テイラースクレイピングフロー

流体力学において、テイラースクレイピングフローは、壁の1つが他の壁の上を一定速度で滑っているときに発生する2次元コーナーフローの一種であり、GIテイラーにちなんで名付けられました。^{[1] [2] [3]}

円筒座標 にある平面壁が等速で左方向に動いているとします。傾斜した位置にある別の平面壁（スクレーパー）が正の方向から角度をなしていて、交点が にあるとします。この説明は、スクレーパーを速度 で右方向に動かすことに相当します。原点では速度が不連続であるため、 問題は で特異であり、速度勾配はそこでは無限大です。${\displaystyle \theta =0}$${\displaystyle (r,\theta )}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle U}$${\displaystyle r=0}$

テイラーは、関心領域が（または同等のレイノルズ数）内にある限り慣性項は無視できることに気付きました。したがって、領域内では流れは本質的にストークス流れです。たとえば、ジョージ・バチェラーは、速度 を持つ潤滑油の典型的な値をとしています。^[4]次に、2次元平面問題の場合、方程式は次のようになります。 ${\displaystyle r\ll \nu /U}$ ${\displaystyle Re=Ur/\nu \ll 1}$${\displaystyle U=10{\text{cm}}/{\text{s}}}$${\displaystyle r\ll 0.4{\text{cm}}}$

${\displaystyle \nabla^{4}\psi =0,\quad u_{r}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},\quad u_{\theta }=-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}}$

ここでは速度場、 は流れ関数です。境界条件は ${\displaystyle \mathbf {v} =(u_{r},u_{\theta })}$${\displaystyle \psi}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r>0,\ \theta =0:&\quad u_{r}=-U,\ u_{\theta }=0\\r>0,\ \theta =\alpha :&\quad u_{r}=0,\ u_{\theta }=0\end{aligned}}}$

形式の分離可能な解決を試みると、問題は次のように減少する。 ${\displaystyle \psi =Urf(\theta )}$

${\displaystyle f^{iv}+2f''+f=0}$

境界条件付き

${\displaystyle f(0)=0,\ f'(0)=-1,\ f(\alpha )=0,\ f'(\alpha )=0}$

解決策は^[5]

${\displaystyle f(\theta )={\frac {1}{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }}[\theta \sin \alpha \sin(\alpha -\theta )- \alpha (\alpha -\theta )\sin \theta ]}$

したがって、速度場は

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}&={\frac {U}{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }}\{\sin \alpha [\sin(\ alpha -\theta )-\theta \cos(\alpha -\theta )]+\alpha [\sin \theta -(\alpha -\theta )\cos \theta ]\}\\u_{\theta }&=-{\frac {U}{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }}[\theta \sin \alpha \sin(\alpha - \theta )-\alpha (\alpha -\theta )\sin \theta ]\end{aligned}}}$

圧力は運動量方程式の積分によって得られる。

${\displaystyle \nabla p=\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} ,\quad p(r,\infty )=p_{\infty }}$

つまり、

${\displaystyle p(r,\theta )-p_{\infty }={\frac {2\mu U}{r}}{\frac {\alpha \sin \theta +\sin \alpha \sin(\alpha -\シータ )}{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }}}$

圧力と粘性力によるスクレーパーの接線応力と垂直応力は、

${\displaystyle \sigma _{t}={\frac {2\mu U}{r}}{\frac {\sin \alpha -\alpha \cos \alpha }{\alpha ^{2}-\sin ^ {2}\alpha }},\quad \sigma _{n}={\frac {2\mu U}{r}}{\frac {\alpha \sin \alpha }{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }}}$

同じスクレーパー応力を直交座標（下プレートに平行および垂直） で解くと、${\displaystyle \sigma _{x}=-\sigma _{t}\cos \alpha +\sigma _{n}\sin \alpha ,\ \sigma _{y}=\sigma _{t}\sin \alpha +\sigma _{n}\cos \alpha }$

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {2\mu U}{r}}{\frac {\alpha -\sin \alpha \cos \alpha }{\alpha ^{2}-\sin ^ {2}\alpha }},\quad \sigma _{y}={\frac {2\mu U}{r}}{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }}}$

前述のように、速度勾配が無限大であるため、 ではすべての応力が無限大になります。現実には、接触の形状に応じて、その点に大きな圧力がかかります。応力は、テイラーの元の論文に示されているとおりに図に示されています。 ${\displaystyle r=0}$

下側の壁に平行な方向の応力は、が増加するにつれて減少し、 で最小値に達します。テイラー氏は次のように述べています。「計算で最も興味深く、おそらく予想外の特徴は、が の範囲で符号を変えないことです。 の範囲では、への法線応力による寄与は接線応力による寄与と反対の符号ですが、接線応力の方が大きくなります。 画家がパレットから絵の具を取り除くために使用するパレットナイフは、非常に柔軟なスクレーパーです。したがって、 が小さい角度でのみ使用でき、図に示すように、これはがほぼ の場合にのみ発生します。実際、画家は本能的にパレットナイフをこの位置で持ちます。」さらに、「一方、左官はが小さくなるように平滑化ツールを持ちます。このようにして、突起からくぼみに石膏を押し込むために必要な の大きな値を得ることができます。」 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \sigma _{x}=2\mu U/r}$${\displaystyle \alpha =\pi }$${\displaystyle \sigma_{y}}$${\displaystyle 0<\alpha <\pi }$${\displaystyle \pi /2<\alpha <\pi }$${\displaystyle \sigma_{y}}$${\displaystyle \sigma_{n}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle 180^{\circ}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \sigma _{y}/\sigma _{x}}$

非ニュートン流体では、掻き取りの用途が重要であるため（例えば、塗料、マニキュア、クリーム、バター、蜂蜜などを掻き取る）、このケースを考慮することが不可欠である。この解析は1983年にJ. RiedlerとWilhelm Schneiderによって行われ、見かけの粘度に対する関係を満たすべき乗法則流体の自己相似解を得ることができた^[6]

${\displaystyle \mu =m_{z}\left\{4\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\right)\right]^{2}+\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}-r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)\right]^{2}\right\}^{(n-1)/2}}$

ここで、およびは定数である。プレートが右方向に移動することによって生じる流れの流れ関数の解は、次のように与えられる。 ${\displaystyle m_{z}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \psi =Ur\left\{\left[1-{\frac {{\mathcal {J}}_{1}(\theta )}{{\mathcal {J}}_{1}(\alpha )}}\right]\sin \theta +{\frac {{\mathcal {J}}_{2}(\theta )}{{\mathcal {J}}_{1}(\alpha )}}\cos \theta \right\}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {J}}_{1}&=\mathrm {sgn} (F)\int _{0}^{\theta }|F|^{1/n}\cos x\,dx,\\{\mathcal {J}}_{2}&=\mathrm {sgn} (F)\int _{0}^{\theta }|F|^{1/n}\sin x\,dx\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}F=\sin({\sqrt {n(2-n)}}x-C)\quad {\text{if}}\,n<2,\\F={\sqrt {x-C}}\qquad \qquad \qquad \quad {\text{if}}\,n=2,\\F=\sinh({\sqrt {n(n-2)}}x-C)\quad {\text{if}}\,n>2\end{aligned}}}$

ここでは の根です。この解は、 のとき、ニュートン流体のテイラーの解に帰着することが確認できます。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle {\mathcal {J}}_{2}(\alpha )=0}$${\displaystyle n=1}$