数学において、 半直交分解は 三角形のカテゴリ をより単純な部分に 分割する方法です。半直交分解を生成する 1 つの方法は 、三角形のカテゴリ内のオブジェクトの特別なシーケンスである 例外的なコレクション から生成することです。
代数多様体 Xについては、 連接層 の有界 導来カテゴリ の半直交分解を研究することが有益でした 。
だ
b
（ バツ ）
{\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}
半直交分解 アレクセイ・ボンダルと ミハイル・カプラノフ （1989）は、 三角形のカテゴリの 半直交分解を、 厳密に完全な 三角形のサブカテゴリの シーケンスとして定義しました 。
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
あ
1
、 … 、
あ
ん
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}}
すべてのおよびすべてのオブジェクトと に対して 、から へ のすべての射 は 0 です。つまり、「右から左への射は存在しない」ということです。
1 ≤ 私 < じゅう ≤ ん
{\displaystyle 1\leq i<j\leq n}
あ
私
∈
あ
私
{\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}}
あ
じゅう
∈
あ
じゅう
{\displaystyle A_{j}\in {\mathcal {A}}_{j}}
あ
じゅう
{\displaystyle A_{j}}
あ
私
{\displaystyle A_{i}}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
は によって生成されます 。つまり、 を含むの最小の厳密な完全三角形化サブカテゴリ は に等しくなります 。
あ
1
、 … 、
あ
ん
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
あ
1
、 … 、
あ
ん
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
この表記法は 半直交分解に使用されます。
T
= ⟨
あ
1
、 … 、
あ
ん
⟩
{\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}\rangle }
半直交分解を持つことは、 のすべてのオブジェクトが、 その次数が（連続して）サブカテゴリ にある標準的な「フィルタリング」を持つことを意味します 。つまり、 の各オブジェクト T に対して、シーケンス
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
あ
1
、 … 、
あ
ん
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
0 =
T
ん
→
T
ん − 1
→ ⋯ →
T
0
= T
{\displaystyle 0=T_{n}\to T_{n-1}\to \cdots \to T_{0}=T}
の各 i に対して、の 錐 がに含まれる ような の 射の列が存在する 。さらに、この列は一意の同型を除いて一意である。
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
T
i
→
T
i
−
1
{\displaystyle T_{i}\to T_{i-1}}
A
i
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}
三角形カテゴリの「直交」分解を考えることもできます。これは、任意の に対して から への射影が存在しないことを要求することによって行われます 。 ただし 、この特性はほとんどの目的には強すぎます。たとえば、 体 上の(既約) 滑らかな 射影多様体 X の場合、 連接 層の有界 導来カテゴリは 、以下の例のように、非自明な直交分解を持つことはありませんが、半直交分解を持つ場合があります。
A
i
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}
A
j
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{j}}
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
D
b
(
X
)
{\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}
三角形のカテゴリの半直交分解は、 アーベル群 の有限 フィルタリング に類似していると考えることができます。あるいは、三角形のカテゴリの正確なシーケンス がサブカテゴリ によって分割され 、 に同型にマッピングされるため、半直交分解は 分割された正確なシーケンス に近いと 考えることができます 。
T
=
⟨
A
,
B
⟩
{\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle }
0
→
A
→
T
→
T
/
A
→
0
{\displaystyle 0\to {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}\to {\mathcal {T}}/{\mathcal {A}}\to 0}
B
⊂
T
{\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {T}}}
T
/
A
{\displaystyle {\mathcal {T}}/{\mathcal {A}}}
この観察を用いると、半直交分解は グロタンディーク群 の 直和 分解を意味する 。
T
=
⟨
A
1
,
…
,
A
n
⟩
{\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}\rangle }
K
0
(
T
)
≅
K
0
(
A
1
)
⊕
⋯
⊕
K
0
(
A
n
)
.
{\displaystyle K_{0}({\mathcal {T}})\cong K_{0}({\mathcal {A}}_{1})\oplus \cdots \oplus K_{0}({\mathcal {A_{n}}}).}
たとえば、が滑らかな射影多様体 X 上の連接層の有界導来カテゴリである場合 、は X 上の 代数的ベクトル束 の グロタンディーク群と同一視できます 。 この幾何学的状況では、 が dg カテゴリ から来ることを使用して 、半直交分解により、 X のすべての 代数的 K 群 が実際に分割されます。
T
=
D
b
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {T}}={\text{D}}^{\text{b}}(X)}
K
0
(
T
)
{\displaystyle K_{0}({\mathcal {T}})}
K
0
(
X
)
{\displaystyle K_{0}(X)}
D
b
(
X
)
{\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}
K
i
(
X
)
≅
K
i
(
A
1
)
⊕
⋯
⊕
K
i
(
A
n
)
{\displaystyle K_{i}(X)\cong K_{i}({\mathcal {A}}_{1})\oplus \cdots \oplus K_{i}({\mathcal {A_{n}}})}
すべてのi について 。
許容サブカテゴリ 半直交分解を生成する方法の 1 つは、許容サブカテゴリから生成することです。定義により、 包含関数 がと 表記される 左 随伴関数 を持つ場合、完全三角形サブカテゴリは 左許容 です 。同様に、包含 が と表記される右随伴関数 を持つ場合、は 右許容 であり、 左と右の両方が許容される場合、
は 許容です。
A
⊂
T
{\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {T}}}
i
:
A
→
T
{\displaystyle i\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}}
i
∗
{\displaystyle i^{*}}
A
⊂
T
{\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {T}}}
i
!
{\displaystyle i^{!}}
右許容サブカテゴリは 半直交分解を決定する
B
⊂
T
{\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {T}}}
T
=
⟨
B
⊥
,
B
⟩
{\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {B}}^{\perp },{\mathcal {B}}\rangle }
、 どこ
B
⊥
:=
{
T
∈
T
:
Hom
(
B
,
T
)
=
0
}
{\displaystyle {\mathcal {B}}^{\perp }:=\{T\in {\mathcal {T}}:\operatorname {Hom} ({\mathcal {B}},T)=0\}}
はにおける の 右直交 である 。 逆に、が 右許容であり である という意味において、すべての半直交分解はこのようにして生じる 。同様に、任意の半直交分解 に対して 、サブカテゴリ は 左許容であり であり、 である。ここで
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
T
=
⟨
A
,
B
⟩
{\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle }
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
A
=
B
⊥
{\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}^{\perp }}
T
=
⟨
A
,
B
⟩
{\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle }
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
B
=
⊥
A
{\displaystyle {\mathcal {B}}={}^{\perp }{\mathcal {A}}}
⊥
A
:=
{
T
∈
T
:
Hom
(
T
,
A
)
=
0
}
{\displaystyle {}^{\perp }{\mathcal {A}}:=\{T\in {\mathcal {T}}:\operatorname {Hom} (T,{\mathcal {A}})=0\}}
は の 左直交行列 です 。
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
が体k 上の滑らかな射影多様体の有界導来圏である 場合 、 の左または右の許容可能な部分圏は すべて許容可能である。 [4]ボンダルと ミシェル・ファン・デン・ベルグ の結果によれば 、これはより一般的に、 冪等完全な任意 の正則な適切な三角圏に対して成り立つ 。
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
さらに、正則な適切な冪等完全な三角化カテゴリに対して 、完全な三角化サブカテゴリは、それが正則かつ冪等完全な場合のみ許容される。これらの特性はサブカテゴリに固有のものである。 [6] たとえば、 滑らかな射影多様体 Xと X と等しくないサブ多様体 Yの場合、 Y 上でサポートされているオブジェクト のサブカテゴリは 許容されない。
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
D
b
(
X
)
{\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}
素晴らしいコレクション k を 体と し、 を k -線型三角圏とします。 の オブジェクト E は、すべての非ゼロ整数 t に対してHom( E , E ) = k かつ Hom( E , E [ t ]) = 0が成り立つとき 例外的と 呼ばれます。ここで [ t ] は の シフト関数 です。(滑らかな 複素 射影多様体 X の導来圏では、 オブジェクト E の1 次 変形空間 は である ため、例外的なオブジェクトは特に剛性です。たとえば、 には同型を除いて最大で 可算個数 の例外的なオブジェクトが存在することになります 。これが名前の説明に役立ちます。)
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
Ext
X
1
(
E
,
E
)
≅
Hom
(
E
,
E
[
1
]
)
{\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{1}(E,E)\cong \operatorname {Hom} (E,E[1])}
D
b
(
X
)
{\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}
例外的なオブジェクトE によって生成される三角形サブカテゴリは、このコンテキストで最も単純な三角形カテゴリである有限次元 k ベクトル空間の 導出カテゴリと同等です。 (たとえば、そのサブカテゴリのすべてのオブジェクトは、 E のシフトの有限直和に同型です 。)
D
b
(
k
)
{\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(k)}
アレクセイ・ゴロデンツェフとアレクセイ・ルダコフ (1987) は、 例外コレクション を、すべての i < j およびすべての整数 t に対してとなる例外オブジェクトのシーケンスとして定義しました 。 (つまり、「右から左への射影は存在しない」ということです。) 滑らかな射影多様体上の連結層の有界導来カテゴリなど、 k 上の適切な三角カテゴリでは 、すべての例外コレクションは許容されるサブカテゴリを生成するため、半直交分解が決定されます。
E
1
,
…
,
E
m
{\displaystyle E_{1},\ldots ,E_{m}}
Hom
(
E
j
,
E
i
[
t
]
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{j},E_{i}[t])=0}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
T
=
⟨
A
,
E
1
,
…
,
E
m
⟩
,
{\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},E_{1},\ldots ,E_{m}\rangle ,}
ここで 、 、および は、 オブジェクト によって生成される完全な三角形分割サブカテゴリを表します 。 例外コレクションは、サブカテゴリがゼロの場合に 完全と 呼ばれます 。(したがって、完全な例外コレクションは、三角形分割カテゴリ全体を の有限個のコピーに分割します 。)
A
=
⟨
E
1
,
…
,
E
m
⟩
⊥
{\displaystyle {\mathcal {A}}=\langle E_{1},\ldots ,E_{m}\rangle ^{\perp }}
E
i
{\displaystyle E_{i}}
E
i
{\displaystyle E_{i}}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
D
b
(
k
)
{\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(k)}
特に、 X が 完全な例外コレクション を持つ ような滑らかな射影多様体である場合 、 X 上の代数的ベクトル束の グロタンディーク群は 、これらのオブジェクトのクラス上の
自由アーベル群 です。
D
b
(
X
)
{\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}
E
1
,
…
,
E
m
{\displaystyle E_{1},\ldots ,E_{m}}
K
0
(
X
)
≅
Z
{
E
1
,
…
,
E
m
}
.
{\displaystyle K_{0}(X)\cong \mathbb {Z} \{E_{1},\ldots ,E_{m}\}.}
完全な例外集合を持つ 滑らかな複素射影多様体 Xは 、すべてのに対してで あるという意味で、自明な ホッジ理論を 持つ必要がある。さらに、 サイクル類写像は 同型でなければならない。
h
p
,
q
(
X
)
=
0
{\displaystyle h^{p,q}(X)=0}
p
≠
q
{\displaystyle p\neq q}
C
H
∗
(
X
)
⊗
Q
→
H
∗
(
X
,
Q
)
{\displaystyle CH^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X,\mathbb {Q} )}
例 完全な例外コレクションの最初の例は、 アレクサンダー・ベイリンソン （1978）によって発見されました。体上の
射影空間 の導来カテゴリは、完全な例外コレクションを持っています。
D
b
(
P
n
)
=
⟨
O
,
O
(
1
)
,
…
,
O
(
n
)
⟩
{\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(\mathbf {P} ^{n})=\langle O,O(1),\ldots ,O(n)\rangle }
、 ここで整数 j に対するO( j )は 射影空間上の線束 である 。 トーリック多様体 、 デルペッツォ面 、多くの 射影同次多様体 、および他のいくつかの ファノ多様体 上にも構築されている 。
より一般的には、 X が i > 0 に対して 連接層コホモロジー 群が 0 となる ような正の次元の滑らかな射影多様体である場合、 内の オブジェクトは 例外的であり、そのため非自明な半直交分解 を誘導します。これは、たとえば、 特性 0 の 体上のすべての ファノ多様体 に適用されます。また、 エンリケス面や 一般型 の一部の面 など、他の多様体にも適用されます 。
H
i
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle H^{i}(X,O_{X})}
O
X
{\displaystyle O_{X}}
D
b
(
X
)
{\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}
D
b
(
X
)
=
⟨
(
O
X
)
⊥
,
O
X
⟩
{\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)=\langle (O_{X})^{\perp },O_{X}\rangle }
例としては、 例外的な位置を持つ共次元 局所完全交差部分スキーム での スキーム の 爆発 に関するオルロフの爆発公式が挙げられる。半直交分解があり、 は 関手で 、 は 自然写像である。 [11]
X
=
Bl
Z
(
Y
)
{\displaystyle X=\operatorname {Bl} _{Z}(Y)}
Y
{\displaystyle Y}
k
{\displaystyle k}
Z
{\displaystyle Z}
ι
:
E
≃
P
Z
(
N
Z
/
Y
)
→
X
{\displaystyle \iota :E\simeq \mathbb {P} _{Z}(N_{Z/Y})\to X}
D
b
(
X
)
=
⟨
Φ
1
−
k
(
D
b
(
Z
)
)
,
…
,
Φ
−
1
(
D
b
(
Z
)
)
,
π
∗
(
D
b
(
Y
)
)
⟩
{\displaystyle D^{b}(X)=\langle \Phi _{1-k}(D^{b}(Z)),\ldots ,\Phi _{-1}(D^{b}(Z)),\pi ^{*}(D^{b}(Y))\rangle }
Φ
i
:
D
b
(
Z
)
→
D
b
(
X
)
{\displaystyle \Phi _{i}:D^{b}(Z)\to D^{b}(X)}
Φ
i
(
−
)
=
ι
∗
(
O
E
(
k
)
)
⊗
p
∗
(
−
)
)
{\displaystyle \Phi _{i}(-)=\iota _{*}({\mathcal {O}}_{E}(k))\otimes p^{*}(-))}
p
:
X
→
Y
{\displaystyle p:X\to Y}
これらの例は、よく研究された導来カテゴリを多数網羅していますが、自然に発生する三角カテゴリの多くは「分解不可能」です。特に、 正準バンドル が 基点フリーで ある滑らかな射影多様体 X の場合、すべての半直交分解は 、またはが ゼロでなければならない という意味で自明です。 たとえば、これは、その正準バンドルが自明であるという意味で カラビ・ヤウ であるすべての多様体に当てはまります。
K
X
{\displaystyle K_{X}}
D
b
(
X
)
=
⟨
A
,
B
⟩
{\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle }
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
参照
注記
^ Kuznetsov 2007、補題2.10、2.11、および2.12。 ^ Orlov 2016、命題3.17および3.20。 ^ Orlov, DO (1993-02-28). 「射影束、モノイダル変換、コヒーレント層の導出カテゴリ」. ロシア科学アカデミー. イズベスチヤ数学 . 41 (1): 133–141. doi :10.1070/im1993v041n01abeh002182. ISSN 1064-5632.
参考文献 ボンダル、アレクセイ。 Kapranov、Mikhail (1990)、「Representable functor、Serre functors、および再構成」、 USSR-Izvestiya の数学 、 35 : 519–541、 doi :10.1070/IM1990v035n03ABEH000716、 MR 1039961 ヒューブレヒト、ダニエル （2006）、 代数幾何学におけるフーリエ–向井変換 、 オックスフォード大学出版局 、 ISBN 978-0199296866 、 MR 2244106 Kuznetsov, Alexander (2007)、「相同射影双対性」、 Publications Mathématiques de l'IHÉS 、 105 : 157–220、 arXiv : math/0507292 、 doi :10.1007/s10240-007-0006-8、 MR 2354207 クズネツォフ、アレクサンダー (2014)、「代数幾何学における半直交分解」、 国際数学者会議議事録 (ソウル、2014) 、第 2 巻、ソウル: キョン ムン サ、pp. 635–660、 arXiv : 1404.3143 、 MR 3728631 マティルデ・マルコッリ ; Tabuada, Gonçalo (2015)、「例外的なコレクションから非可換動機を介したモチーフ分解まで」、 Journal für die reine und angewandte Mathematik 、 701 : 153–167、 arXiv : 1202.6297 、 doi :10.1515/crelle-2013-0027、 MR 3331729 オルロフ、ドミトリ (2016)、「滑らかで適切な非可換スキームと DG カテゴリの接着」、 Advances in Mathematics 、 302 : 59–105、 arXiv : 1402.7364 、 doi : 10.1016/j.aim.2016.07.014 、 MR 3545926 
![{\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{1}(E,E)\cong \operatorname {Hom} (E,E[1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f88a9460f5a548e87cd843b17845ca60983b89e)
![{\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{j},E_{i}[t])=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fcbe34ec2ad0aa2f98c978bd8dd9febfaf40336)
