2番目の偏微分テスト

数学において、第 2 偏導関数テストは、関数の臨界点が局所的最小値、最大値、または鞍点であるかどうかを判断するために使用される多変数微分積分法です。

f ( x , y )が2 つの変数の微分可能な実関数であり、その 2 番目の偏導関数が存在し、連続しているとします。fのヘッセ行列 Hは、 fの偏導関数の 2 × 2 行列です。 $${\displaystyle H(x,y)={\begin{bmatrix}f_{xx}(x,y)&f_{xy}(x,y)\\f_{yx}(x,y)&f_{yy}( x,y)\end{bmatrix}}.}$$

D ( x , y )をH の行列式 として定義します。最後に、( a , b )がfの臨界点、つまりf _x ( a , b ) = f _y ( a , b ) = 0であると仮定します。すると、2番目の偏微分テストにより次のことが言えます: ^[1]$${\displaystyle D(x,y)=\det(H(x,y))=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-\left(f_{xy}(x,y)\right)^{2}}$$

1. D ( a , b ) > 0かつf _xx ( a , b ) > 0の場合、( a , b )はfの局所的最小値になります。
2. D ( a , b ) > 0かつf _xx ( a , b ) < 0の場合、( a , b )はfの局所的最大値になります。
3. D ( a , b )<0の場合、( a , b )はfの鞍点となる。
4. D ( a , b ) = 0の場合、点( a , b ) は最小値、最大値、または鞍点のいずれかになる可能性があります (つまり、テストは決定的ではありません)。

場合によっては、他の同等のテストバージョンが使用されることもあります。ケース 1 と 2 では、( x、y )でf _xx f _yy − f _xy ²が正であるという要件は、 f _xxとf _{yy が}そこで同じ符号を持つことを意味します。したがって、2 番目の条件であるf _{xx が}ゼロより大きい (または小さい) ことは、その時点でf _yyまたはtr( H ) = f _xx + f _yyがゼロより大きい (または小さい) ことと同等である可能性があります。

テストのステートメントに暗黙的に含まれている条件は、またはの場合、必ずとなるということであり、したがってケース 3 または 4 のみが可能です。 ${\displaystyle f_{xx}=0}$${\displaystyle f_{yy}=0}$${\displaystyle D(a,b)\leq 0,}$

3 つ以上の変数を持つ関数fの場合、上記の規則の一般化があります。このコンテキストでは、ヘッセ行列の行列式を調べる代わりに、臨界点におけるヘッセ行列の固有値を調べる必要があります。ヘッセ行列が逆行列である任意の臨界点aで、次のテストを適用できます。

1. ヘッセ行列がaで正定値である場合（つまり、すべての固有値が正である場合）、f はaで局所最小値を達成します。
2. ヘッセ行列がaで負定値（つまり、すべての固有値が負）である場合、f はaで局所的最大値に達します。
3. ヘッセ行列に正と負の固有値の両方がある場合、a はfの鞍点になります(実際、aが退化している場合でもこれは当てはまります)。

上記に記載されていないケースでは、テストは決定的ではありません。^[2]

3 つ以上の変数を持つ関数の場合、ヘッセ行列の行列式は臨界点を分類するのに十分な情報を提供しません。これは、共同十分な 2 次条件の数が変数の数に等しく、ヘッセ行列の行列式の符号条件が条件の 1 つにすぎないためです。1 変数の場合、ヘッセ行列の条件は通常の2 次導関数テストを単に与えることに注意してください。

2 変数の場合、およびはヘッセ行列の主小行列です。これらの小行列の符号に関する上記の最初の 2 つの条件は、ヘッセ行列の正定値性または負定値性の条件です。任意の数nの変数の一般的なケースでは、ヘッセ行列のn 個の主小行列にn 個の符号条件があり、これらを合わせるとヘッセ行列の正定値性または負定値性 (シルベスターの基準) と同等になります。つまり、局所最小値の場合、すべての主小行列が正である必要があり、局所最大値の場合、行と列の数が奇数の小行列が負で、行と列の数が偶数の小行列が正である必要があります。これらの規則を等式制約最適化の場合に一般化する説明については、 ヘッセ行列#境界付きヘッセ行列を参照してください。${\displaystyle D(a,b)}$${\displaystyle f_{xx}(a,b)}$

関数の重要なポイントを見つけて分類する

${\displaystyle z=f(x,y)=(x+y)(xy+xy^{2})}$、

まず偏微分を設定する

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=y(2x+y)(y+1)}$そして${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial y}}=x\left(3y^{2}+2y(x+1)+x\right)}$

ゼロに等しく、結果として得られる方程式を同時に解いて4つの臨界点を見つける。

${\displaystyle (0,0),(0,-1),(1,-1)}$そして。${\displaystyle \left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)}$

臨界点を分類するために、4つの臨界点それぞれにおける fのヘッセ行列の行列式D ( x , y )の値を調べる。

${\displaystyle {\begin{aligned}D(a,b)&=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-\left(f_{xy}(a,b)\right)^{2}\\&=2b(b+1)\cdot 2a(a+3b+1)-(2a+2b+4ab+3b^{2})^{2}.\end{aligned}}}$

ここで、見つけたさまざまな臨界値をすべて入力してラベルを付けます。

${\displaystyle D(0,0)=0;~~D(0,-1)=-1;~~D(1,-1)=-1;~~D\left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)={\frac {27}{128}}.}$

したがって、2 番目の偏導関数テストは、f ( x , y ) が (0, −1) と (1, −1) に鞍点を持ち、 以降に局所的最大値を持つことを示しています。残りの臨界点 (0, 0) では、2 番目の導関数テストでは不十分であり、この点での関数の挙動を決定するには、より高次のテストまたはその他のツールを使用する必要があります。(実際、f は(0, 0) の周りの小さな近傍で正と負の両方の値を取ることが示され、この点はfの鞍点になります。) ${\displaystyle \left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)}$${\displaystyle f_{xx}=-{\frac {3}{8}}}0}$

• スチュワート、ジェームズ(2005)。多変数微積分: 概念とコンテキスト。ブルックス/コール。ISBN 0-534-41004-9。

• 相対的最小値と最大値 - ポールのオンライン数学ノート - 微積分 III ノート (ラマー大学)
• Weisstein、Eric W.「第 2 導関数テスト」。MathWorld。