単独でも二重でも

数学では、偶数、つまり2 で割り切れる数は、 4 の倍数であれば偶偶または倍偶数と呼ばれ、そうでない場合は奇偶または単偶数と呼ばれます。前者の名称は、古代ギリシャの数学に由来する伝統的な名称であり、後者はここ数十年で一般的になっています。

これらの名前は、整数の2階数、つまり整数を 2 で何回割り切れるかという数論の基本概念を反映しています。具体的には、非ゼロの整数nの 2 階数は、 n /2 ^kが整数となる最大の整数値kです。これは、素因数分解における 2 の重複度に相当します。

• 単独の偶数は2 で 1 回だけ割り切れます。つまり、偶数ではありますが、 2 で割った商は奇数になります。
• 倍偶数とは、2 で複数回割り切れる整数です。つまり、倍偶数であり、2 で割った商も偶数です。

奇数と偶数の偶数を別々に考慮することは、数学の多くの部分、特に数論、組合せ論、符号理論（偶数符号を参照）などで役立ちます。

古代ギリシャ語の「偶数倍の偶数」（古代ギリシャ語：ἀρτιάκις ἄρτιος）と「偶数倍の奇数」（古代ギリシャ語：ἀρτιάκις περισσόςまたはἀρτιοπέριττος ）という用語には、ユークリッドやニコマコスなどの後代の著述家によって、等価でない様々な定義が与えられた。^[1]今日では、概念の標準的な展開がある。2 次または 2 進順序は、一般的な素数pにおけるp進順序の特殊なケースにすぎない。この広範な数学の領域の詳細については、 p進数を参照。以下の定義の多くは、他の素数に直接一般化される。

整数nについて、 nの 2 次数（付値とも呼ばれる）は、 2 ^νで n が割り切れる 最大の自然数 ν である。この定義は正の数 n と負の数n の両方に適用されるが、正の数nに限定する著者もいる。また、 0 の 2 次数を無限大と定義することもある（ゼロの偶奇も参照）。^[2] nの 2 次数は ν ₂ ( n ) または ord ₂ ( n ) と表記される。2を法とする乗法数と混同しないように注意する。

2 次数は、偶数性によって定義されるさまざまな整数のクラスの統一的な記述を提供します。

• _奇数はν2 ( n )=0、つまり2m + 1の形式の整数です。
• 偶数とは、ν ₂ ( n ) > 0、つまり2 mの形の整数です。特に、
  • 単独の偶数はν2 ₍ n ) =1、つまり4m + 2の形式の整数です。
  • 二重偶数とは、ν ₂ ( n ) > 1、つまり4 mの形式の整数です。
    • この用語では、2倍の偶数は8で割り切れる場合と割り切れない場合があり、純粋数学では「3倍の偶数」を表す特別な用語はないが、子供向けの教材では「4倍の偶数」などのより高い倍数を含めて使用されている。^[3]

ν ₂ ( q ) を唯一の整数νと 定義することで、2次元秩序を有理数に拡張することもできる。ここで、

${\displaystyle q=2^{\nu }{\frac {a}{b}}}$

そしてaとbは両方とも奇数である。例えば、半整数は負の2進数、すなわち−1を持つ。最後に、2進絶対値を定義すると

${\displaystyle |n|_{2}=2^{-\nu _{2}(n)},}$

2進数の構築は順調に進んでいます。

ダーツゲームの目的はスコアを 0 にすることなので、スコアの小さい方が勝つ可能性が高くなります。レグの開始時には、「小さい」は通常絶対値の意味を持ち、基本戦略はダーツボード上の高価値エリアを狙い、できるだけ多くのポイントを獲得することです。レグの終わりには、勝つためにはダブルアウトする必要があるため、2 進絶対値が関連する尺度になります。絶対値がどれだけ小さくても、奇数スコアの場合、勝つには少なくとも 2 本のダーツが必要です。2 から 40 までの偶数スコアは 1 本のダーツで満たすことができますが、ミスの影響により、40 は 2 よりはるかに望ましいスコアです。

ダブルリングを狙うときによくあるミスは、シングルを打って誤ってスコアを半分にしてしまうことです。スコアが 22 で、シングルの偶数であれば、ダブル 11 のゲームショットがあります。シングル 11 を打つと、新しいスコアは 11 で奇数となり、回復するには少なくともあと 2 本のダーツが必要になります。対照的に、ダブル 12 を狙うときは、同じミスをしても、D12、D6、D3 と 3 回連続でゲームショットになる可能性があります。一般に、スコアがn < 42の場合、このようなゲームショットはν ₂ ( n )回あります。これが、 32 = 2 ⁵が望ましいスコアである理由です。5 回スプリットするからです。 ^{[4] [5]}

2 の平方根が無理数であることの古典的な証明は、無限降下法によって行われます。通常、証明の降下部分は、有理数の既約表現の存在を仮定 (または証明) することによって抽象化されます。別のアプローチは、ν ₂演算子の存在を利用することです。

矛盾 を仮定すると

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {a}{b}},}$

ここで、aとbは0でない自然数です。等式の両辺を二乗し、2次の評価演算子ν ₂を2 b ² = a ²に適用します。

${\displaystyle \nu _{2}\left(2b^{2}\right)=\nu _{2}\left(a^{2}\right)}$

${\displaystyle \nu _{2}\left(b^{2}\right)+1=\nu _{2}\left(a^{2}\right)}$

${\displaystyle 2\nu _{2}(b)+1=2\nu _{2}(a)}$

${\displaystyle \nu _{2}(a)-\nu _{2}(b)={\frac {1}{2}}}$

2 次評価値は整数なので、差は有理数と等しくなることはありません。したがって、矛盾により、√ 2は有理数ではありません。 ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$

より具体的には、2 b ²の値は奇数であるのに対し、a ²の値は偶数であるため、これらは異なる整数でなければならないため、 となる。簡単な計算により、差 に対するの下限が得られ、排中律に頼らない無理数の直接的な証明が得られる。^[6]${\displaystyle \left|2b^{2}-a^{2}\right|\geq 1}$${\textstyle {\frac {1}{3b^{2}}}}$${\displaystyle \left|{\sqrt {2}}-a/b\right|}$

幾何学的位相幾何学では、多様体の多くの特性は、4 または 8 を法とする次元のみに依存する。そのため、単偶数次元および二重偶数次元 (4 k +2 および 4 k ) の多様体はクラスとして研究されることが多い。たとえば、二重偶数次元多様体は、中間次元コホモロジー群上に対称非 退化双線型形式を持ち、したがって整数値のシグネチャを持つ。逆に、単偶数次元多様体は、中間次元に歪対称非退化双線型形式を持つ。これを二次形式に二次改良すると (フレーム多様体 上など)、Arf 不変量が mod 2 不変量として得られる。対照的に、奇数次元多様体はこれらの不変量を持たず、代数手術理論ではより複雑な不変量を定義できる。多様体構造におけるこの4倍周期と8倍周期は、L理論の4倍周期と実位相K理論の8倍周期と関連しており、ボット周期として知られています。

コンパクトな 有向 滑らかな スピン多様体の次元がn≡4 mod 8、またはν2(n)=2である場合、そのシグネチャは16の整数倍である。_[ ^7]

単独の偶数は累乗数にはなり得ません。2つの平方数の差として表すことはできません。しかし、単独の偶数は2つのプロニック数の差、または2つの累乗数の差として表すことができます。^[8]

群論では、非可換有限単純群の位数が単独の偶数にはなり得ないことを示すのは比較的簡単である^{[9] 。実際、}フェイト・トムソン定理によれば、位数は奇数にもなり得ないので、そのような群はすべて二重の偶数位を持つ。

正接関数のランベルト連分数は、正の偶数のみを含む次のような単純な連分数を与える: ^[10]

${\displaystyle \tanh {\frac {1}{2}}={\frac {e-1}{e+1}}=0+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{6 +{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}$

この表現はeの同様の表現につながる。^[11]

有機化学において、ヒュッケルの法則（ 4n + 2則としても知られる）は、偶数個のp電子を含む環状 π結合系が芳香族になることを予測する。^[12]

2 次では、整数が 0 (mod 4) または 2 (mod 4) と合同かどうかは検出できますが、1 (mod 4) と 3 (mod 4) の違いは判別できません。この区別は、2 つの平方数の和に関するフェルマーの定理など、興味深い結果をもたらします。

• p進順序

• PlanetMathの単一の偶数
• OEISシーケンス A016825 (2 mod 4 に一致する数値)
• OEISシーケンス A008586 (4 の倍数)