最も急な下り坂の方法

数学において、最急降下法または鞍点法は、積分を近似するためのラプラス法の拡張であり、複素平面上の経路積分を、おおよそ最急降下方向または定常位相方向に沿って、定常点（鞍点）の近くを通るように変形させる。鞍点近似は複素平面上の積分に用いられるのに対し、ラプラス法は実数積分に用いられる。

推定される積分は、多くの場合、次の形式である。

\int _{C}f(z)e^{\lambda g(z)}\,dz,

ここで、Cは経路であり、λ は大きい値である。最急降下法の 1 つのバージョンでは、積分Cの経路を新しい経路積分C′に変形し、次の条件が満たされるようにする。

C′ は導関数g ′( z ) の 1 つ以上の零点を通過する。
g ( z )の虚数部はC′上で一定である。

最急降下法は、ベッセル関数を推定するためにこの方法を使用したデバイ（1909）によって初めて発表され、超幾何関数に関するリーマン（1863）の未発表のノートにもこの方法が登場することを指摘した。最急降下法の等高線はミニマックス特性を持つ（フェドリュク（2001）を参照）。シーゲル（1932）は、リーマンがこの方法を使用してリーマン・シーゲル公式を導出した他の未発表のノートについて説明した。

統計学において、多数の独立な確率変数の和の分布に適用する場合、最急降下法は鞍点近似法と呼ばれる。統計物理学では、この近似法は熱力学的極限において分配関数や自由エネルギーを評価するために広く用いられている。^{[ 1 ]}^{： 341-342}

基本的な考え方

最急降下法は、次の形式の複素積分を近似する方法である。 $I(\lambda )=\int _{C}f(z)e^{\lambda g(z)}\,\mathrm {d} z$ 大型 $\lambda \rightarrow \infty$ 、どこ $f(z)$ そして $g(z)$ は解析関数である $z$ 被積分関数が解析的であるため、積分経路は $C$ 新しい輪郭に変形することができる $C'$ 積分を変更せずに。特に、虚数部が $\Im (\cdot )$ 、の $g(z)=\Re [g(z)]+i\,\Im [g(z)]$ 定数です（ $\Re (\cdot )$ （実数部を表す）。 $I(\lambda )=e^{i\lambda \Im \{g(z)\}}\int _{C'}f(z)e^{\lambda \Re \{g(z)\}}\,\mathrm {d} z,$ そして残りの積分はラプラス法などの他の方法で近似することができる。^{[ 2 ]}

語源

この方法は、解析的な $g(z)$ 定位相等高線は、最急降下等高線と同等である。

もし $g(z)=X(z)+iY(z)$ は解析関数である $z=x+iy$ コーシー・リーマン方程式を満たす $\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial x}}={\frac {\partial Y}{\partial y}}\qquad {\text{および}}\qquad {\frac {\partial X}{\partial y}}=-{\frac {\partial Y}{\partial x}}.}$ それから ${\frac {\partial X}{\partial x}}{\frac {\partial Y}{\partial x}}+{\frac {\partial X}{\partial y}}{\frac {\partial Y}{\partial y}}=\nabla X\cdot \nabla Y=0,$ つまり、一定位相の等高線は、最も急な降下を示す等高線でもある。

簡単な概算

$f$ $、$ $S$ $:$ $C$ $n$ $\to$ $C$ および $C$ $\subset$ $C$ $n$ とする。

M=\sup _{x\in C}\Re (S(x))<\infty ,

どこ $\Re (\cdot )$ は実部を表し、正の実数 $λ₀$ が存在して $、$

\int _{C}\left|f(x)e^{\lambda _{0}S(x)}\right|dx<\infty ,

すると、次の推定が成り立つ。^{[ 3 ]}

\left|\int _{C}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\right|\leqslant {\text{const}}\cdot e^{\lambda M},\qquad \forall \lambda \in \mathbb {R} ,\quad \lambda \geqslant \lambda _{0}.}

単純な概算の証明：

{\begin{aligned}\left|\int _{C}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\right|&\leqslant \int _{C}|f(x)|\left|e^{\lambda S(x)}\right|dx\\&\equiv \int _{C}|f(x)|e^{\lambda M}\left|e^{\lambda _{0}(S(x)-M)}e^{(\lambda -\lambda _{0})(S(x)-M)}\right|dx\\&\leqslant \int _{C}|f(x)|e^{\lambda M}\left|e^{\lambda _{0}(S(x)-M)}\right|dx&&\left|e^{(\lambda -\lambda _{0})(S(x)-M)}\right|\leqslant 1\\&=\underbrace {e^{-\lambda _{0}M}\int _{C}\left|f(x)e^{\lambda _{0}S(x)}\right|dx} _{\text{const}}\cdot e^{\lambda M}.\end{aligned}}

単一の非退化鞍点の場合

基本的な概念と表記法

$x$ を $n$ 次元の複素ベクトルとし、

S''{}_{xx}(x)\equiv \left({\frac {\partial ^{2}S(x)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right),\qquad 1\leqslant i,\,j\leqslant n,

関数 $S$ $($ $x$ $)の$ ヘッセ行列を表す。

{\boldsymbol {\varphi }}(x)=(\varphi _{1}(x),\varphi _{2}(x),\ldots ,\varphi _{k}(x))

がベクトル関数である場合、そのヤコビ行列は次のように定義されます。

{\boldsymbol {\varphi }}_{x}'(x)\equiv \left({\frac {\partial \varphi _{i}(x)}{\partial x_{j}}}\right),\qquad 1\leqslant i\leqslant k,\quad 1\leqslant j\leqslant n.

正則関数 $S$ $($ $z$ $)の$ 非退化鞍点z $0 \in C n は$ 、関数の臨界点 (すなわち、 $\nabla$ $S$ $($ $z$ $0$ $) = 0 ) であり、関数のヘッセ行列の$ 行列式がゼロでない(すなわち、 $\det S''{}_{zz}(z^{0})\neq 0$ )

以下は、非退化鞍点の場合における積分の漸近展開を構築するための主要なツールである。

複雑なモールス補題

実数値関数に対するモースの補題は、 $正則$ 関数に対して次のように一般化されます^{[ 4 ]} ：正則関数 $S$ $($ $z$ $)$ の非退化鞍点 $z₀の近傍では、$ $S$ $($ $z$ $)-S ($ $z₀$ $)$ がちょうど2次となるような座標が存在します。これを厳密にするために、 $S$ $を$ 定義域 $W\subsetCn$ $を持つ$ $正則$ $関数$ とし、 $W$ 内の $z₀$ $を$ $S$ の非退化鞍点、すなわち $\nablaS$ $($ $z₀$ $)=$ $0$ $と$ $し$ ます $。$ $\det S''{}_{zz}(z^{0})\neq 0$ $すると、 z$ $0$ の近傍 $U \subset W$ と $w$ $= 0$ の $V$ $\subset$ $C$ $n$ が存在し、 $φ$ $(0) =$ $z$ $0 を$ 満たす全単射正則関数 $φ$ $:$ $V$ $\to$ $U が存在し、$

\forall w\in V:\qquad S({\boldsymbol {\varphi }}(w))=S(z^{0})+{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}w_{j}^{2},\quad \det {\boldsymbol {\varphi }}_{w}'(0)=1,

ここで、 $μ j$ は行列の固有値である。 $S''{}_{zz}(z^{0})$ 。

複素モース補題の証明

^{以下の証明は、 [}⁵^]に記載されている実モース補題の証明を単純に一般化したものである。まず、

補助的な記述。原点の近傍で

f

:

C

n

\to

C

が正則であり、

f

(0) = 0 で

あるとする。このとき、ある近傍で、関数

g

i

:

C

n

\to

C

が存在し、

f(z)=\sum _{i=1}^{n}z_{i}g_{i}(z),

ここで、各

g i

は正則であり、

g_{i}(0)=\left.{\tfrac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}.

アイデンティティから

f(z)=\int _{0}^{1}{\frac {d}{dt}}f\left(tz_{1},\cdots ,tz_{n}\right)dt=\sum _{i=1}^{n}z_{i}\int _{0}^{1}\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=(tz_{1},\ldots ,tz_{n})}dt,

我々は以下の結論を下す。

g_{i}(z)=\int _{0}^{1}\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=(tz_{1},\ldots ,tz_{n})}dt

そして

g_{i}(0)=\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}.

一般性を失うことなく、原点を $z 0$ に平行移動し、 $z 0 = 0$ および $S (0) = 0$ とします。補助命題を用いると、次のようになります。

S(z)=\sum _{i=1}^{n}z_{i}g_{i}(z).

原点は鞍点なので、

\left.{\frac {\partial S(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}=g_{i}(0)=0,

補助文を関数 $g i (z)$ に適用して、

任意の行列 $A は、対称行列$ $A (s)$ と反対称行列 $A (a)$ の和として表すことができることを思い出してください。

A_{ij}=A_{ij}^{(s)}+A_{ij}^{(a)},\qquad A_{ij}^{(s)}={\tfrac {1}{2}}\left(A_{ij}+A_{ji}\right),\qquad A_{ij}^{(a)}={\tfrac {1}{2}}\left(A_{ij}-A_{ji}\right).

任意の対称行列Bと任意の行列 $A$ の縮約は

$つまり、 A$ の反対称成分は寄与しない。

\sum _{i,j}B_{ij}C_{ij}=\sum _{i,j}B_{ji}C_{ji}=-\sum _{i,j}B_{ij}C_{ij}=0.

したがって、式(1)の $h ij (z)は、添え字$ $i$ と $j$ の交換に関して対称であると仮定できる。

\left.{\frac {\partial ^{2}S(z)}{\partial z_{i}\partial z_{j}}}\right|_{z=0}=2h_{ij}(0);

したがって、原点は非退化鞍点であるため、 $det(h ij (0)) \neq 0 となります。$

帰納法によって、局所座標 $u = (u 1, ... u n) 、 z = ψ (u) 、0 = ψ (0)$ が存在し、

$まず、局所座標y = (y 1, ... y n)、 z = φ (y)、0 = φ (0)$ が存在し、

ここで、 $H ij は$ 式 (2) により対称である。変数 $(y r, ... y n)の線形変換により、$ $H rr (0) \neq 0 で$ あることを保証できる。連鎖律から、

{\frac {\partial ^{2}S({\boldsymbol {\phi }}(y))}{\partial y_{i}\partial y_{j}}}=\sum _{l,k=1}^{n}\left.{\frac {\partial ^{2}S(z)}{\partial z_{k}\partial z_{l}}}\right|_{z={\boldsymbol {\phi }}(y)}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial y_{i}}}{\frac {\partial \phi _{l}}{\partial y_{j}}}+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {\partial S(z)}{\partial z_{k}}}\right|_{z={\boldsymbol {\phi }}(y)}{\frac {\partial ^{2}\phi _{k}}{\partial y_{i}\partial y_{j}}}

したがって：

S''{}_{yy}({\boldsymbol {\phi }}(0))={\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0)^{T}S''{}_{zz}(0){\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0),\qquad \det {\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0)\neq 0;

そこから、

0\neq \det S''{}_{yy}({\boldsymbol {\phi }}(0))=2^{r-1}\det \left(2H_{ij}(0)\right).

行列 $(H ij (0))$ は、ジョルダン標準形 $(H ij (0)) = LJL -1$ に書き換えることができます。ここで、 $L は$ 目的の非特異線形変換を与え、 $Jの対角成分には$ $($ $H$ $ij$ $(0))$ の非ゼロ固有値が含まれます。H ij (0) ≠ 0 の場合 $、$ $H$ $ij$ $($ $y$ $)$ $の$ 連続性により、原点の近傍でも非零でなければなりません $。$ ${\tilde {H}}_{ij}(y)=H_{ij}(y)/H_{rr}(y)$ 私たちは書く

{\begin{aligned}S({\boldsymbol {\varphi }}(y))=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\sum _{i,j=r}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\\=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\left[y_{r}^{2}+2y_{r}\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)+\sum _{i,j=r+1}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\right]\\=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\left[\left(y_{r}+\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right)^{2}-\left(\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right)^{2}\right]+H_{rr}(y)\sum _{i,j=r+1}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\end{aligned}}

最後の式に触発されて、新しい座標 $z = η (x) 、 0 = η (0) を導入します。$

x_{r}={\sqrt {H_{rr}(y)}}\left(y_{r}+\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right),\qquad x_{j}=y_{j},\quad \forall j\neq r.

変数変換 $y \leftrightarrow x$ は、対応するヤコビアンがゼロではないため、局所的に可逆です。

\left.{\frac {\partial x_{r}}{\partial y_{k}}}\right|_{y=0}={\sqrt {H_{rr}(0)}}\left[\delta _{r,\,k}+\sum _{j=r+1}^{n}\delta _{j,\,k}{\tilde {H}}_{jr}(0)\right].

したがって、

式(4)と式(5)を比較すると、式(3)が検証されたことがわかる。 $S''{}_{zz}(0)$ $μ j$ により、式 (3) は次のように書き換えることができます。

したがって、

式（6）より、 $\det S''{}_{ww}({\boldsymbol {\varphi }}(0))=\mu _{1}\cdots \mu _{n}$ ジョルダン標準形 $S''{}_{zz}(0)$ 読む $S''{}_{zz}(0)=PJ_{z}P^{-1}$ ここで、 $J z$ は固有値を含む上側対角行列であり、 $det P \neq 0$ である。したがって、 $\det S''{}_{zz}(0)=\mu _{1}\cdots \mu _{n}$ 式(7)から、

\det S''{}_{ww}({\boldsymbol {\varphi }}(0))=\left[\det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)\right]^{2}\det S''{}_{zz}(0)\Longrightarrow \det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=\pm 1.

もし $\det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=-1$ 2 つの変数を入れ替えると、 $\det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=+1$ 。

単一の非退化鞍点の場合の漸近展開

仮定する

$f (z)$ と $S (z)は、$ 開集合、有界集合、単連結集合 $Ω$ $x$ $\subset$ $C$ $n$ における正則関数であり、 $I$ $x$ $= Ω$ $x$ $\cap$ $R$ $n$ は連結である。
$\Re (S(z))$ 最大値は1つだけあります。 $\max _{z\in I_{x}}\Re (S(z))=\Re (S(x^{0}))$ ちょうど 1 つの点 $x 0 \in I x$ に対して;
$x 0$ は非退化鞍点 (つまり、 $\nabla S (x 0) = 0$ であり、 $\det S''{}_{xx}(x^{0})\neq 0$ )

すると、次の漸近式が成り立つ。

ここで、 $μj は$ ヘッセ行列の固有値である。 $S''{}_{xx}(x^{0})$ そして $(-\mu _{j})^{-{\frac {1}{2}}}$ 引数で定義されます

この記述は、Fedoryuk (1987) で提示されたより一般的な結果の特殊なケースである。^{[ 6 ]}

式（8）の導出

まず、輪郭線 $I x$ を変形して新しい輪郭線にします。 $I'_{x}\subset \Omega _{x}$ 鞍点 $x 0$ を通過し、境界を $I x$ $と共有する。この変形は積分I (λ)$ の値を変えない。複素モースの補題を用いて積分変数を変換する。この補題によれば、関数 $φ (w)$ は近傍 $x 0 \in U \subset Ω x$ を原点を含む近傍 $Ω w$ $に写像する。積分I (λ)は$ $I (λ) = I 0 (λ) + I 1 (λ)$ の 2 つに分割できる。ここで、 $I 0 (λ)$ はの積分である。 $U\cap I'_{x}$ 、 $I 1 (λ)$ が $I'_{x}\setminus (U\cap I'_{x})$ （すなわち、輪郭 $I' x$ の残りの部分）。後者の領域は鞍点 $x 0を含まないため、$ $λ$ $\to \infty$ のとき $I 1 (λ)$ の値は $I 0 (λ)$ よりも指数関数的に小さくなります。^[⁷^]したがって、 $I$ $1$ $($ $λ$ $)$ は無視されます。輪郭 $I$ $w$ を導入すると、 $U\cap I'_{x}={\boldsymbol {\varphi }}(I_{w})$ 、我々は持っています

$x 0 = φ (0)$ であることを思い出し、 $\det {\boldsymbol {\varphi }}_{w}'(0)=1$ 指数関数前関数を展開します $f[{\boldsymbol {\varphi }}(w)]$ テイラー級数に変換し、最も上位のゼロ次項のみを残す

$ここでは、積分領域I w を$ $R n$ に置き換えた。なぜなら、どちらも鞍点である原点を含んでいるため、指数関数的に小さい項を除いて等しいからである。^{[ 8 ]}式 (11) の右辺の積分は次のように表すことができる。

この表現から、式(12)の右辺と左辺が一致するためには条件(9)が満たされなければならないと結論付けられる。仮定2によれば、 $\Re \left(S''{}_{xx}(x^{0})\right)$ は負に定義された二次形式です（すなわち、 $\Re (\mu _{j})<0$ ）積分が存在することを意味する ${\mathcal {I}}_{j}$ これは簡単に計算できます

{\mathcal {I}}_{j}={\frac {2}{{\sqrt {-\mu _{j}}}{\sqrt {\lambda }}}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\xi ^{2}}{2}}}d\xi ={\sqrt {\frac {2\pi }{\lambda }}}(-\mu _{j})^{-{\frac {1}{2}}}.

式（8）は次のように書くこともできます。

枝

{\sqrt {\det \left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)}}

以下のように選択されます。

{\begin{aligned}\left(\det \left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)\right)^{-{\frac {1}{2}}}&=\exp \left(-i{\text{ Ind}}\left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)\right)\prod _{j=1}^{n}\left|\mu _{j}\right|^{-{\frac {1}{2}}},\\{\text{Ind}}\left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)&={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\arg(-\mu _{j}),&&|\arg(-\mu _{j})|<{\tfrac {\pi }{2}}.\end{aligned}}

重要な特殊ケースを検討してください。

$S (x)が$ $実数$ $x$ と $Rn$ 内の $x₀$ $に対して$ 実数値である場合（多次元ラプラス法とも呼ばれる）、^[⁹^] ${\text{Ind}}\left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)=0.$
$S (x)が実数$ $x$ に対して純虚数である場合(つまり、 $\Re (S(x))=0$ すべての $x$ ∈ $R n$ ) および $x \in$ R $n$ （別名、多次元定常位相法 $）$ 、^{[ 10 ]}ならば^{[ 11 ]} ${\text{Ind}}\left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)={\frac {\pi }{4}}{\text{sign }}S''{}_{xx}(x_{0}),$ どこ ${\text{sign }}S''{}_{xx}(x_{0})$ 行列の署名を表す $S''{}_{xx}(x_{0})$ これは、負の固有値の数から正の固有値の数を引いた値に等しい。量子力学（および光学）における多次元WKB近似への定常位相法の適用において、 $Indは$ マスロフ指数と関連していることは注目に値する。例えば、Chaichian & Demichev (2001)およびSchulman (2005)を参照。

複数の非退化鞍点の場合

関数 $S (x)$ に複数の孤立した非退化鞍点がある場合、すなわち、

\nabla S\left(x^{(k)}\right)=0,\quad \det S''{}_{xx}\left(x^{(k)}\right)\neq 0,\quad x^{(k)}\in \Omega _{x}^{(k)},

どこ

\left\{\Omega _{x}^{(k)}\right\}_{k=1}^{K}

$Ω$ $x$ の開被覆である場合、単位分割を用いることで、積分漸近の計算は単一の鞍点の場合に帰着する。単位分割により、連続関数 $ρ$ $k$ $($ $x$ $)$ $: Ω$ $x$ $\to [0, 1], 1 \leq$ $k$ $\leq$ $K$ の集合を構築することができ $、$

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{K}\rho _{k}(x)&=1,&&\forall x\in \Omega _{x},\\\rho _{k}(x)&=0&&\forall x\in \Omega _{x}\setminus \Omega _{x}^{(k)}.\end{aligned}}

そこから、

\int _{I_{x}\subset \Omega _{x}}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\equiv \sum _{k=1}^{K}\int _{I_{x}\subset \Omega _{x}}\rho _{k}(x)f(x)e^{\lambda S(x)}dx.

したがって、 $λ \to \infty$ のとき、次のようになります。

\sum _{k=1}^{K}\int _{{\text{a neighborhood of }}x^{(k)}}f(x)e^{\lambda S(x)}dx=\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{\frac {n}{2}}\sum _{k=1}^{K}e^{\lambda S\left(x^{(k)}\right)}\left(\det \left(-S''{}_{xx}\left(x^{(k)}\right)\right)\right)^{-{\frac {1}{2}}}f\left(x^{(k)}\right),

ここで、式（13）は最終段階で使用され、指数関数 $f$ $（$ $x$ $）$ は少なくとも連続でなければならない。

その他のケース

$\nabla S (z 0) = 0$ の場合、 $\det S''{}_{zz}(z^{0})=0$ 点 $z 0 \in C n$ は関数 $S$ $($ $z$ $)の$ 退化鞍点と呼ばれます。

漸近値を計算する

\int f(x)e^{\lambda S(x)}dx,

$λ \to \infty の$ とき、 $f$ $($ $x$ $)$ は連続であり、 $S (z)$ は退化鞍点を持つ。これは非常に複雑な問題であり、その解決はカタストロフィー理論に大きく依存する。ここで、カタストロフィー理論は、非退化の場合にのみ有効なモースの補題に代わり、関数 $S (z)$ を多数の標準表現のいずれかに変換する。詳細については、例えばPoston & Stewart (1978)およびFedoryuk (1987)を参照のこと。

縮退した鞍点を持つ積分は、光学的コースティクスや量子力学における多次元WKB近似など、多くの応用分野で自然に現れる。

例えば、 $f$ $($ $x$ $)$ や $S$ $($ $x$ $)が不連続である場合や、$ $S$ $($ $x$ $)$ の極値が積分領域の境界にある場合など、その他のケースでは特別な注意が必要です（例えば、Fedoryuk(1987)やWong(1989)を参照）。

拡張と一般化

最急降下法の拡張として、いわゆる非線形定常位相／最急降下法がある。この方法では、積分の代わりに、リーマン・ヒルベルト分解問題の漸近解を評価する必要がある。

複素球面上の輪郭C、その輪郭上で定義された関数f、および特定の点（例えば無限遠点）が与えられたとき、輪郭Cから離れた場所では正則であり、 Cを横切る際のジャンプが規定され、無限遠点での正規化が与えられた関数Mを求める。fおよびMがスカラーではなく行列である場合、これは一般に明示的な解を持たない問題である。

線形定常相法／最急降下法に準じた漸近評価が可能となる。その考え方は、与えられたリーマン・ヒルベルト問題の解を、より単純で明示的に解けるリーマン・ヒルベルト問題の解に漸近的に還元することである。コーシーの定理は、ジャンプ輪郭の変形を正当化するために用いられる。

非線形定常相は、ロシアの数学者アレクサンダー・イツの以前の研究に基づいて、1993年にDeiftとZhouによって導入されました。厳密には非線形最急降下法は、Lax、Levermore、Deift、Venakides、Zhouの以前の研究に基づいて、2003年にKamvissis、K. McLaughlin、P. Millerによって導入されました。線形の場合と同様に、最急降下等高線は最小最大問題を解きます。非線形の場合、それらは「S字曲線」であることがわかります（これは、1980年代にStahl、Gonchar、Rakhmanovによって別の文脈で定義されました）。

非線形定常位相/最急降下法は、ソリトン方程式や可積分モデル、ランダム行列、組み合わせ論の理論に応用されている。

もう一つの拡張は、鞍点の合体と一様漸近拡張のためのチェスター・フリードマン・アーセル法である。

注記

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↑ Fedoryuk (1987)の 56 ページにある補題 2.1.1 の修正版。
↑ Fedoryuk (1987)の 113 ページにある補題 3.3.2
↑ Poston & Stewart (1978) 、54 ページ。Wong (1989)の 479 ページのコメントも参照。
↑フェドリュク (1987)、417-420ページ。
↑この結論は、式(8)で与えられる $I$ $0$ $($ $λ$ $)$ の最終漸近値と、破棄された積分 $I$ $1$ $($ $λ$ $)の$ 単純な推定値との比較から導き出されます。
↑これは、 $R$ $n$ 上の積分漸近式[式 (8) を参照] と変更された部分の単純な推定値を比較することによって正当化されます。
↑ Fedoryuk (1987)の 125 ページにある式 (4.4.9) を参照
↑厳密に言えば、導出に用いられた第２の仮定が破られているため、このケースは式（８）から推論することはできない。議論されている純虚数位相関数のケースを含めるには、条件（９）を次のように置き換える必要がある。 $\left|\arg {\sqrt {-\mu _{j}}}\right|\leqslant {\tfrac {\pi }{4}}.$
↑ Fedoryuk (1987)の 186 ページにある式 (2.2.6') を参照

参考文献

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- 翻訳は、Barkan, Eric; Sklar, David (2018)、「解析的数論におけるリーマンの遺稿について：シーゲルのÜberの翻訳」arXiv : 1810.05198 [ math.HO ]に掲載されています。。
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Schulman, LS (2005)、「第17章：半古典的振幅の位相」、経路積分の技術と応用、ドーバー出版、ISBN 0486445283
ウォン、R. (1989)、『積分の漸近近似』、アカデミックプレス。

[1] MacKay, David JC (2003).情報理論、推論、学習アルゴリズム. ケンブリッジ、英国 ; ニューヨーク: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64298-9。

[2] Bender, Carl M.; Orszag, Steven A. (1999). Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I. New York, NY: Springer New York. doi : 10.1007/978-1-4757-3069-2 . ISBN 978-1-4419-3187-0。

[3] Fedoryuk (1987)の 56 ページにある補題 2.1.1 の修正版。

[4] Fedoryuk (1987)の 113 ページにある補題 3.3.2

[5] Poston & Stewart (1978) 、54 ページ。Wong (1989)の 479 ページのコメントも参照。

[6] フェドリュク (1987)、417-420ページ。

[7] この結論は、式(8)で与えられる $I$ $0$ $($ $λ$ $)$ の最終漸近値と、破棄された積分 $I$ $1$ $($ $λ$ $)の$ 単純な推定値との比較から導き出されます。

[8] これは、 $R$ $n$ 上の積分漸近式[式 (8) を参照] と変更された部分の単純な推定値を比較することによって正当化されます。

[9] Fedoryuk (1987)の 125 ページにある式 (4.4.9) を参照

[10] 厳密に言えば、導出に用いられた第２の仮定が破られているため、このケースは式（８）から推論することはできない。議論されている純虚数位相関数のケースを含めるには、条件（９）を次のように置き換える必要がある。 $\left|\arg {\sqrt {-\mu _{j}}}\right|\leqslant {\tfrac {\pi }{4}}.$

[11] Fedoryuk (1987)の 186 ページにある式 (2.2.6') を参照

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以下の証明は、 [

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