ラドン測定

数学（特に測度論）において、ヨハン・ラドンにちなんで名付けられたラドン測度は、すべてのコンパクト集合上で有限、すべてのボレル集合上で外正則、開集合上で内正則であるハウスドルフ位相空間 $X$ のボレル集合の $σ$ 代数上の測度である。^[1]これらの条件は、測度が空間の位相と「互換性がある」ことを保証し、数学的解析や数論で使用されるほとんどの測度は実際にラドン測度である。

モチベーション

よくある問題は、位相空間上で、ある意味で位相と互換性のある測度の適切な概念を見つけることです。これを行う 1 つの方法は、位相空間のボレル集合上で測度を定義することです。一般に、これにはいくつかの問題があります。たとえば、このような測度は、適切に定義されたサポートを持たない場合があります。測度論に対する別のアプローチは、局所コンパクトなハウスドルフ空間に制限し、コンパクトなサポートを持つ連続関数の空間上の正の線形関数に対応する測度のみを考慮することです (一部の著者は、これをラドン測度の定義として使用しています)。これにより、病的な問題のない優れた理論が生成されますが、局所コンパクトでない空間には適用されません。非負の測度に制限がなく、複素測度が許容される場合、ラドン測度は、コンパクトなサポートを持つ連続関数の空間上の連続双対空間として定義できます。このようなラドン測度が実数である場合、2 つの正の測度の差に分解できます。さらに、任意のラドン測定値は 4 つの正のラドン測定値に分解することができ、関数の実数部と虚数部はそれぞれ 2 つの正のラドン測定値の差になります。

ラドン測度の理論は、局所コンパクト空間の通常の理論の優れた特性のほとんどを備えていますが、すべてのハウスドルフ位相空間に適用されます。ラドン測度の定義の考え方は、正関数に対応する局所コンパクト空間上の測度を特徴付けるいくつかの特性を見つけ、これらの特性を任意のハウスドルフ空間上のラドン測度の定義として使用することです。

定義

$m を$ ハウスドルフ位相空間 $Xの$ ボレル集合の $σ$ 代数上の測度とする。

測度 $m は$ 、任意の開集合 $U$ に対して、 $m$ $($ $U$ $) が$ $U$ のすべてのコンパクト部分集合 $K上の$ $m$ $($ $K$ $)$ の最大値に等しいとき、内部正則またはタイトと呼ばれます。
$あらゆるボレル集合B$ に対して、 $m$ $($ $B$ $) が$ $B を$ 含むすべての開集合 $U上の$ $m$ $($ $U$ $)$ の最小値に等しいとき、測度 $mは$ 外部正規と呼ばれます。
$X$ のすべての点に $m$ $($ $U$ $)$ が有限である近傍 $U が$ ある場合、測度 $mは$ 局所有限であると呼ばれます。

$m$ が局所的に有限であれば、 $m は$ コンパクト集合上で有限であることが証明され、局所的にコンパクトなハウスドルフ空間の場合は逆も成り立ちます。したがって、この場合、局所的な有限性は、コンパクト部分集合上の有限性と同等に置き換えることができます。

測度 $m は、内部正則かつ局所有限である場合に$ ラドン測度と呼ばれます。局所コンパクト空間上の有限測度など、多くの場合、これは外部正則性も意味します (ラドン空間も参照)。

(基本的に、「コンパクト」という単語を「閉じたコンパクト」に置き換えることで、ラドン測度の理論を非ハウスドルフ空間に拡張することができます。ただし、この拡張の応用はほとんどないようです。)

局所的にコンパクトな空間におけるラドン測定

基礎となる測度空間が局所的にコンパクトな位相空間である場合、ラドン測度の定義は、コンパクトな台を持つ連続関数の空間上の連続線型関数の観点から表現できます。これにより、関数解析の観点から測度と積分を展開することが可能になり、これはブルバキや他の多くの著者によって採用されたアプローチです。^[2]

対策

以下で、 $X は$ 局所コンパクト位相空間を表す。 $X$ 上のコンパクト台を持つ連続実数値関数はベクトル空間 $K$ $($ $X$ $) =$ $C$ $c$ $($ $X$ $)$ を形成し、これは自然な局所凸位相を与えることができる。実際、 $K$ $($ $X$ $) は、$ コンパクト集合 $K$ に含まれる台を持つ連続関数の空間 $K$ $($ $X$ $、$ $K$ $)$ の和集合である。各空間 $K$ $($ $X$ $、$ $K$ $)は自然に$ 一様収束の位相を持ち、バナッハ空間になる。しかし、位相空間の和集合は位相空間の直接極限の特殊な場合であるため、空間 $K$ $($ $X$ $)$ は、空間 $K$ $($ $X$ $、$ $K$ $)$ によって誘導される直接極限局所凸位相を備えることができ、この位相は一様収束の位相よりも細かい。

$m$ がラドン測度である場合、写像 $X,$ $I:f\mapsto \int f(x)\,m(dx)$

$は、 K$ $($ $X$ $)から$ $R$ への連続した正の線型写像である。正とは、 $f$ が非負関数であるときはいつでも $I$ $($ $f$ $) \geq 0 であることを意味する。上で定義した直接極限位相に関する連続性は、次の条件と同等である。$ $X$ のすべてのコンパクト部分集合 $K$ に対して、定数 $M$ $Kが存在し、$ $K$ に含まれる台を持つ $X$ 上のすべての連続実数値関数 $f$ に対して、 $|I(f)|\leq M_{K}\sup _{x\in X}|f(x)|.$

逆に、リース・マルコフ・角谷表現定理により、 $K$ $($ $X$ $)上の各$ 正線型形式は、唯一の正則ボレル測度に関する積分として生じる。

実数値ラドン測度は、 $K$ $($ $X$ $)上の$ 任意の連続線型形式として定義されます。これらは、正確には 2 つのラドン測度の差です。これにより、実数値ラドン測度は、局所凸空間 $K$ $($ $X$ $)$ の双対空間と同一視されます。これらの実数値ラドン測度は、符号付き測度である必要はありません。たとえば、 $sin($ $x$ $)$ $dx$ は実数値ラドン測度ですが、少なくとも 1 つが有限である 2 つの測度の差として記述できないため、拡張された符号付き測度でもありません。

一部の著者は、前述のアプローチを使用して、（正の）ラドン測度を $K （ X ）$ 上の正の線型形式として定義します。^[3]この設定では、上記の意味でのラドン測度を正の測度と呼び、上記のような実数値のラドン測度を（実）測度と呼ぶ用語を使用するのが一般的です。

統合

関数解析の観点から局所コンパクト空間の測度論の構築を完了するには、コンパクトに支えられた連続関数から測度 (積分) を拡張する必要があります。これは、次のようにいくつかの手順で実数値関数または複素数値関数に対して実行できます。

下半連続正（実数値）関数 $g$ の上積分 $μ *(g)$ を、コンパクトに支えられた連続関数 $h$ $\leq$ $g$ に対する正数 $μ$ $($ $h$ $)の$ 上限（無限大の可能性あり）として定義します。
任意の正（実数値）関数 $f$ の上積分 $μ *(f)$ を、下半連続関数 $g$ $\geq$ $fの上積分$ $μ$ $*($ $g$ $)$ の下限として定義します。
ベクトル空間 $F = F (X, μ)$ を、絶対値の上積分 $μ$ $*(|$ $f$ $|)が有限である$ $X$ 上のすべての関数 $f$ の空間として定義します。絶対値の上積分は $F$ 上の半ノルムを定義し、 $F は$ 半ノルムによって定義される位相に関して完全な空間です。
連続コンパクトに支えられた関数の空間 $F$ 内の閉包として、積分可能関数の空間 $L 1 (X, μ)を定義します。$
連続性による拡張としての $L$ $1$ $($ $X$ $,$ $μ$ $)$ 内の関数の積分の定義（ $μ が$ $L$ $1$ $($ $X$ $,$ $μ$ $)$ の位相に関して連続であることを確認した後）。
集合の測度を、その集合の指示関数の積分（存在する場合）として定義します。

$これらの手順により、 X$ の各ボレル集合に数値を割り当てる関数として定義されたラドン測度から始まる理論と同一の理論が生成されることを確認できます。

$R$ 上のルベーグ測度は、この関数解析的設定でいくつかの方法で導入できます。まず、コンパクトな台を持つ連続関数の積分に対するダニエル積分やリーマン積分などの「基本的な」積分に頼ることができます。これらは、積分のすべての基本的な定義に対して積分可能であるためです。基本的な積分によって定義される測度 (上で定義した意味で) は、まさにルベーグ測度です。次に、リーマン積分やダニエル積分、または他の同様の理論への依存を避けたい場合は、まずハール測度の一般理論を展開し、正規化条件 $λ$ $([0, 1]) = 1 を満たす$ $R$ 上のハール測度 $λ$ としてルベーグ測度を定義することができます。

例

以下はすべてラドン対策の例です。

ユークリッド空間上のルベーグ測度（ボレル部分集合に限定）。
任意の局所コンパクト位相群上のハール測度。
任意の位相空間上のディラック測度。
ユークリッド空間 $ℝ n$ 上のガウス測度とそのボレルシグマ代数。
任意のポーランド空間のボレル集合の $σ$ 代数上の確率測度。この例は、前の例を一般化するだけでなく、区間 $[0, 1]上の実数値連続関数の空間上の$ ウィーナー測度など、非局所コンパクト空間上の多くの測度も含みます。
$ℝ$ 上の測度は、局所有限ボレル測度である場合に限り、ラドン測度である。

以下はラドン対策の例ではありません。

ユークリッド空間上の計数測度は、局所的に有限ではないため、ラドン測度ではない測度の例です。
位相的な順序を持つ最初の非可算順序数である $Ω$ 以下の順序数の空間は、コンパクトな位相空間である。 $[1, Ω)$ の非可算閉部分集合を含む任意のボレル集合上で $1 に$ 等しく、それ以外の場合は $0$ となる測度は、ボレルであってラドンではない。これは、1 点集合 ${Ω}$ は測度 0 であるが、その任意の開近傍は測度 $1$ であるためである。^[4]
$X を$ 、半開区間 ${$ $[$ $a$ $,$ $b$ $)$ $: 0 \leq$ $a$ $<$ $b$ $\leq 1}$ の集合によって生成される位相を備えた区間 $[0, 1)$ とします。この位相はソルゲンフライ線と呼ばれることもあります。この位相空間では、コンパクト集合はせいぜい可算であるため、標準ルベーグ測度は内部正則ではないためラドンではありません。
$Z を$ $[0, 1]$ (または任意のポーランド空間)のベルンシュタイン集合とします。Z内の任意 $のコンパクト集合は可算であるため、$ $Z$ 上の点で消える測度はラドン測度ではありません。
無限個の $κ$ $に対する(0, 1)$ $κ$ 上の標準積測度はラドン測度ではない。これは、任意のコンパクト集合が、それぞれが 1 より短い無限個の閉区間の積内に含まれるからである。

直感的に、ラドン測度はルベーグ測度とディラック測度の両方の性質を持っているため、特にレヴィ過程を扱う数理ファイナンスにおいて有用であることに注目する。ルベーグとは異なり、単一点上のラドン測度は必ずしも測度 $0$ ではない。^[5]

基本的なプロパティ

緩和ラドン対策

空間 $X$ 上のラドン測度 $mが$ 与えられたとき、ボレル集合上の別の測度 $Mを次のように定義することができる。$

$M(B)=\inf\{m(V)\mid V{\text{ は }}B\subseteq V\subseteq X\} を満たす開集合である。$

測度 $M は、$ 開集合に対しては外正則、局所有限、内正則である。これはコンパクト集合および開集合上の $m$ と一致し、 $m はコンパクト集合上の$ $M$ と同じ唯一の内正則測度として $M$ から再構築できる。測度 $m は、$ $M$ が $σ$ 有限である場合に緩和されていると呼ばれる。この場合、測度 $m$ と $M は$ 同じである。( $m$ が $σ有限である場合、これは$ $M$ が $σ$ 有限であることを意味しないため、緩和されていることは $σ$ 有限であることよりも強い。)

遺伝的にリンデレーフな空間では、すべてのラドン測定値は緩和されます。

$σ$ 有限だが緩和されていない測度 $m$ の例を次に示します。^[6]位相空間 $X は、$ $y$ 軸上の点 $(0,$ $y$ $)と、正の整数$ $m$ 、 $n$ を持つ点 $(1/$ $n$ $、$ $m$ $/$ $n$ $2$ $)$ によって与えられる実平面の部分集合を基礎集合として持ちます。位相は次のように与えられます。単一の点 $(1/$ $n$ $、$ $m$ $/$ $n$ $2$ $)$ はすべて開集合です。点 $(0,$ $y$ $)$ の近傍の基底は、正の整数 $nに対して$ $|$ $v$ $-$ $y$ $| \leq |$ $u$ $| \leq 1/$ $n$ となる形式 $($ $u$ $、$ $v$ $)$ のすべての点からなるくさびで与えられます。この空間 $X は$ 局所的にコンパクトです。測度 $mは、$ $y$ 軸の測度を $0$ にし、点 $(1/$ $n$ $、$ $m$ $/$ $n$ $2$ $)$ $の$ 測度を $1/$ $n$ $3$ にすることで与えられます。この測度は内部正則かつ局所有限ですが、 $y$ 軸を含む任意の開集合は測度無限大を持つため、外部正則ではありません。特に、 $y軸は$ $m$ 測度 $0$ ですが、 $M$ 測度無限大を持ちます。

ラドン空間

位相空間は、すべての有限ボレル測度がラドン測度である場合にラドン空間と呼ばれ、すべての局所有限ボレル測度がラドン測度である場合に強ラドンと呼ばれます。任意のススリン空間は強ラドンであり、さらにすべてのラドン測度は緩和されています。

二重性

局所的にコンパクトなハウスドルフ空間では、ラドン測度はコンパクトな台を持つ連続関数の空間上の正の線形関数に対応します。この特性がラドン測度の定義の主な動機であるため、これは驚くべきことではありません。

メトリック空間構造

$X$ 上のすべての（正の）ラドン測度の尖端円錐 M $+ (X) は$ 、 2つの測度 $m$ $1$ $、$ $m$ $2$ $\in$ $M$ $+$ $($ $X$ $)間の$ ラドン距離を次のように定義することで、完全な計量空間の構造を与えることができる。 $\rho (m_{1},m_{2})=\sup \left\{\left.\int _{X}f(x)(m_{1}-m_{2})(dx)\ \right|\mathrm {連続\,} f:X\to [-1,1]\subset \mathbb {R} \right\}.$

この計量にはいくつかの制限があります。たとえば、 $X$ 上のラドン確率測度の空間は、ラドン計量に関して順次コンパクトではありません。つまり、確率測度のシーケンスがラドン計量に関して収束する部分シーケンスを持つことは保証されておらず、特定のアプリケーションでは困難が生じます。一方、 $X が$ コンパクトな計量空間である場合、ワッサーシュタイン計量は $P$ $($ $X$ $) を$ コンパクトな計量空間に変換します。 ${\mathcal {P}}(X)=\{m\in {\mathcal {M}}_{+}(X)\mid m(X)=1\},$

ラドン計量の収束は、測度の弱い収束を意味しますが、その逆の含意は一般には偽です。ラドン計量の収束は、弱い収束と対比して、 強い収束と呼ばれることもあります。 $\rho (m_{n},m)\to 0\Rightarrow m_{n}\rightharpoonup m,$

参照

参考文献

^ フォーランド 1999、212 ページ
^ ブルバキ 2004a
^ ブルバキ 2004b;ヒューイット&ストロンバーグ 1965年。デュドネ 1970年。
^ シュワルツ 1974、45 ページ
^ Cont、Rama、Peter Tankov。ジャンププロセスによる財務モデリング。Chapman & Hall、2004年。
^ Bourbaki 2004a、第1節の演習5

文献

ブルバキ、ニコラス(2004a)、Integration I、Springer Verlag、ISBN 3-540-41129-1局所コンパクト空間上のラドン測度と積分の理論の機能解析的展開。
ブルバキ、ニコラス(2004b)、Integration II、Springer Verlag、ISBN 3-540-20585-3. ハール測度、一般ハウスドルフ空間上のラドン測度、および線形関数とボレルシグマ代数上の局所有限内部正則測度による定義間の同値性。
ジャン・デュドネ(1970)、分析に関する論文、第 1 巻。 2、学術出版局分離可能距離化可能空間上で定義された測度に特化した、Bourbaki のアプローチの簡略版が含まれています。
フォランド、ジェラルド（1999）、実分析：現代の技術とその応用、ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ社、p. 212、ISBN 0-471-31716-0
ヒューイット、エドウィン; ストロンバーグ、カール (1965)、実解析と抽象解析、シュプリンガー・フェアラーク
ケーニッヒ、ハインツ（1997）、測定と積分：基本手順と応用の上級コース、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 3-540-61858-9
シュワルツ、ローラン（1974）、任意の位相空間と円筒測度上のラドン測度、オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-560516-0

外部リンク

RA Minlos (2001) [1994]、「ラドン測定」、数学百科事典、EMS Press

[1] フォーランド 1999、212 ページ

[2] ブルバキ 2004a

[3] ブルバキ 2004b;ヒューイット&ストロンバーグ 1965年。デュドネ 1970年。

[4] シュワルツ 1974、45 ページ

[5] Cont、Rama、Peter Tankov。ジャンププロセスによる財務モデリング。Chapman & Hall、2004年。

[6] Bourbaki 2004a、第1節の演習5