フォッカー周期ブロック

フォッカー周期ブロックは、純正律の音程と等調律の音程を数学的に関連付けるために使用される調律理論の概念です。アドリアーン・ダニエル・フォッカーにちなんで名付けられました。これらは、アーヴ・ウィルソンが定数構造と呼ぶものの主なサブセットに含まれており 、「各音程は常に同じ数のステップで区切られます」。^[1]

フォッカーの周期性ブロックの基本的な考え方は、比率を格子上の点として表現し、コンマと呼ばれる非常に小さな間隔を表すベクトルを格子内で見つけることです。コンマで区切られたピッチを同等のものとして扱うと、格子が「折り畳まれ」、実質的にその次元が 1 つ減ります。数学的には、これはコンマによって生成されたサブ格子による元の格子の商群を見つけることに相当します。n次元格子の場合、n個の線形独立なコンマを識別すると、格子の次元が 0 に減ります。つまり、格子内のピッチの数は有限です。数学的には、その商は有限のアーベル群です。この 0 次元のピッチのセットが周期性ブロックです。多くの場合、これは巡回群を形成します。その場合、周期ブロックのm 個のピッチをm等しいチューニングと同一視すると、元の格子を定義した正確な比率の等しいチューニング近似値が得られます。

周期性ブロックを構築する際には、オクターブは通常無視されることに注意してください(一般に音階理論でそうであるように)。これは、チューニング システム内の任意のピッチに対して、そのピッチとオクターブ数だけ異なるすべてのピッチも原理的に使用可能であると想定されるためです。言い換えると、すべてのピッチと音程は、オクターブを法とする剰余として考えることができます。この簡略化は、一般にオクターブ等価性として知られています。

n次元空間に埋め込まれたn次元格子(つまり整数グリッド)の各ノードに数値が割り当てられ、格子内をいずれかの基本方向に移動すると、特定の間隔でピッチがシフトします。通常、nの範囲は 1 から 3 です。2 次元の場合、格子は正方格子です。3 次元の場合、格子は立方格子です。

このような格子の例は次のとおりです（x、y、z、wは整数です）。

• 1次元の場合、1ステップに対応する音程は、通常、比率が3/2の完全5度とされ、3極限の純正調律が定義されます。格子点は整数に対応し、位置xの点は、結果の値が1から2の範囲になるように選択された数yに対して、ピッチ値3 ^x /2 ^yでラベル付けされます。したがって、A (0) = 1であり、その周囲には値があります。

... 128/81、32/27、16/9、4/3、1、3/2、9/8、27/16、81/64、...

• 2次元の場合、5極限純正律に対応し、格子を定義する音程は完全5度と長3度で、比率は5/4です。これにより、位置( x , y )の点に値3 ^x 5 ^y 2 ^zがラベル付けされた正方格子が得られます。ここでも、結果の値が区間[1,2)内に入るような一意の整数がzとして選択されます。
• 3次元の場合も同様ですが、定義間隔の集合に調和7度を追加して、位置( x、y、z )の点に値3 ^x 5 ^y 7 ^z 2 ^wが付けられ、 wはこの値が間隔[1,2)に収まるように選択されます。

格子とそのラベル付けが決まったら、原点以外の格子のノードをn個選び、その値が 1 または 2 に近いものにします。原点からこれらの特別なノードのそれぞれへのベクトルは、ユニゾンベクトルと呼ばれます。これらのベクトルは、元の格子のサブ格子を定義します。サブ格子には、2 次元の場合はユニゾン ベクトルとそのシフトされたコピーで囲まれた平行四辺形、3 次元の場合は平行六面体である基本領域があります。これらの領域は、元の格子のモザイク状のタイルを形成します。

タイルの面積または体積は、ユニゾンベクトルの行列式の絶対値で与えられます。つまり、2次元の場合、ユニゾンベクトルがuとvで、2次元タイルの面積は ${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y})}$${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}$

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{matrix}}\right|=u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}.}$

各タイルはフォッカー周期ブロックと呼ばれます。各ブロックの面積は常に、各ブロックに含まれるノードの数に等しい自然数です。

例 1:完全五度(比率 3/2) と純正な長三度(比率 5/4)の 2 次元格子を取ります。コンマ 128/125 (ディエシス、純正な長三度 3 つが 1 オクターブに満たない距離、約 41セント) と 81/80 (シントニック コンマ、4 つの完全五度と純正な長三度との差、約 21.5 セント ) を選択します。結果は 12 個のブロックで、12 音平均律が 5限界の比率に近似していることがわかります。

例 2: ただし、ディエシスをユニゾン ベクトルとして拒否し、代わりに 5 つの長 3 度 (1 オクターブを引いたもの) と 4 度の間の差3125/3072 (約 30 セント) を選択した場合、結果は 19 のブロックになり、19-TET が5 制限の比率に近似する方法が示されます。

例 3: 完全五度、純正な長三度、純正な和声七度の 3 次元格子において、シントニック コンマ、七分音符のクライスマ(225/224、約 8 セント)、比率 1029/1024 (7 分音符の全音 3 つと完全五度の差、約 8.4 セント) を特定すると、31 のブロックが生成され、31-TETが7 限界の比率に近似していることが示されます。

周期ブロックは、最初の格子に重ね合わされた二次的な斜め格子を形成します。この格子は関数 φ で表すことができます。

${\displaystyle \phi _{B}(x,y):=(x_{0},y_{0})+(x,y){\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_ {x}&v_{y}\end{pmatrix}}}$

これは実際には線形結合です。

${\displaystyle \phi _{B}(x,y):=(x_{0},y_{0})+x\mathbf {u} +y\mathbf {v} }$

ここで、点 ( x ₀ , y ₀ ) は任意の点であるが、主格子のノードではないことが望ましく、また点 φ(0,1)、φ(1,0)、および φ(1,1) も任意のノードではないことが望ましい。

次に、周期ブロック内のプライマリノードのメンバーシップは、逆φ 関数を通じて解析的にテストできます。

${\displaystyle \phi _{B}^{-1}(x,y):=\left((x,y)-(x_{0},y_{0})\right){\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{pmatrix}}^{-1}}$

${\displaystyle ={\left((x,y)-(x_{0},y_{0})\right) \over u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}}{\begin{pmatrix}v_{y}&-u_{y}\\-v_{x}&u_{x}\end{pmatrix}}}$

させて

${\displaystyle \nu _{B}(x,y):=(\lfloor x\rfloor ,\lfloor y\rfloor ),}$

${\displaystyle \mu _{B}(x,y):=\nu _{B}(\phi _{B}^{-1}(x,y)),}$

ピッチB ( x , y )がスケールM _B に属する場合、 すなわち ${\displaystyle \mu _{B}(x,y)=\mu _{B}(0,0),}$

${\displaystyle M_{B}=\{B(x,y):\mu _{B}(x,y)=\mu _{B}(0,0)\}.}$

1次元の場合:

${\displaystyle \phi _{A}(x):=x_{0}+Lx}$

ここでLはユニゾンベクトルの長さであり、

${\displaystyle \phi _{A}^{-1}(x)={x-x_{0} \over L}}$

${\displaystyle \mu _{A}(x):=\left\lfloor {x-x_{0} \over L}\right\rfloor ,}$

${\displaystyle M_{A}=\{A(x):\mu _{A}(x)=\mu _{A}(0)\}.}$

3次元の場合、

${\displaystyle \phi _{C}(x,y,z):=(x_{0},y_{0},z_{0})+(x,y,z){\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\w_{x}&w_{y}&w_{z}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \phi _{C}^{-1}(x,y,z)={((x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})) \over \Delta }{\begin{pmatrix}v_{y}w_{z}-v_{z}w_{y}&u_{z}w_{y}-u_{y}w_{z}&u_{y}v_{z}-u_{z}v_{y}\\v_{z}w_{x}-v_{x}w_{z}&u_{x}w_{z}-u_{z}w_{x}&u_{z}v_{x}-u_{x}v_{z}\\v_{x}w_{y}-v_{y}w_{x}&u_{y}w_{x}-u_{x}w_{y}&u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}\end{pmatrix}}}$

ここで、はユニゾンベクトルの行列の行列式です。 ${\displaystyle \Delta =u_{x}v_{y}w_{z}+u_{y}v_{z}w_{x}+u_{z}v_{x}w_{y}-u_{x}v_{z}w_{y}-u_{y}v_{x}w_{z}-u_{z}v_{y}w_{x}}$

${\displaystyle \nu _{C}(x,y,z):=(\lfloor x\rfloor ,\lfloor y\rfloor ,\lfloor z\rfloor )}$

${\displaystyle \mu _{C}(x,y,z):=\nu _{C}(\phi _{C}^{-1}(x,y,z))}$

${\displaystyle M_{C}=\{C(x,y,z):\mu _{C}(x,y,z)=\mu _{C}(0,0,0)\}.}$

• フォッカー、AD (1969)、「音符の 3 次元 (3-5-7-) 調和格子におけるユニゾン ベクトルと周期性ブロック」、Proc. Koninklijke Nederlandsche Academy van Wetenschappen、B72 (3)。
• Paul Erlich、(1999)、「フォッカー周期ブロックへのやさしい入門: パート 1、パート 2」など。