アベル変換

数学において、アーベル変換^[1]は、ニールス・ヘンリク・アーベルにちなんで名付けられ、球対称または軸対称関数の解析でよく使用される積分変換です。関数f ( r )のアーベル変換は次のように表されます。

${\displaystyle F(y)=2\int _{y}^{\infty}{\frac {f(r)r}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}\,dr.}$

f ( r ) が 1/ rよりも速くゼロに落ちると仮定すると、逆アーベル変換は次のように表される。

${\displaystyle f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}\,{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.}$

画像解析では、順方向アーベル変換は光学的に薄い軸対称の放射関数を平面に投影するために使用され、逆方向アーベル変換は放射関数の投影（つまり、スキャンまたは写真）が与えられた場合に放射関数を計算するために使用されます。

円筒状の炎または煙の吸収分光法では、順方向アーベル変換は炎の中心から最短距離yの光線に沿った積分吸光度であり、逆方向アーベル変換は中心から距離rの局所吸収係数を与えます。アーベル変換は軸対称ジオメトリのアプリケーションに限定されます。より一般的な非対称ケースでは、代数再構成法(ART)、最尤期待値最大化 (MLEM)、フィルター逆投影 (FBP) アルゴリズムなどのより一般的な再構成アルゴリズムを使用する必要があります。

近年、逆アーベル変換（およびその変種）は、光フラグメントイオンイメージングおよび光電子イメージングにおけるデータ分析の基礎となっています。逆アーベル変換の最近の最も注目すべき拡張には、光電子および光イオン画像分析の「オニオンピーリング」法と「基底関数展開」（BASEX）法があります。

2次元では、アーベル変換F ( y )は、原点から距離yにある平行視線に沿った円対称関数f ( r )の投影として解釈できます。右の図を参照すると、観察者（I）は

${\displaystyle F(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)\,dx,}$

ここで、f ( r ) は図の灰色で表された円対称関数です。観測者は実際にはx  = ∞ にいると仮定し、積分限界は ±∞ で、すべての視線は x軸に平行です。半径 r はxとyとr ²  =  x ²  +  y ²の関係にあるため、次の式が 成り立ちます。

${\displaystyle dx={\frac {r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}}$

x > 0の場合、f ( r ) はxの偶関数なので、次のように書くことができます。

${\displaystyle F(y)=2\int _{0}^{\infty }f\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)\,dx=2\int _{|y|}^{\infty }f(r)\,{\frac {r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}},}$

これはf ( r ) のアーベル変換を与える。

^{アーベル変換は高次元に拡張することができ}ます。特に興味深いのは3次元への拡張です。軸対称関数f ( ρ ,  z ) ^（ρ2  =  x2  +  y2は円筒半径^{）がある場合、その関数の}z軸に平行な平面への投影を知りたい場合があります。一般性を失うことなく、その平面をyz平面と見なすことができます。

${\displaystyle F(y,z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\rho ,z)\,dx=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(\rho ,z)\rho \,d\rho }{\sqrt {\rho ^{2}-y^{2}}}},}$

これは単にf ( ρ ,  z )のρとyにおけるアーベル変換です。

軸対称性の特別なタイプは球対称性です。この場合、関数f ( r ) があり、ここでr ²  =  x ²  +  y ²  +  z ^{2です。たとえば、} yz平面への投影は円対称となり、F ( s ) として表すことができます。ここで、s ²  =  y ²  +  z ²です。積分を実行すると、次のようになります。

${\displaystyle F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }f(r)\,dx=2\int _{s}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-s^{2}}}},}$

これは再び、 rとsにおけるf ( r )のアーベル変換です。

が連続的に微分可能で、 がより速くゼロに落ちると仮定すると、とを 設定して部分積分すると、${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle 1/r}$${\displaystyle u=f(r)}$${\displaystyle v'=r/{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}$

${\displaystyle F(y)=-2\int _{y}^{\infty }f'(r){\sqrt {r^{2}-y^{2}}}\,dr.}$

正式に区別すると、

${\displaystyle F'(y)=2y\int _{y}^{\infty}{\frac {f'(r)}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}\,dr.}$

これを逆アーベル変換の式に代入します。

${\displaystyle -{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {F'(y)}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}\,dy=\int _{r}^{\infty }\int _{y}^{\infty }{\frac {-2y}{\pi {\sqrt {(y^{2}-r^{2})(s^{2}-y^{2})}}}}f'(s)\,dsdy.}$

フビニの定理により、最後の積分は

${\displaystyle \int _{r}^{\infty }\int _{r}^{s}{\frac {-2y}{\pi {\sqrt {(y^{2}-r^{2})(s^{2}-y^{2})}}\,dyf'(s)\,ds=\int _{r}^{\infty }(-1)f'(s)\,ds=f(r).}$

が で不連続で、その値が有限量 だけ急激に変化するケースを考えます。つまり、および はによって定義されます。このような状況は、垂直相分離を示す連結ポリマー (ポリマー ブラシ)で発生します。ここで、 はポリマー密度プロファイルを表し、 はポリマーの末端の非連結モノマーの空間分布に関連しています。 ${\displaystyle F(y)}$${\displaystyle y=y_{\Delta}}$${\displaystyle \デルタF}$${\displaystyle y_{\Delta}}$${\displaystyle \デルタF}$${\displaystyle \Delta F\equiv \lim _{\epsilon \rightarrow 0}[F(y_{\Delta }-\epsilon )-F(y_{\Delta }+\epsilon )]}$${\displaystyle F(y)}$${\displaystyle f(r)}$

このような状況下では、関数f ( r )のアーベル変換は次のように表される。

${\displaystyle F(y)=2\int _{y}^{\infty}{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.}$

f ( r ) が 1/ rよりも早くゼロに落ちると仮定すると、逆アーベル変換は次のように表される。

${\displaystyle f(r)=\left[{\frac {1}{2}}\delta (r-y_{\Delta }){\sqrt {1-(y_{\Delta }/r)^{2}}}-{\frac {1}{\pi }}{\frac {H(y_{\Delta }-r)}{\sqrt {y_{\Delta }^{2}-r^{2}}}}\right]\Delta F-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.}$

ここで、はディラックのデルタ関数、 はヘヴィサイドのステップ関数です。不連続 F のアーベル変換の拡張バージョンは、シフトされた連続 にアーベル変換を適用することで証明され、 のときは古典的なアーベル変換に簡約されます。に複数の不連続点がある場合、それらの不連続点のいずれかにシフトを導入して、 n 個の不連続点の 1 つに対応するn 個の追加項を含む逆アーベル変換の一般化バージョンを作成する必要があります。 ${\displaystyle \delta}$${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle F(y)}$${\displaystyle \Delta F=0}$${\displaystyle F(y)}$

アーベル変換は積分演算子のFHAサイクルの1つです。たとえば、2次元で、Aをアーベル変換演算子、Fをフーリエ変換演算子、Hを0次ハンケル変換演算子と定義すると、円対称関数の射影スライス定理の特別なケースは次のように述べます。

${\displaystyle FA=H.}$

言い換えれば、1 次元関数にアーベル変換を適用し、その結果にフーリエ変換を適用することは、その関数にハンケル変換を適用することと同じです。この概念は、より高い次元に拡張できます。

アーベル変換は、等方性 2D 関数f ( r ) のラドン変換として考えることができます。f ( r ) は等方性であるため、そのラドン変換は表示軸の異なる角度で同じです。したがって、アーベル変換は表示軸に沿った距離のみの関数です。

• GPS電波掩蔽

• Bracewell, R. (1965)。『フーリエ変換とその応用』ニューヨーク：McGraw-Hill。ISBN 0-07-007016-4。