ルービックキューブグループ

Gの 2 つの部分群を考えます。まず、立方体の向きの部分群C _oです。これは、すべてのブロックの位置は固定したまま、ブロックの向きを変えることができる操作です。この群はGの正規部分群です。これは、いくつかの辺を反転させたり、いくつかの角をねじったりする操作の正規閉包として表すことができます。たとえば、次の 2 つの操作の正規閉包です。

${\displaystyle BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2}BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2},}$（2つの角をひねる）

${\displaystyle RUDB^{2}U^{2}B^{\プライム }UBUB^{2}D^{\プライム }R^{\プライム }U^{\プライム },}$（2つの辺を反転させる）

第二に、部分群を取ります${\displaystyle C_{\text{p}}}$立方体の順列のうち、ブロックの位置は変更できるが向きは固定されたままとなる操作を指します。この部分群には、「向き」の定義方法によっていくつかの選択肢があります。^{[注2 ]}選択肢の一つは、生成元によって与えられる以下の群です（最後の生成元は辺上の3サイクルです）。

${\displaystyle C_{\text{p}}=[U^{2},D^{2},F,B,L^{2},R^{2},R^{2}U^{\prime }FB^{\prime }R^{2}F^{\prime }BU^{\prime }R^{2}].}$

C _{oは正規部分群であり、} C _oとC _pの共通部分は恒等群であり、それらの積は立方群全体であるため、立方群Gはこれら 2 つの群の半直積であることがわかります。つまり、

${\displaystyle G=C_{\text{o}}\rtimes C_{\text{p}}.}$

_{次に、これら2つのグループを詳しく見ていきましょう。C o}の構造は

${\displaystyle \mathrm {Z} _{3}^{7}\times \mathrm {Z} _{2}^{11},}$

各コーナー（またはエッジ）キューブの回転群は${\displaystyle \mathrm {Z} _{3}}$(それぞれ)${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$）、そしてそれぞれの場合において、1つを除くすべてを自由に回転させることができますが、これらの回転によって最後のものの向きが決まります。8つの角と12の辺があり、すべての回転群がアーベル群であることに注目すると、上記の構造が得られます。

立方体の順列C _pは、もう少し複雑です。次の 2 つの互いに素な正規部分群があります。角の偶順列の群 A ₈と辺の偶順列の群 A ₁₂です。これら 2 つの部分群の補群は、2 つの角と 2 つの辺を交換する順列です。これらがすべての可能な順列を生成することがわかります。つまり、

${\displaystyle C_{\text{p}}=(\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {A} _{12})\,\rtimes \mathrm {Z} _{2}.}$

すべてのピースを組み合わせると、立方体群は

${\displaystyle (\mathrm {Z} _{3}^{7}\times \mathrm {Z} _{2}^{11})\rtimes \,((\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {A} _{12})\rtimes \mathrm {Z} _{2}).}$

このグループは、サブダイレクト積とも表現できます。

${\displaystyle [(\mathrm {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathrm {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}},}$

グリースの記法では。

中心面の対称性を考慮すると、対称群は次の部分群になります。

${\displaystyle [\mathrm {Z} _{4}^{6}\times (\mathrm {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathrm {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}}.}$

（中心面回転の重要性が低いことは、商群が作用していることを示す暗黙の例であり、読者を問題の対象の完全な自己同型群から遠ざけている。）

ルービックキューブを分解して再組み立てして得られる対称群は、わずかに大きい。すなわち、それは直接積である。

${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}^{6}\times (\mathrm {Z} _{3}\wr \mathrm {S} _{8})\times (\mathrm {Z} _{2}\wr \mathrm {S} _{12})。}$

第1の要素は中心ピースの回転のみによって説明され、第2の要素は角の対称性のみによって説明され、第3の要素は辺の対称性のみによって説明されます。後者の2つの要素は一般化された対称群の例であり、それ自体がリース積の例です。（中心面の再配置に関する要素はありません。なぜなら、ほぼすべてのルービックキューブモデルにおいて、単純な分解ではこれらの面を再配置することは不可能だからです。）

標準立方体群の構成系列において商として現れる単純群（つまり、中心ピースの回転を無視した場合）は以下のとおりです。${\displaystyle \mathrm {A} _{8}}$、${\displaystyle \mathrm {A} _{12}}$、${\displaystyle \mathrm {Z} _{3}}$（7回）${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$（12回）

ルービックキューブ群には81,120個の共役類があると報告されている。^{[ 7 ]}この数は、エッジ群とコーナー群の偶数および奇数の共役類の数をそれぞれ数え、それらを掛け合わせることで計算され、全体のパリティが常に偶数になるようにしている。偶数要素と奇数要素で共役させた場合に常に要素が異なる、いわゆるパリティ依存共役類を数える際には特別な注意が必要である。^{[ 8 ]}