kevorkian & Cole 1996、Bender & Orszag 1999 を参照)。^[2]${\displaystyle t=O(\epsilon ^{-2})}$

あるいは、現代的なアプローチでは、次に説明する正規形の方法[3]のように、座標 変換^{を使用してこれらの種類のモデルを導出します。}

振幅がゆっくりと変化し、位相がほぼ一定の割合で変化する新しい座標で解が求められます。つまり、単純な代数により、座標変換^{[要出典]が} ダフィング方程式を、半径が一定で位相が次のように変化 するペアに変換します。${\displaystyle y\approx r\cos \theta }$${\displaystyle (r,\theta )}$${\displaystyle r(t)}$${\displaystyle \theta (t)}$${\displaystyle d\theta /dt\approx 1.}$ $${\displaystyle y=r\cos \theta +{\frac {1}{32}}\varepsilon r^{3}\cos 3\theta +{\frac {1}{1024}}\varepsilon ^{2}r^{5}(-21\cos 3\theta +\cos 5\theta )+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{3})}$$${\displaystyle dr/dt=0}$$${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=1+{\frac {3}{8}}\varepsilon r^{2}-{\frac {15}{256}}\varepsilon ^{2}r^{4}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{3}).}$$

つまり、ダフィングの振動は振幅は一定だが、振幅に応じて周波数が異なる。 ^[4]${\displaystyle r}$${\displaystyle d\theta /dt}$

より難しい例は、複素指数関数を含む時間依存座標変換（前述の複数の時間スケールアプローチでも呼び出された）を使用して処理する方が適切です。Webサービスは、幅広い例の分析を実行します。^{[いつ？ ] [5]}

• 整合漸近展開法
• WKB近似
• 平均化の方法
• クリロフ・ボゴリュボフ平均法

• Carson C. Chow (編)。「多重スケール分析」。Scholarpedia。