総和可能性カーネル

数学において、総和可能性カーネルとは、以下に挙げる特定の特性セットを満たす周期的積分可能関数の族または列である。フェイエルカーネルなどの特定のカーネルは、フーリエ解析で特に有用である。総和可能性カーネルは恒等式の近似と関連しており、恒等式の近似の定義は様々であるが^[1]、恒等式の近似の定義は総和可能性カーネルの場合と同じであるとみなされることもある。

とする。総和可能性核とは、次を満たす における数列である。${\displaystyle \mathbb {T} :=\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle (k_{n})}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )}$

1. ${\displaystyle \int _{\mathbb {T} }k_{n}(t)\,dt=1}$
2. ${\displaystyle \int _{\mathbb {T} }|k_{n}(t)|\,dt\leq M}$（一様に境界がある）
3. ${\displaystyle \int _{\delta \leq |t|\leq {\frac {1}{2}}}|k_{n}(t)|\,dt\to 0}$として、すべての に対して。${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle \delta >0}$

すべての に対して、すなわち が正の総和可能性カーネルである場合、2 番目の要件は最初の要件から 自動的に従うことに注意してください。${\displaystyle k_{n}\geq 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (k_{n})}$

より一般的な慣例によれば、最初の方程式は となり、3番目の方程式の積分の上限は まで拡張されるので、上記の条件3は ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi}}\int _{\mathbb {T} }k_{n}(t)\,dt=1}$${\displaystyle \pi}$

${\displaystyle \int _{\delta \leq |t|\leq \pi }|k_{n}(t)|\,dt\to 0}$として、すべての に対して。 ${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle \delta >0}$

これは、質量が増加するにつれて原点の周囲に集中するという事実を表しています。 ${\displaystyle n}$

ではなくを考えることもできます。その場合、(1) と (2) は 上で積分され、(3) は 上で積分されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle |t|>\delta }$

• フェイエルカーネル
• ポアソンカーネル（連続インデックス）
• ランダウ核
• ディリクレカーネルは、2 番目の要件を満たしていないため、総和可能性カーネルではありません。

を総和可能性カーネルとし、畳み込み演算を表します。 ${\displaystyle (k_{n})}$${\displaystyle *}$

• ( 上の連続関数)ならば、において、すなわち一様で、 となります。フェイエル核の場合、これはフェイエルの定理として知られています。${\displaystyle (k_{n}),f\in {\mathcal {C}}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle k_{n}*f\to f}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle n\to \infty }$
• の場合、 ではのようになります。${\displaystyle (k_{n}),f\in L^{1}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle k_{n}*f\to f}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle n\to \infty }$
• が放射状に減少対称で の場合、点ごとに ae となり、 となります。これは、ハーディ・リトルウッド最大関数を使用します。 が放射状に減少対称ではないが、減少対称化がを満たす場合、同様の議論を使用して ae 収束が依然として成立します。${\displaystyle (k_{n})}$${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle k_{n}*f\to f}$ ${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle (k_{n})}$${\displaystyle {\widetilde {k}}_{n}(x):=\sup _{|y|\geq |x|}k_{n}(y)}$${\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\|{\widetilde {k}}_{n}\|_{1}$

• カツネルソン、イツハク（2004）『調和解析入門』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-54359-2