部分微分

数学において、部分微分（または部分勾配）は、必ずしも微分可能ではない凸関数への微分を一般化します。ある点における部分微分の集合は、その点における部分微分と呼ばれます。 ^[1]部分微分は、凸関数の研究である凸解析で、多くの場合、凸最適化に関連して発生します。

を実数直線の開区間上で定義された実数値凸関数とします。このような関数は、すべての点で微分可能である必要はありません。たとえば、 のとき絶対値関数は微分不可能です。ただし、右のグラフ (青の には絶対値関数と同様に微分不可能な折れ曲がりがあります) に示すように、関数の定義域内の任意の に対して、点を通り、どこでもfのグラフに接しているかその下にある線を描くことができます。このような線の傾きは部分微分 と呼ばれます。 ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=|x|}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$

厳密には、開区間の点における凸関数の部分微分は、 すべての に対してとなる 実数です。平均値定理の逆により、凸関数のにおける部分微分の集合は、空でない閉区間です。ここで、 および は片側極限です。すべての部分微分の 区間は、における関数の部分微分と呼ばれ、 と表記されます。 が凸である場合、任意の点におけるその部分微分は空ではありません。さらに、 におけるその部分微分にちょうど 1 つの部分微分が含まれる場合、 はおよびで微分可能です。^[2]${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq c(x-x_{0})}$$${\displaystyle x\in I}$${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$ $${\displaystyle a=\lim _{x\to x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},}$$ $${\displaystyle b=\lim _{x\to x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}.}$$ ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \partial f(x_{0})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \partial f(x_{0})=\{f'(x_{0})\}}$

凸関数 を考えてみましょう。すると、原点におけるサブ微分は区間になります。任意の点におけるサブ微分はシングルトン集合であり、任意の点におけるサブ微分はシングルトン集合 です。これは符号関数に似ていますが、 では単一の値ではなく、すべての可能なサブ微分を含みます。 ${\displaystyle f(x)=|x|}$ ${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle x_{0}$ ${\displaystyle \{-1\}}$${\displaystyle x_{0}>0}$${\displaystyle \{1\}}$${\displaystyle 0}$

• 凸関数が で微分可能であるのは、部分微分が単一の集合である場合、つまり である場合に限ります。${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \{f'(x_{0})\}}$
• 点が凸関数の最小値となるのは、部分微分にゼロが含まれる場合のみです。たとえば、上の図では、 のグラフに水平の「部分接線」を描くことができます。この最後の特性は、局所最小値で微分可能な関数の導関数がゼロであるという事実を一般化したものです。${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$
• およびが部分微分を持つ凸関数であり、が関数の1つの内点である場合、の部分微分は です（ここで、加法演算子はミンコフスキー和を表します）。これは、「和の部分微分は部分微分の合計である」と解釈されます。^[3]${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \partial f(x)}$${\displaystyle \partial g(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f+g}$${\displaystyle \partial (f+g)(x)=\partial f(x)+\partial g(x)}$

劣微分と劣微分の概念は、多変数関数に一般化できる。がユークリッド空間の凸開集合上で定義された実数値凸関数である場合、その空間のベクトルは、任意のベクトルに対して が成り立つ場合、における劣勾配と呼ばれる。 ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x_{0}\in U}$${\displaystyle x\in U}$

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq v\cdot (x-x_{0}),}$

ここで、点はドット積を表します。 におけるすべての劣勾配の集合はにおける劣微分と呼ばれ、 と表記されます。 劣微分は常に空でない凸コンパクト集合 になります。 ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \partial f(x_{0})}$

これらの概念は、局所凸空間の凸集合上の凸関数にさらに一般化されます。双対空間の関数は、すべての に対して の場合、における劣勾配と呼ばれます。 ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle v^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x\in U}$

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq v^{*}(x-x_{0}).}$

におけるすべての劣勾配の集合は、 における劣微分と呼ばれ、 と表記されます。劣微分は常に凸閉集合です。これは空集合になることもあります。たとえば、凸ですが、劣勾配を持たない非有界演算子を考えてみましょう。 が連続である場合、劣微分は空ではありません。 ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \partial f(x_{0})}$${\displaystyle f}$

凸関数の部分微分は、1960年代初頭にジャン・ジャック・モローとR・ティレル・ロカフェラーによって導入されました。非凸関数の一般化された部分微分は、 1980年代初頭にフランシス・H・クラークとR・ティレル・ロカフェラーによって導入されました。 ^[4]

• 弱微分
• 劣勾配法
• クラークの一般化微分

• ボルウェイン、ジョナサン、ルイス、エイドリアン S. (2010)。凸解析と非線形最適化:理論と例(第 2 版)。ニューヨーク: シュプリンガー。ISBN 978-0-387-31256-9。
• ヒリアルト・ウルティ、ジャン・バティスト。ルマレシャル、クロード(2001)。凸分析の基礎。スプリンガー。ISBN 3-540-42205-6。
• Zălinescu, C. (2002).一般ベクトル空間における凸解析. World Scientific Publishing Co., Inc. pp. xx+367. ISBN 981-238-067-1. MR  1921556。

• 「lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x − h ) 2 h {\displaystyle \lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(xh)}{2h}}} の使用」。Stack Exchange。2011年 9 月 18 日。