Perles 構成

幾何学において、パールズ配置は、ユークリッド平面上の 9 点と 9 本の直線のシステムであり、組み合わせ的に同値なすべての実現は、その座標の 1 つとして少なくとも 1 つの無理数を持ちます。パールズ配置は、正五角形の対角線と対称線、およびそれらの交点から構築できます。次に、パールズ配置を使用して、有理座標を与えることができない高次元の凸多面体を構築できます。これは、既知の例の中で最も頂点数が少ないものです。射影平面におけるパールズ配置のすべての実現は、射影変換の下で互いに同値です。

ミカ・パールズにちなんで名付けられました。

パールズ構成を構築する方法の 1 つは、正五角形とその 5 つの対角線から始めることです。これらの対角線は、外側の五角形の中に入れ子になった小さな内側の五角形の辺を形成します。外側の五角形の各頂点は、内側の五角形の頂点と反対側に位置します。構成の 9 つの点は、各五角形の 5 つの頂点のうち 4 つと、2 つの五角形の共通の中心で構成されます。各五角形から 1 つずつ、反対側の 2 つの頂点は省略されます。^[1]

構成の9本の線は、外側の五角形の対角線と内側の五角形の辺となる5本の線と、中心を通り、2つの五角形の反対側の頂点を通る4本の線で構成されています。^[1]

パールズ配置の実現は、同じ交差パターンを持つ任意の 9 つの点と 9 つの直線で構成されると定義されます。つまり、点と直線が実現において互いに交差するのは、正五角形から構築された配置で交差する場合のみです。この配置のユークリッド平面、またはより一般的には実射影平面での実現はすべて、射影変換の下で、正五角形からこのように構築された実現と同等です。 ^[2]

4 つの共線点から定義される数である複比 は射影変換によって変化しないため、すべての実現には、正五角形から導かれる実現における 4 つの共線点の複比と同じ複比を持つ 4 つの点がある。しかし、これらの 4 つの点の複比は、黄金比であり、無理数である。有理座標を持つ 4 つの共線点はすべて有理複比を持つため、パールズ構成は有理点で実現することはできない。ブランコ・グリュンバウムは、無理数で実現できるが有理数では実現できない構成はすべて少なくとも 9 つの点を持つと推測している。もしそうなら、パールズ構成は点と線の最小の無理数構成となるだろう。^[2]${\displaystyle 1+\varphi }$${\displaystyle \varphi}$

パールズはこの配置を使って、実座標では同様に実現できるが有理座標では実現できない12の頂点を持つ8次元凸多面体を構築した。配置の点のうち3つは2倍になっており、各点に符号が付けられており、パールズ多面体のゲール図を形成している。 ^[3]

エルンスト・シュタイニッツによるシュタイニッツの定理の証明は、あらゆる3次元多面体が有理座標で実現できることを示すために使用できますが、現在では4次元に無理多面体が存在することがわかっています。したがって、パールズ多面体は無理多面体の中で最小の次元を持つわけではありません。ただし、パールズ多面体は、既知の無理多面体の中で最も頂点数が少ないです。^[3]

パールズ配置は1960年代にミカ・パールズによって導入された。 ^[4]これは点と線の無理数配置の最初の例ではない。マック・レーン（1936）は、フォン・シュタウトのスロー代数を適用して2の平方根に対応する配置を構築することで得られた11点の例について説明している。^[5]

正則射影配置、つまり各点が同数の直線に接し、各直線が同数の点に接する有限の点と直線のシステムについては長い研究の歴史がある。しかし、これらの配置と似た名前が付けられているにもかかわらず、パールズ配置は正則ではない。ほとんどの点は3本の直線に接し、ほとんどの直線は3点に接しているが、4点の直線が1本あり、4本の直線上に1点がある。この点で、 9点と9本の直線があるが、各直線上に3点があり、各点を通る直線が3本あるパップス配置とは異なる。^[6]

• Berger, Marcel (2010)、「I.4 アフィン平面の 3 つの構成と、それらの構成に何が起こったか: Pappus、Desargues、および Perles」、Geometry revealed、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. 17–23、doi :10.1007/978-3-540-70997-8、ISBN 978-3-540-70996-1、MR  2724440
• グリュンバウム、ブランコ（2003）、凸多面体、Graduate Texts in Mathematics、第221巻（第2版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、pp. 93-95、ISBN 978-0-387-00424-2、MR  1976856
• マックレーン、サンダース（1936）、「射影幾何学の観点から見た抽象線形従属関係のいくつかの解釈」、アメリカ数学誌、58（1）：236–240、doi：10.2307/2371070、JSTOR  2371070、MR  1507146
• ジーグラー、ギュンター M. (2008)、「非有理構成、多面体、および表面」、数学インテリジェンサー、30 (3): 36–42、arXiv : 0710.4453、doi :10.1007/BF02985377、MR  2437198