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概念「馬」のパラドックス（概念馬問題、またはフレーゲの概念馬パラドックスとも呼ばれる。ドイツ語: der Begriff Pferd ）は、ゴットロープ・フレーゲの概念と対象の区別から生じる言語哲学および論理哲学の問題である。これは、フレーゲが1892年の論文「概念と対象について」の中で「概念馬は概念ではない」と述べたことにちなんで名付けられた。[ 1 ]
フレーゲは、述語は概念を表し、単数形（確定記述を含む）は対象を表すと主張した。「概念としての馬」という表現は文法的に単数形なので、一見馬であるという概念を取り上げているように見えても、フレーゲ自身の基準によれば、概念ではなく対象を表すことになる。[ 1 ]この結果生じる矛盾は、フレーゲの概念と対象の明確な分離に対する挑戦と見なされ、述語、高階参照、型理論に関する広範な議論を促してきた。[ 2 ] [ 3 ]
フレーゲの成熟した著作では、概念は対象から真理値への関数の特殊な種類として扱われます。完全な宣言文は、対象を名付ける式と、その対象が該当するか該当しないかを表す述語を含むものとして分析されます。[ 4 ] [ 5 ]このように理解された概念は不飽和です。つまり、不完全であり、真理値を得るためには引数と組み合わせる必要がありますが、対象は完全であり、名前で参照できます。
『算術の基礎』の中で、フレーゲは概念と対象の区別を曖昧にしてはならないと強調し、その区別に基づいて数の論理主義的説明を構築している。[ 6 ] [ 5 ]後期の著作では、型の階層構造が追加されている。第一レベルの概念は対象に適用され、第二レベルの概念は第一レベルの概念に適用され、以下同様である。[ 5 ]
フレーゲは『概念と対象』の中で、この存在論的な区別を文法から導き出された基準と結びつけている。「馬である」のような述語表現は概念を表すと言われ、文法的に単数形の表現（固有名詞や「F」という形の定冠詞）は対象を指定する役割を果たす。[ 1 ]概念は飽和しないので、フレーゲは同じ表現が対象の名前と概念を表す述語の両方として機能することはあり得ないと否定している。
この文法テストには重要な帰結がある。定冠詞で始まる表現、例えば「馬という概念」は、フレーゲの見解では、対象を指示する単数語でなければならない。フレーゲは、話題自体が概念であっても、日常言語ではこのように話すことを強いられると主張している。[ 1 ] [ 5 ]
このパラドックスは、「馬という概念は概念ではない」という文に注目することでよく明らかになる。フレーゲは、厳密に言えばこの文は正しいと主張する。なぜなら、「馬という概念」は単数形であり、対象を指し示し、「概念である」などの述語は対象には適用されないからである。[ 1 ]同時に、フレーゲは、馬であるという概念は確かに概念であり、そのような概念は多数存在するという考えを擁護したいと考えている。
評論家たちは、フレーゲの3つの公約が矛盾しているように見えると強調している。
これらの仮定を総合すると、通常の数学的言説が体系的に誤解を招くか、あるいはフレーゲの概念と対象の区別が彼が想定した方法では成り立たないかのどちらかである。イアン・プルーップスは、この問題の異なる定式化はこれらの命題の異なる組み合わせに対応するため、「概念の馬」のパラドックスは単一の議論ではなく、関連する困難の集合として捉えるのが最適であると指摘している。[ 3 ]
フレーゲ自身は、この状況を自身の存在論の欠陥ではなく、言語の限界であると述べている。概念を言及しようとすると、必然的に単数形の用語を用い、それによって言及される実体の論理的カテゴリーを念頭に置くことができなくなると彼は示唆している。完全に明快な扱いをするには、通常のドイツ語ではなく、彼の形式論理記法を用いる必要があるだろう。[ 1 ] [ 2 ]
フレーゲは、日常言語では概念は述語によってのみ適切に表現できると主張する。述語とは、引数によって満たされると文を形成する不完全な表現である。概念を名前で言及しようとすると、必然的にその概念は別の種類の対象に変わってしまう。この見解によれば、馬であるという概念について厳密に正しく語る唯一の方法は、文中で述語「馬である」を用いることである。「馬という概念」という表現は便利ではあるが、論理的に誤解を招く表現方法である。[ 1 ] [ 2 ]
したがって、フレーゲは以下のように区別する。
この解釈によれば、フレーゲの「概念馬は概念ではない」という文は、誤解を招く恐れはあるものの、厳密には正しい。その主語は概念ではなく対象を指しているからである。しかし、多くの哲学者は、これが概念について語る適切な方法なのか、あるいはフレーゲの体系がこの区別を首尾一貫して維持できるのか疑問視している。[ 7 ] [ 8 ]
テレンス・パーソンズは、フレーゲが「馬という概念は概念ではない」という結論を受け入れる必要はなかったと主張している。パーソンズは、フレーゲは述語の異なるレベルを注意深く区別することで、より広い論理的枠組みを維持しながら、その文の主語が概念を指すことを許容できたはずだと主張している。[ 7 ]
クリスピン・ライトは、彼が「指示原理」と呼ぶものを通して、論理カテゴリーを文法形式に過度に密接に結びつけようとする試みを批判している。この原理によれば、共指示表現は同じ文法カテゴリーに属さなければならない。[ 8 ] [ 9 ]ライトは、この原理は十分に根拠がなく、フレーゲが概念馬のパラドックスを説明する際にこの原理に訴えたのは拒否されるべきだと主張している。
マイケル・ダメットやピーター・ギーチなどの他の著者は、フレーゲの不飽和概念の概念が、述語やその他の不完全な表現が自然言語と形式論理の両方において対象として扱われるという明らかな能力と調和できるかどうか疑問を呈している。[ 2 ] [ 10 ]
応答の一派は、より豊かな型理論を導入することでフレーゲの見解を修正または補完する。高次のフレーゲ主義者は、対象、第一レベルの概念、第二レベルの概念など、異なるレベルの参照を区別し、これらのタイプに対応するさまざまな種類の意味関係を許容する。たとえば、ニック・K・ジョーンズは、述語が独自の種類の参照を持ち、問題のある文を概念を対象へと縮約することなく分析できる高次の意味論を提案している。[ 9 ]
フレイザー・マクブライドは、特定の表現が単数項と述語の特徴を併せ持つという「不純な参照」の見解を展開している。[ 11 ]このアプローチでは、概念と対象が異なる論理的役割を果たすというフレーゲの洞察を放棄することなく、明らかに概念を名付ける用語を収容することができる。
アンステン・クレフは、フレーゲが「概念としての馬」が必ずしも対象を指し示すとは限らないと考えたのは誤りだと主張する。クレフは、フレーゲ自身の形式的記法における固有名詞の定義基準に依拠し、「概念としての馬は概念である」という文の文法上の主語は、述語「概念である」自体が高次の機能を表すものとして分析されない限り、概念を指し示すものと見なすことができると主張する。[ 12 ]
関連する議論として、概念や性質がそもそも単数形の指示対象になり得るかどうかという点がある。ロバート・トルーマンは、フレーゲの枠組みの中では、対象と性質の間の同一性を表現する首尾一貫した方法は存在せず、そうしようとする試みは無意味であると主張している。[ 13 ]これに対し、マイケル・プライスは、性質への単数形の指示の可能性を擁護し、「馬」という概念は矛盾なく命名できると主張している。[ 14 ]
ボブ・ヘイルとクリスピン・ライトも同様に、述語は適切な意味で指示するものと言え、概念の馬のパラドックスは概念を実体として語ることの正当性を損なうものではないと主張している。[ 15 ]
ケリー・ディーン・ジョリーは、概念の馬のパラドックスを、ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインの言語の限界と、論理構文によってのみ示すことができるものとの区別に関する懸念と結びつけている。[ 16 ]この解釈によれば、フレーゲが概念について語る際の困難は、形式概念は名前を付けることができず、代わりに命題の形で現れるというヴィトゲンシュタインの『論理哲学論考』における主張を予見している。
他の著者たちは、このパラドックスをカテゴリー、述語、高階表現の意味論の理論のテストケースとして使用しており、現代の高階論理やカテゴリー論理の研究も含まれる。[ 12 ] [ 9 ] [ 3 ]
「馬」パラドックスの概念は、フレーゲの研究や分析哲学の起源の研究において標準的なトピックとなっている。ダメット、ギーチらによるフレーゲの言語哲学と論理哲学に関する主要な議論は、通常、このパラドックスと、フレーゲによる概念、対象、値域の扱いについて注目している。[ 2 ] [ 17 ]
フレーゲの研究を超えて、このパラドックスは述語の意味論、厳密な型階層の実現可能性、自然言語や形式体系における特性や概念の量化と参照の可能性についての議論を形成してきた。[ 8 ] [ 14 ]