乗法逆元

数学において、数xの乗法逆数または逆数は、次のように表される。${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$またはx ^{− 1}は、 xを掛けると乗法単位元 1になる数です。分数の乗法逆数${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$は${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}.}$1を実数で割ると、その乗法逆数が得られます。例えば、5の逆数は5分の1（1/5または0.2）であり、0.25の逆数は1÷0.25、つまり4です。逆関数は、xをに写像する関数f ( x )です。${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$は、自身の逆関数（対合）である関数の最も単純な例の 1 つです。

ある数を掛けることは、その数の逆数で割ることと同じであり、その逆もまた同様です。例えば、4/5（または0.8）を掛けることは、5/4（または1.25）で割ることと同じ結果になります。したがって、ある数を掛けた後にその数の逆数を掛けると、元の数に戻ります（その数とその逆数の積は1であるため）。

逆数という用語は、少なくともブリタニカ百科事典第3版（1797年）の頃から、積が1になる2つの数を表すのに一般的に使われていました。ユークリッドの『原論』の1570年の翻訳では、反比例の幾何学的量が逆数として記述されています。^{[ 1 ]}

乗法逆元という表現では、修飾語「乗法」はしばしば省略され、暗黙のうちに理解されます（加法逆元とは対照的です）。乗法逆元は、数だけでなく、多くの数学領域で定義できます。このような場合、ab ≠ baとなることがあります。その場合、「逆元」は通常、ある要素が左逆元と右逆元の両方であることを意味します。

表記f ⁻¹は、関数fの逆関数を表す場合にも使用されることがありますが、ほとんどの関数では乗法逆関数とは等しくありません。例えば、乗法逆関数は$\displaystyle {\tfrac {1}{\sin x}}=(\sin x)^{-1}}$はxのコセカントであり、sin ⁻¹ xやarcsin xで表されるxの逆正弦ではありません。逆関数と逆関数という用語の違いだけではこの区別はできません。なぜなら、多くの著者は恐らく歴史的な理由から反対の命名規則を好むからです (例えば、フランス語では逆関数は好ましいことにréciproque と呼ばれる)。

実数において、ゼロには逆数がありません（ゼロによる除算は定義されていません）。なぜなら、実数にゼロを掛けても1にならないからです（任意の数とゼロの積はゼロになります）。ゼロを除いて、すべての実数の逆数は実数であり、すべての有理数の逆数は有理数であり、すべての複素数の逆数は複素数です。ゼロ以外のすべての要素が乗法逆元を持つという性質は、体の定義の一部であり、これらはすべて体の例です。一方、1と-1以外の整数には整数の逆数は存在しないため、整数は体ではありません。

モジュラー算術では、aのモジュラー乗法逆元も定義されます。これは、 ax ≡ 1 (mod n )となる数xです。この乗法逆元は、aとn が互いに素である場合に限り存在します。例えば、3 mod 11の逆元は4 です。なぜなら、4 ⋅ 3 ≡ 1 (mod 11)だからです。拡張ユークリッド互除法を用いて計算することができます。

セデニオンは、すべての非ゼロ要素が乗法逆元を持つ代数ですが、それでもゼロの約数、つまりxy = 0となる非ゼロ要素x、yを持ちます。

正方行列が逆行列を持つのは、その行列式が係数環に逆行列を持つ場合に限る。ある基底に関して行列A ⁻¹を持つ線形写像は、同じ基底でA を行列とする写像の逆関数である。したがって、この場合、関数の逆行列の 2 つの異なる概念は密接に関連しているが、 Axの乗法逆行列はA ⁻¹ xではなく( Ax ) ⁻¹となるため、一致しない。

逆関数のこれら2つの概念は、例えば関数の場合、一致することがあります。${\displaystyle f(x)=x^{i}=e^{i\ln(x)}}$ここで、lnは複素対数の主枝であり、${\displaystyle e^{-\pi }<|x|<e^{\pi }}$: $${\displaystyle \left({\tfrac {1}{f}}\circ f\right)(x)={\frac {1}{f}}(f(x))={\frac {1}{f(f(x))}}={\frac {1}{e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}}}={\frac {1}{e^{ii\ln(x)}}}={\frac {1}{e^{-\ln(x)}}}=x.}$$

三角関数は逆数の関係で結ばれています。すなわち、コタンジェントはタンジェントの逆数であり、セカントはコサインの逆数であり、コセカントはサインの逆数です。

すべての非零元が乗法逆元を持つ環は除算環であり、同様に、この性質が成り立つ代数は除算代数である。

前述のように、ゼロでない複素数z = a + biの逆数は複素数です。これは、分子と分母の両方に掛け合わせることで求めることができます。${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}}$その複雑な共役体によって${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}$そしてその特性を利用して${\displaystyle z{\bar {z}}=\|z\|^{2}}$zの二乗の絶対値、つまり実数a ² + b ²です。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}&={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}\\[2pt]&={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}\\[2pt]&={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}\\[2pt]&={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.\end{aligned}}}$$

直感的には${\displaystyle {\tfrac {\bar {z}}{\|z\|}}}$これにより、大きさが1に縮小された複素共役が得られます。したがって、 | z |で再度割ると、大きさが元の大きさの逆数にも等しくなります。したがって、次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}}$$ 特に、|| z || = 1 ( zは単位の大きさを持つ) の場合、${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}={\bar {z}}。}$したがって、虚数単位± iは加法逆元が乗法逆元と等しくなり、この性質を持つ唯一の複素数となります。例えば、iの加法逆元と乗法逆元は、それぞれ−( i ) = − iおよび( i ) ⁻¹ = − iです。

極座標形式の複素数z = r (cos φ + i sin φ )の場合、逆数は単純に大きさの逆数と角度の負の値を取ることで求められます。

$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}{\bigl (}\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi ){\bigr )}.}$$

複素平面における幾何学的には、複素数の逆数は、単位円内で反転を行い、続いて実軸に関して鏡映することによって求めることができる（図を参照）。

実際の微積分では、$\displaystyle {\tfrac {1}{x}}=x^{-1}}$これは、べき乗-1のべき乗 ルールによって与えられます。$$\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}.}$$

積分のべき乗則（カヴァリエリの求積公式）は、次の積分を計算するために使用できません。${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$そうするとゼロ除算になってしまうからです。 $${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}={\frac {x^{0}}{0}}+C}$$ 代わりに、積分は次のように与えられる。 $${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=\ln a,\qquad \int {\frac {dx}{x}}=\ln x+C.}$$ ここでlnは自然対数です。これを示すために、次の点に注目してください。${\textstyle {\frac {d}{dy}}e^{y}=e^{y}}$なので、もし${\displaystyle x=e^{y}}$そして${\displaystyle y=\ln x}$、次のようになります。^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dx}{dy}}=x\\[2pt]\Rightarrow \quad &{\frac {dx}{x}}=dy\\[2pt]\Rightarrow \quad &\int {\frac {dx}{x}}=\int dy=y+C=\ln x+C.\end{aligned}}}$$

逆数は、長除法を用いて手計算で求めることができます。

逆数を計算することは、多くの除算アルゴリズムにおいて重要です。なぜなら、商は${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$は、まず計算することによって計算できます。${\displaystyle {\tfrac {1}{b}}}$そしてそれをaで乗算します。${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}-b}$ゼロがあります${\displaystyle x={\tfrac {1}{b}},}$ニュートン法は、初期値x ₀から始めて、次の規則に従って反復することで、そのゼロ点を見つけることができます。

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {{\frac {1}{x_{n}}}-b}{\frac {-1}{x_{n}^{2}}}}=2x_{n}-bx_{n}^{2}=x_{n}(2-bx_{n}).}$$

これは、目的の精度に達するまで続きます。たとえば、1/17 ≈ 0.0588 を_小数点以下3桁の精度で計算したいとします。x 0 = 0.1 とすると、次の数列が生成されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=0.1(2-17\times 0.1)&&=0.03\\x_{2}&=0.03(2-17\times 0.03)&&=0.0447\\x_{3}&=0.0447(2-17\times 0.0447)&&\approx 0.0554\\x_{4}&=0.0554(2-17\times 0.0554)&&\approx 0.0586\\x_{5}&=0.0586(2-17\times 0.0586)&&\approx 0.0588\end{aligned}}}$$

典型的な初期推定値は、 bを2のべき乗に近い値に丸め、ビットシフトを使用してその逆数を計算することによって得られます。

構成的数学において、実数x が逆数を持つためには、x ≠ 0であるだけでは十分ではありません。代わりに、 0 < r < | x |を満たす有理数rが与えられなければなりません。上述の近似アルゴリズムの観点から言えば、これはyの変化が最終的に任意に小さくなることを証明するために必要です。

この反復は、より広い種類の逆行列にも一般化できます。たとえば、行列の逆行列などです。

ゼロを除くすべての実数または複素数には逆数があり、特定の無理数の逆数は重要な特別な性質を持つことがあります。例としては、 eの逆数(≈  0.367879) や黄金比の逆数 (≈  0.618034) があります。最初の逆数は、他のどの正の数もそれ自身をべき乗してもそれより小さい数にならないため、特別なものです。${\displaystyle f{\bigl (}{\tfrac {1}{e}}{\bigr )}}$f ( x ) = x ^xのグローバル最小値です。2 番目の数は、その逆数に 1 を加えた値に等しい唯一の正の数です。 $${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{\varphi }}+1.}$$ その加法逆数は、その逆数から1を引いた値に等しい唯一の負の数である。 $${\displaystyle -\varphi =-{\frac {1}{\varphi }}-1.}$$

機能

$${\displaystyle f(n)={\tfrac {1}{2}}n+{\sqrt {\left({\tfrac {1}{2}}n\right)^{\!2}+1}}}$$

一般にf ( n ) – f ( n ) ^{– 1} = nであるため、逆数と整数nだけ異なる無理数を求めるのに使用できます。例:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f(4)=2+{\sqrt {5}};\qquad f^{-1}(4)={\frac {1}{2+{\sqrt {5}}}}=-2+{\sqrt {5}};\\&\therefore \,f(4)-f^{-1}(4)=4.\end{aligned}}}$$

こうした無理数には、明白な共通点がある。それは、これらの数が整数だけ異なるため、その逆数と同じ小数部分を持つということである。

逆数関数は、単純な連分数において重要な役割を果たしており、連分数は（有理数と）無理数の表現に関連する多くの注目すべき性質を持っています。

乗法が結合法則を満たす場合、乗法逆元を持つ要素xは零因子にはなり得ません（x が零因子となるのは、零でないy が存在し、xy = 0 となる場合です）。これを確認するには、式xy = 0にxの逆元（左辺）を掛け、結合法則を用いて簡略化すれば十分です。結合法則が成り立たない場合、セデニオンが反例となります。

逆は成り立たない。零因子でない要素は、乗法逆元を持つとは限らない。${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$−1、0、1を除くすべての整数が例を示します。それらは零因子ではなく、逆元も持ちません。${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ただし、 環または代数が有限である場合、零因子でないすべての要素a は(左および右) 逆元を持ちます。まず、写像f ( x ) = ax は単射でなければならないことに注意してください。f ( x )= f ( y )はx = yを意味します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}ax=ay&&\Rightarrow &\quad ax-ay=0\\&&\Rightarrow &\quad a(x-y)=0\\&&\Rightarrow &\quad x-y=0\\&&\Rightarrow &\quad x=y.\end{aligned}}}$$ 異なる要素は異なる要素に写像されるため、像は同じ有限個の要素から構成され、写像は必然的に全射になります。具体的には、f（つまりaによる乗算）は、ある要素x を1に写像する必要があり、ax = 1 となるため、xはaの逆元となります。

逆数の拡大${\displaystyle {\tfrac {1}{q}}}$任意の基数でも、qが「適切な」安全な素数、つまりpも素数である2 p + 1の形の素数であれば、擬似乱数の発生源として機能できます^{[ 3 ]。}展開により、長さq − 1の擬似乱数列が生成されます。

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• 最大周期逆数、マシューズ RAJ数学とその応用研究所紀要第 28 巻 147–148 ページ 1992