トーンダイヤモンド

音楽理論や調律において、調性ダイヤモンドとは、重なり合う調性からなる比率を示すひし形の図であり、長調は一方の対角線に沿って、短調はもう一方の対角線に沿って配置される。

n-極限調性ダイヤモンド（ここでいう「極限」は奇数極限の意味で、素数極限ではない）は、有理数rの集合をダイヤモンド型に配置したものである。${\displaystyle 1\leq r<2}$rの分子と分母の両方の奇数部分を既約分数にすると、固定された奇数n以下になる。同様に、ダイヤモンドは音高クラスの集合と考えることができる。ここで、音高クラスとは、オクターブ等価性の下での音高の等価クラスのことである。調性ダイヤモンドは、n 極限の協和音の集合を構成するものとみなされることが多い。元々はMax Friedrich Meyerによって考案されたものだが、^{[ 1 ] [ 2 ]}調性ダイヤモンドは現在、 Harry Partchと最も関連付けられている（「純正律の多くの理論家は、調性ダイヤモンドを Partch の微分音理論への最大の貢献と考えている。」^{[ 3 ]}）。

パーチは、調性ダイヤモンドの要素を、(n+1) ^{2/4個のより小さな菱形に分割された}菱形の形状に配置しました。ここで、n は奇数の限界 (調性ダイヤモンドの音高クラスを定義する比率で使用される最大の奇数) です。ダイヤモンドの左上端に沿った菱形には、上数 (分子) が 1 から n までの奇数である比率が配置されています。それぞれの下数 (分母) は、2 の最小の整数乗で、${\displaystyle 1\leq r<2}$、 どこ${\displaystyle r}$は、その比率の値または商です。たとえば、1/1、3/2、5/4 です。次に、これらの比率は、これらのひし形内で昇順 (1/1、5/4、3/2) に並べ替えられます。左下端に沿ったひし形には、対応する逆数があり、下側の数は 1 から n までの奇数を含み、上側の数は 2 のべき乗をとります。${\displaystyle 1\leq r<2}$例えば、1/1 8/5 4/3。他のすべてのひし形には、左上と左下の対角線上の比率の積が配置され、それらも満たされる。${\displaystyle 1\leq r<2}$これは、多少の繰り返しはあるものの、調性ダイヤモンドのすべての要素を定義するものです。一方向に傾斜する対角線はオトナリティを形成し、反対方向に傾斜する対角線はユートナリティを形成します。パーチの楽器の一つであるダイヤモンド・マリンバは、調性ダイヤモンドに従って配置されています。

11制限

このダイヤモンドには6つの固有値（1、3、5、7、9、11）が含まれています。ハリー・パーチは11リミットの調性ダイヤモンドを使用しましたが、それを90度回転させました。

15人まで

このダイヤモンドには8つの識別子（1、3、5、7、9、11、13、15）が含まれています。

5 限界および 7 限界調性ダイヤモンドは、変調空間内で非常に規則的な幾何学を示し、ダイヤモンドの非ユニゾン要素はすべてユニゾンから 1 単位しか離れていないことを意味します。5 限界ダイヤモンドはユニゾンを囲む正六角形になり、7 限界ダイヤモンドはユニゾンを囲む立方八面体になります。3 進法から 8 進法ダイヤモンドまでの範囲のダイヤモンド格子のさらなる例は、各間隔に独自の方向が与えられるErv Wilsonによって実現されています。 ^{[ 5 ]}

トーンダイヤモンドの3つの特性と、それに含まれる比率：

1. 隣接する比率間のすべての比率は超粒子比率であり、分子と分母の差が 1 である。^{[ 6 ]}
2. 比較的数値の小さい比率は、数値の大きい比率よりも間隔が広い。^{[ 6 ]}
3. 比率間の比率を含めたシステムは、比率ではなくセントで測定した場合、オクターブ内で対称である。^{[ 6 ]}

例えば：

1. 6/5と5/4（および8/5と5/3）の比率は25/24です。​​​​​​
2. 比較的低い数値である4/3と3/2の比率の差は203.91セントであり、比較的高い数値である6/5と5/4の比率の差は70 ​​.67セントである。
3. 最低値と2番目に低い値の比率、最高値と2番目に高い値の比率は同じであり、以下同様である。

φ( n )がオイラーのトーシェント関数であり、nより小さくnと互いに素な正の整数の数、つまりnと共通因数を持たないnより小さい整数の数を表す関数であり、d(n)がn極限の音調ダイヤモンドの大きさを表す場合、次の式が得られます。

${\displaystyle d(n)=\sum _{m<n\ odd}\phi (m).}$

このことから、トーンダイヤモンドの成長率は漸近的に次のようになると結論付けられる。${\displaystyle {\frac {2}{\pi ^{2}}}n^{2}}$最初のいくつかの値が重要であり、ダイヤモンドのサイズが奇数リミットのサイズの二乗に比例して大きくなるという事実は、それがかなり早く大きくなることを示しています。5リミットダイヤモンドには7つのメンバーがあり、7リミットダイヤモンドには13、9リミットダイヤモンドには19、11リミットダイヤモンドには29、13リミットダイヤモンドには41、15リミットダイヤモンドには49のメンバーがあります。これらはほとんどの目的に十分です。

ユーリ・ランドマンは、パーチの調性ダイヤモンドと倍音列および弦の長さ（パーチがキタラスでも使用した）およびランドマンのムードスウィンガー楽器との関係を明確にするオトナリティとユートナリティの図を発表した。^{[ 7 ]}

パーチの比率では、上側の数字は振動する弦を等分割した数に対応し、下側の数字は弦の長さを何分割したかに対応します。例えば、5 / 4は弦を5等分し、下から4番目の部分の長さに短縮することで得られます。ランドマンの図では、これらの数字が反転し、周波数比が弦の長さ比に変換されます。

• ラティス（音楽）
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