差別段階別カテゴリー

数学、特にホモロジー代数において、微分次数カテゴリ（dg カテゴリまたはDG カテゴリと略されることが多い）は、射集合に微分次数カテゴリの追加構造が備わっているカテゴリです。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

詳細には、これは、カテゴリの任意のオブジェクトAから別のオブジェクトBへの射が直和であることを意味する。${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)}$

${\displaystyle \bigoplus _{n\in \mathbb {Z} }\operatorname {Hom} _{n}(A,B)}$

そして、この次数群には微分dが存在する。つまり、各nに対して線形写像が存在する。

${\displaystyle d\colon \operatorname {Hom} _{n}(A,B)\rightarrow \operatorname {Hom} _{n+1}(A,B)}$、

これは を満たさなければなりません。これは、 がコチェーン複体であると言っているのと同等です。さらに、射の合成は 複体の写像であることが要求され、カテゴリのすべてのオブジェクトAに対して が必要です。 ${\displaystyle d\circ d=0}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)\otimes \operatorname {Hom} (B,C)\rightarrow \operatorname {Hom} (A,C)}$${\displaystyle d(\operatorname {id} _{A})=0}$

• 任意の加法カテゴリは、自明な次数付け（つまり、に対してすべて消滅）と自明な微分（ ）を課すことによって、DGカテゴリと見なすことができます。${\displaystyle \mathrm {Hom} _{n}(-,-)}$${\displaystyle n\neq 0}$${\displaystyle d=0}$
• もう少し複雑なのは、加法カテゴリ上の複体のカテゴリです。定義により、は複体AとBの微分を考慮する必要のない写像の群です。つまり、${\displaystyle C({\mathcal {A}})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C({\mathcal {A}}),n}(A,B)}$${\displaystyle A\rightarrow B[n]}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{C({\mathcal {A}}),n}(A,B)=\prod _{l\in \mathbb {Z} }\mathrm {Hom} (A_{l},B_{l+n})}$。

このようなn次の射の微分は次のように定義される。 ${\displaystyle f=(f_{l}\colon A_{l}\rightarrow B_{l+n})}$

${\displaystyle f_{l+1}\circ d_{A}+(-1)^{n+1}d_{B}\circ f_{l}}$、

ここで、 はそれぞれAとBの微分です。これは、環上のスキーム上の準連接層の複体のカテゴリに適用されます。${\displaystyle d_{A},d_{B}}$

• 1 つのオブジェクトを持つ DG カテゴリは DG リングと同じです。体上の DG リングは DG 代数、または微分次数代数と呼ばれます。

小さなdg-カテゴリのカテゴリには、弱同値性が導出カテゴリの同値性を誘導する関数であるようなモデルカテゴリ構造を与えることができる。^[1]

ある環R上のdg-カテゴリCが与えられたとき、 C がR上のあるスキームX上の準連接層のカテゴリである場合、Cの滑らかさと適切さの概念は、滑らかな射と適切な射の通常の概念に還元されます。

DG カテゴリCは、それがサスペンション ファンクタと 、サスペンションと互換性のある識別された三角形のクラスを持ち、そのホモトピー カテゴリ Ho( C ) が三角形化カテゴリである場合、事前三角形化されていると呼ばれます。三角形化カテゴリTは、 C が 事前三角形化 dg カテゴリであり、そのホモトピー カテゴリがTと同値である場合、 dg 強化Cを持つと言われています。^[2]三角形化カテゴリ間の正確なファンクタの dg 強化も同様に定義されます。一般に、三角形化カテゴリまたはそれらの間のファンクタの dg 強化が存在する必要はありません。たとえば、安定ホモトピー カテゴリは、この方法で dg カテゴリから生じないことを示すことができます。ただし、さまざまな肯定的な結果が存在します。たとえば、グロタンディーク アーベル カテゴリAの導来カテゴリD ( A ) は、一意の dg 強化を許容します。 ${\displaystyle \Sigma }$

• 微分代数
• 成績評価（数学）
• 評価カテゴリ
• 派生語

• Keller, Bernhard (1994)、「Deriving DG category」、Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure、Série 4、27 ( 1): 63–102、doi : 10.24033/asens.1689、ISSN  0012-9593、MR  1258406

• nLab の dg カテゴリ