ステップ関数

数学では、実数上の関数は、区間の指示関数の有限線形結合として表すことができる場合、ステップ関数と呼ばれます。非公式に言えば、ステップ関数は有限個の部分のみを持つ 区分定数関数です。

関数が次のように書ける場合、その関数はステップ関数と呼ばれる^[要出典]${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)}$、すべての実数に対して${\displaystyle x}$

ここで、は実数、は区間、 はの指示関数です。 ${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle \alpha_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle \chi _{A}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \chi _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A\\0&{\text{if }}x\notin A\\\end{cases}}}$

この定義では、間隔は次の 2 つの特性を持つと想定できます。 ${\displaystyle A_{i}}$

1. 区間は互いに素である。${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$${\displaystyle i\neq j}$
2. 区間の和集合は実数直線全体である。${\displaystyle \bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .}$

実際、最初からそうでない場合は、これらの仮定が成り立つ別の区間セットを選択することができます。たとえば、ステップ関数

${\displaystyle f=4\chi _{[-5,1)}+3\chi _{(0,6)}}$

次のように書くことができる

${\displaystyle f=0\chi _{(-\infty ,-5)}+4\chi _{[-5,0]}+7\chi _{(0,1)}+3\chi _{ [1,6)}+0\chi _{[6,\infty )}.}$

場合によっては、区間は右開きであることが要求されるか^[1]、または単集合であることが許される。^[2]区間の集合が有限でなければならないという条件は、特に学校の数学ではしばしば省略されるが^{[3] [4] [5]} 、それでも局所的に有限でなければならないため、区分定数関数の定義につながる。

• 定数関数はステップ関数の簡単な例です。この場合、区間は1つだけあります。${\displaystyle A_{0}=\mathbb {R} .}$
• 符号関数 sgn( x ) は、負の数の場合は -1、正の数の場合は +1 となり、最も単純な非定数ステップ関数です。
• ヘヴィサイド関数 H ( x )は、負の数の場合は 0、正の数の場合は 1 となり、シフトと範囲のスケール ( ) を除けば、符号関数と等価です。これは、動的システムのステップ応答を決定するために使用されるテスト信号などのいくつかのテスト信号の背後にある数学的概念です。${\displaystyle H=(\operatorname {sgn} +1)/2}$

• 単位パルスをモデル化するには、正規化されたボックスカー関数である矩形関数が使用されます。

• 整数部関数は、無限の区間を持つため、この記事の定義によればステップ関数ではない。しかし、一部の著者^[6]は、無限の区間を持つステップ関数も定義している。^[6]

• 2 つのステップ関数の和と積も、やはりステップ関数です。ステップ関数と数値の積もステップ関数です。このように、ステップ関数は実数上の代数を形成します。
• ステップ関数は有限個の値しか取りません。ステップ関数の上記の定義における区間が互いに素であり、それらの和が実数直線である場合、すべての${\displaystyle A_{i},}$${\displaystyle i=0,1,\dots ,n}$${\displaystyle f(x)=\alpha _{i}}$${\displaystyle x\in A_{i}.}$
• ステップ関数の定積分は区分線形関数です。
• ステップ関数のルベーグ積分は、区間の長さである。ここでは、すべての区間の長さは有限であると仮定する。実際、この等式（定義として見ると）は、ルベーグ積分を構築する最初のステップとなり得る。^[7]${\displaystyle \textstyle f=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}}$${\displaystyle \textstyle \int f\,dx=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell (A_{i}),}$${\displaystyle \ell (A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{i}}$
• 離散確率変数は、累積分布関数が区分的に一定である確率変数として定義されることがあります。 ^[8]この場合、局所的にはステップ関数です（全体的には、無限の数のステップを持つことができます）。ただし、通常は、可算な数の可能な値のみを持つランダム変数は離散確率変数と呼ばれ、この場合、有限領域に無限の間隔が蓄積できるため、累積分布関数は必ずしも局所的にはステップ関数ではありません。

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