5-多面体

幾何学において、5 次元多面体(または5-多面体、多面体) は、5 次元空間内の多面体であり、 ( 4-多面体の)面で囲まれ、そのペアが多面体セルを共有します。

5 次元多面体は、頂点、辺、面、セル、および4 面を持つ閉じた 5 次元図形です。頂点は5 つ以上の辺が交わる点です。辺は4 つ以上の面が交わる線分であり、面は3 つ以上のセルが交わる多角形です。セルは多面体であり、4 面は4 次元多面体です。さらに、次の要件を満たす必要があります。

1. 各セルは正確に 2 つの 4 面を結合する必要があります。
2. 隣接する 4 面は同じ 4 次元超平面内にありません。
3. この図は、要件を満たす他の図を組み合わせたものではありません。

任意の5次元多面体の位相はベッティ数とねじれ係数によって定義される。^[1]

多面体を特徴付けるために使用されるオイラー特性の値は、その基礎となる位相が何であれ、高次元に有用に一般化されません。高次元の異なる位相を確実に区別するためのオイラー特性のこの不十分さは、より洗練されたベッティ数の発見につながりました。^[1]

同様に、多面体の配向可能性の概念は、トーラス多面体の表面のねじれを特徴付けるには不十分であり、これがねじれ係数の使用につながった。^[1]

5 次元多面体は、「凸性」や「対称性」などの特性に基づいて分類できます。

• 5 次元多面体は、その境界 (セル、面、辺を含む) が自己交差せず、5 次元多面体の任意の 2 点を結ぶ線分が 5 次元多面体またはその内部に含まれる場合、凸面です。それ以外の場合、非凸面です。自己交差する 5 次元多面体は、非凸ケプラー・ポアンソ多面体の星のような形状との類似性から、星型多面体とも呼ばれます。
• 一様5 次元多面体には、すべての頂点が等価となる対称群があり、その面は一様 4 次元多面体です。一様多面体の面は必ず正則になります。

• 半正則 5 次元多面体には、正則 4 次元多面体の面が 2 種類以上含まれます。このような図形は 1 つしか存在せず、デミペンテラクトと呼ばれます。
• 正5 次元多面体には、正 4 次元多面体と同じ面がすべてあります。すべての正 5 次元多面体は凸面です。

• 5 次元多面体は、 2 つの低次元多面体の直積によって構成されます。5 次元多面体は、その因数が均一であれば均一です。超立方体は、正方形と立方体の積である 5 次元多面体ですが、因数から継承される対称性以外の対称性があるため、別個に考慮されます。
• 4空間のテッセレーションは、4 次元ユークリッド空間を多面体の規則的なグリッドに分割したものです。厳密に言えば、テッセレーションは「5D」ボリュームを囲まないため多面体ではありませんが、多くの点で多面体に似ているため、完全性のためにここに含めています。均一な 4 空間のテッセレーションは、頂点が空間群によって関連付けられ、ファセットが均一な 4 多面体であるものです。

正5次元多面体は、各面の周囲にs個の{p,q,r}多面体を持つシュレーフリ記号{p,q,r,s}で表すことができます。

このような凸正則5次元多面体は正確に3つ存在します。

1. {3,3,3,3} - 5単体
2. {4,3,3,3} - 5 キューブ
3. {3,3,3,4} - 5-オルソプレックス

3 つの凸正則 5 次元多面体と 3 つの半正則 5 次元多面体の場合、その要素は次のとおりです。

半正則 5 次元多面体のうち 3 つについて、その要素は次のとおりです。

拡張された5単体は、一様5単体ハニカムの頂点図形であり、5デミキューブハニカム、頂点図形は修正された 5 正方体であり、 面は5 正方体と5 デミキューブです。

ピラミッド型 5 次元多面体、または5 次元ピラミッドは、4 次元空間超平面内の 4 次元多面体の基底と、その超平面外の点とを接続することによって生成できます。5 次元単体は、4 次元単体の基底を持つ最も単純な例です。

• 正多面体の一覧#5次元正多面体以上

• T. ゴセット：n 次元空間の正則図形と半正則図形について、数学のメッセンジャー、マクミラン、1900 年
• A. ブール・ストット:正多面体と空間充填からの準正則の幾何学的演繹、コーニンククライケ アカデミー ファン ヴェテンシャッペン幅ユニット アムステルダムのフェルハンデリンゲン、エアステ セクション 11,1、アムステルダム、1910
• HSMコクセター:
  • HSM Coxeter、MS Longuet-Higgins、JCP Miller: Uniform Polyhedra、ロンドン王立協会哲学論文集、ロンドン、1954年
  • HSM コクセター『正多面体』第 3 版、ドーバー ニューヨーク、1973 年
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (論文22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (論文 23) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• NW ジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966 年
• Klitzing、Richard。「5D 均一多面体 (ポリテラ)」。

• さまざまな次元の多面体、ジョナサン・バワーズ
• ユニフォーム・ポリテラ、ジョナサン・バワーズ
• 多次元用語集、ギャレット・ジョーンズ