時間定数

物理学と工学において、時定数は、通常ギリシャ文字τ（タウ）で表され、一次線形時不変（LTI）システムのステップ入力に対する応答を特徴付けるパラメータである。 ^{[1] [注 1]}時定数は、一次LTIシステムの 主な特性単位である。それは応答の速度を与える。

時間領域では、時間応答を調べるための通常の選択肢は、ステップ入力に対するステップ応答、またはディラックのデルタ関数入力に対するインパルス応答です。^[2]周波数領域では（たとえば、ステップ応答のフーリエ変換を調べたり、時間の単純な正弦関数である入力を使用したり）、時定数は一次時間不変システムの帯域幅、つまり出力信号の電力が低周波数での半分の値に低下する周波数も決定します。

時定数は、磁気テープ、無線送信機と受信機、レコードカッティングと再生装置、デジタルフィルターなど、さまざまな信号処理システムの周波数応答を特徴付けるためにも使用されます。これらは、1次LTIシステムによってモデル化または近似できます。他の例としては、積分動作コントローラーと微分動作コントローラーの制御システムで使用される時定数があります。これらのコントローラーは、電気式ではなく 空気圧式であることが多いです。

時定数は、対流冷却または加温の影響下で物体が均一に冷却または加温される場合に使用される、熱システムの集中システム解析（集中容量解析法）の特徴である。 ^[3]

物理的には、時定数は、システムが初期速度で崩壊し続けた場合にシステム応答がゼロに崩壊するのに必要な経過時間を表します。崩壊速度の漸進的な変化により、応答の値は実際にはこの時間内に1 /  e ≈ 36.8%に減少します(ステップ減少からとします)。増加するシステムでは、時定数は、システムのステップ応答が最終 (漸近) 値の1 − 1 /  e ≈ 63.2%に達するまでの時間です(ステップ増加からとします)。放射性崩壊では、時定数は崩壊定数( λ ) に関連しており、崩壊するシステム (原子など) が崩壊する前の平均寿命、または 36.8% を除くすべての原子が崩壊するのにかかる時間の両方を表します。このため、時定数は半減期(原子の 50% だけが崩壊する時間) よりも長くなります。

一次LTIシステムは微分方程式によって特徴付けられる。 $${\displaystyle \tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)}$$

ここで、τ は指数関数的減衰定数を表し、Vは時間t の関数です。 右辺は強制関数f ( t )で、時間の外部駆動関数を記述します。これはシステム入力と見なすことができ、 V ( t ) はそれに対する応答、つまりシステム出力です。f ( t )の典型的な例は次のとおりです。 $${\displaystyle V=V(t).}$$

ヘヴィサイドのステップ関数（u ( t )と表記されることが多い）： インパルス関数（δ ( t )と表記されることが多い） 、および正弦波入力関数： または ここで、Aは強制関数の振幅、fはヘルツ単位の周波数、ω = 2 π f はラジアン/秒単位の周波数です。 $${\displaystyle u(t)={\begin{cases}0,&t<0\\1,&t\geq 0\end{cases}}}$$$${\displaystyle f(t)=A\sin(2\pi ft)}$$$${\displaystyle f(t)=Ae^{j\omega t},}$$

初期値V ₀で強制関数のない 微分方程式の解の例は次のようになる。$${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-t/\tau}}$$

どこ $${\displaystyle V_{0}=V(t=0)}$$

はVの初期値です。したがって、応答は時間定数τを持つ指数関数的な減少になります。

仮定する $${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }.}$$

この動作は「減衰」指数関数と呼ばれます。時間τ (タウ) は「時定数」と呼ばれ、(この場合のように) 指数関数が減衰する速度を示すために使用できます。

ここ：

• tは時間（制御工学では通常t > 0 ）
• V ₀は初期値です（下記の「特定のケース」を参照）。

1. とすると、 となり、${\displaystyle t=0}$${\displaystyle V=V_{0}e^{0}}$${\displaystyle V=V_{0}}$
2. すると、${\displaystyle t=\tau}$${\displaystyle V=V_{0}e^{-1}\approx 0.37V_{0}}$
3. とすると、${\displaystyle V=f(t)=V_{0}e^{-t/\tau}}$${\textstyle \lim _{t\to \infty }f(t)=0}$
4. すると、${\displaystyle t=5\tau}$${\displaystyle V=V_{0}e^{-5}\approx 0.0067V_{0}}$

1 つの時定数の期間が経過すると、関数はe ⁻¹ = 初期値の約 37% に達します。ケース 4 では、5 つの時定数の期間が経過すると、関数は元の値の 1% 未満の値に達します。ほとんどの場合、この 1% のしきい値は、関数がゼロに減衰したと想定するのに十分であると見なされます。経験則として、制御エンジニアリングでは、安定したシステムとは、このような全体的な減衰動作を示すシステムです。

強制関数が正弦波として選択されたと仮定します。

$${\displaystyle \tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)=Ae^{j\omega t}.}$$

（実数コサイン波または実数正弦波入力に対する応答は、オイラーの公式を利用して最終結果の実数部または虚数部を取ることによって得られます。） V ( t = 0) = V ₀と仮定すると、時間t ≥ 0 sに対するこの式の一般解は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}V(t)&=V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {Ae^{-t/\tau }}{\tau }}\int _{0}^{t}\,dt'\ e^{t'/\tau }e^{j\omega t'}\\[1ex]&=V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {\frac {1}{\tau }}{j\omega +{\frac {1}{\tau }}}}A\left(e^{j\omega t}-e^{-t/\tau }\right).\end{aligned}}}$$

長時間にわたって指数関数の減少は無視できるほど小さくなり、定常解または長時間解は次のようになります。

$${\displaystyle V_{\infty }(t)={\frac {1/\tau }{j\omega +1/\tau }}Ae^{j\omega t}.}$$

この応答の大きさは次のようになります。 慣例により、このシステムの帯域幅は、| V _∞ | ^{2 が}半分の値に低下する周波数、またはωτ = 1となる周波数です。これは通常の帯域幅の慣例であり、電力が半分未満（最大で -3 dB）低下する周波数範囲として定義されます。ラジアン/秒（ ω = 2 πf） ではなくヘルツ単位の周波数を使用すると、次のようになります。$${\displaystyle |V_{\infty }(t)|=A{\frac {1}{\tau \left(\omega ^{2}+(1/\tau )^{2}\right)^{1/2}}}=A{\frac {1}{\sqrt {1+(\omega \tau )^{2}}}}.}$$

$${\displaystyle f_{\mathrm {3dB} }={\frac {1}{2\pi \tau }}.}$$

f _3dBという表記は、電力をデシベルで表すことと、電力の半分が| V _∞ |の値の 1/2 または 3 デシベルの低下に対応するという観察に由来しています。

したがって、時定数によってこのシステムの帯域幅が決まります。

強制関数がステップ入力として選択されたと仮定します。

$${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}V=f(t)=Au(t),}$$

ここで、u ( t )は単位ステップ関数です。時刻t ≥ 0 sにおけるこの式の一般解は、V ( t = 0) = V ₀と仮定すると次のようになります。

$${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }+A\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right).}$$

（この応答は、正弦波入力に対する上記の応答の ω → 0限界であることが観察される。）

長期解は時間に依存せず、初期条件にも依存しません。 $${\displaystyle V_{\infty }=A\tau .}$$

開始条件に関係なく、同じシステムでは時間定数は同じままです。簡単に言えば、任意の開始点でその値にどれだけ近いかに関係なく、システムは一定の速度で最終的な定常状態に近づきます。

例えば、始動が1次LTIシステムで適切にモデル化されている電気モーターを考えてみましょう。停止状態から始動するとき、モーターは⁠1/8⁠ 1秒で公称速度100 RPMの63%、つまり63 RPMに達します。つまり37 RPM不足です。次に、次の⁠1/8⁠ 1秒のうちに、モーターはさらに23 RPM加速し、これは37 RPMの差の63%に相当します。これで86 RPMになりますが、まだ14 RPM低いです。3分の1後、⁠1/8⁠ 1 秒あたり、モーターはさらに 9 RPM (14 RPM の差の 63%) 増加し、95 RPM になります。

実際、初期速度s≤100RPMの場合、⁠ 1/8⁠ 1秒後、この特定のモーターはさらに0.63 × (100 − s ) RPM増加します。

単一の抵抗とインダクタで構成されるRL回路では、時定数（秒単位）は ${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle \tau ={\frac {L}{R}}}$$

ここで、Rは抵抗（オーム）、L はインダクタンス（ヘンリー）です。

同様に、単一の抵抗器とコンデンサで構成されるRC 回路では、時定数(秒単位) は次のようになります。 ${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle \tau =RC}$$

ここで、Rは抵抗（オーム）、C は静電容量（ファラッド）です。

電気回路は、多くの場合、これらの例よりも複雑で、複数の時定​​数を示すことがあります (いくつかの例については、ステップ応答と極分割を参照してください)。フィードバックが存在する場合、システムは不安定で増加する振動を示すことがあります。さらに、物理的な電気回路は、非常に低い振幅の励起を除いて、真に線形なシステムになることはほとんどありませんが、線形性の近似は広く使用されています。

デジタル電子回路では別の尺度としてFO4がよく使われます。これは次の式で時定数の単位に変換できます。^[4]${\displaystyle 5\tau ={\text{FO4}}}$

時定数は、熱システムの集中システム解析（集中容量解析法）の特徴であり、対流冷却または加温の影響下で物体が均一に冷却または加温される場合に使用されます。この場合、特定の時間における物体から周囲への熱伝達は、物体と周囲の温度差に比例します。^[5]

$${\displaystyle F=hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right),}$$

ここでhは熱伝達係数、A _sは表面積、Tは温度関数、すなわちT ( t ) は時刻tにおける体温、T _{a は}一定の周囲温度です。正の符号は、体温が周囲温度よりも高いため熱が体から放出されるときにFが正になるという慣例を示しています ( Fは外向きのフラックスです)。熱が周囲に失われると、この熱伝達によって体の温度が低下し、次のように表されます。^[5]

$${\displaystyle \rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-F,}$$

ここでρ = 密度、c _p =比熱、V は物体の体積です。負の符号は、熱伝達が物体から外側に向くとき（つまり、F > 0 のとき）に温度が下がることを示します。熱伝達に関するこれら 2 つの式を等しくすると、

$${\displaystyle \rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right).}$$

明らかに、これは次の形式で表すことができる 1 次 LTI システムです。

$${\displaystyle {\frac {dT}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}T={\frac {1}{\tau }}T_{a},}$$

と

$${\displaystyle \tau ={\frac {\rho c_{p}V}{hA_{s}}}.}$$

言い換えると、質量ρVが大きく熱容量c _{p が}高いと温度変化は遅くなり（時定数τ は長くなります）、表面積A _sが大きく熱伝達hが高いと温度変化は速くなります（時定数τ は短くなります）。

導入微分方程式との比較から、時間とともに変化する周囲温度T _{aへの一般化の可能性が示唆されます。ただし、単純な一定周囲温度の例を維持し、変数 Δ} T ≡ ( T − T _a ) を代入すると、次のようになります。

$${\displaystyle {\frac {d\Delta T}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}\Delta T=0.}$$

冷却が上記の指数方程式を満たすシステムは、ニュートンの冷却の法則を満たすと言われています。この方程式の解は、そのようなシステムでは、システムとその周囲の温度差 Δ Tが時間tの関数として次のように表されることを示しています。

${\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T_{0}e^{-t/\tau },}$

ここで、Δ T _{0 は、時刻}t = 0における初期温度差です。つまり、物体は、時定数によって決まる指数関数的に遅い速度で周囲と同じ温度になります。

筋肉やニューロンなどの興奮性細胞では、膜電位 の時定数は ${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle \tau =r_{m}c_{m}}$$

ここで、r _mは膜の抵抗、c _{m は}膜の 静電容量です。

膜全体の抵抗は開いているイオンチャネルの数の関数であり、静電容量は脂質二重層の特性の関数です。

時定数は膜電圧の上昇と下降を表すために使用され、上昇は次のように表されます。 $${\displaystyle V(t)=V_{\textrm {max}}\left(1-e^{-t/\tau }\right)}$$

そしてその崩壊は次のように描写されている $${\displaystyle V(t)=V_{\textrm {max}}e^{-t/\tau }}$$

ここで、電圧はミリボルト、時間は秒、は秒単位です。 ${\displaystyle \tau }$

V _maxは静止電位からの最大電圧変化として定義され、 $${\displaystyle V_{\textrm {max}}=r_{m}I}$$

ここで、r _mは膜抵抗、I は膜電流です。

上昇時のt = を設定すると、 V ( t ) は0.63 V _maxに等しくなります。つまり、時定数はV _maxの63%に達した 後の経過時間です。${\displaystyle \tau }$

tを=に設定すると、V ( t ) は 0.37 V _maxに等しくなります。つまり、時定数はV _maxの 37% まで低下してから経過した時間になります。 ${\displaystyle \tau }$

時定数が大きいほど、ニューロンの電位の上昇または下降は遅くなります。時定数が長いと、時間的加算、つまり繰り返される電位の代数的加算が発生します。時定数が短いと、空間的加算によって一致検出器が生成されます。

放射性同位元素などの指数関数的崩壊では、時定数は平均寿命として解釈できます。半減期T _HLまたはT _{1/2 は、}指数関数的崩壊定数と 次の式で関連しています。 時定数の逆数は崩壊定数と呼ばれ、 と表記されます。 ${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle T_{1/2}=T_{\text{HL}}=\tau \ln 2.}$$${\displaystyle \lambda =1/\tau }$

時定数とは、気象センサーが測定値の急激な変化に反応し、センサーに通常期待される精度許容範囲内で値を測定するまでにかかる時間です。

これは、温度、露点温度、湿度、気圧の測定に最もよく当てはまります。ラジオゾンデは高度が急激に上昇するため、特に影響を受けます。

ウィキメディア・コモンズには、時間定数に関連するメディアがあります。

• 時定数τからカットオフ周波数fcへの変換とその逆
• 回路のすべて – 電圧と電流の計算
• 建物のエネルギーと熱時間定数