基本約数

代数学において、主イデアル領域(PID)上のモジュールの基本因子は、主イデアル領域上の有限生成モジュールの構造定理の 1 つの形式で発生します。

がPIDで有限生成の- 加群である場合、M は次の形式の 有限直和に同型である。${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle M\cong R^{r}\oplus \bigoplus _{i=1}^{l}R/(q_{i})\qquad {\text{with }}r,l\geq 0}$、

ここで、 はゼロでない一次イデアルです。 ${\displaystyle (q_{i})}$

一次イデアルのリストは、順序まで一意です(ただし、特定のイデアルが複数回存在する場合があるため、リストは一次イデアルの多重集合を表します)。要素は関連性までのみ一意であり、基本因子と呼ばれます。PID では、非ゼロの一次イデアルは素イデアルの累乗であるため、基本因子は既約元の累乗として表すことができることに注意してください。非負の整数は、モジュール の自由階数またはベッティ数と呼ばれます。 ${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle q_{i}=p_{i}^{r_{i}}}$ ${\displaystyle r}$${\displaystyle M}$

モジュールは、その自由ランクrと、関連付けられた既約元pのクラスと各正の整数kについて、基本因子の中でp ^{k が}出現する回数を指定することにより、同型性まで決定されます。基本因子は、モジュールの不変因子のリストから、それぞれを可能な限り互いに素な（非単位）因子（既約元のべき乗）に分解することによって取得できます。この分解は、Rの中国剰余定理を使用して、不変因子に対応する各サブモジュールを最大限分解することに対応します。逆に、基本因子の多重集合M がわかっている場合は、次のように、最後の因子（他のすべての倍数）から始めて、不変因子を見つけることができます。Mに何らかのべき乗p ^{k が}発生する各既約元pについて、そのような最大のべき乗をMから削除し、すべての（関連付けられた） pについてこれらのべき乗を掛け合わせて、最終的な不変因子を求めます。Mが空でない限り、その前の不変因子を見つけるために繰り返します。

• 不変要因
• スミス正規形

• B. ハートレー、TO ホークス (1970)。環、モジュール、線形代数。チャップマンとホール。ISBN 0-412-09810-5。 第11章、182ページ。
• ラング、セルジュ（1993年）『代数学』 （第3版）第III章7ページ、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスレー、ISBN 978-0-201-55540-0、ZBL  0848.13001