ポテンシャル理論のモデル問題 φが実数上の滑らかな実数値関数である場合、その 2階微分は次 のように近似できます。
d 2 φ （ x ） d x 2 = φ （ x − h ） − 2 φ （ x ） + φ （ x + h ） h 2 + O （ h 2 ） 。 {\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi (x)}{{dx}^{2}}}={\frac {\varphi (x{-}h)-2\varphi (x)+\varphi (x{+}h)}{h^{2}}}\,+\,{\mathcal {O}}(h^{2})\,.} これを2次元の関数φに対して点( x , y )で適用し、φ( x , y )を解くと、次の結果が得られます。
φ （ x 、 y ） = 1 4 （ φ （ x + h 、 y ） + φ （ x 、 y + h ） + φ （ x − h 、 y ） + φ （ x 、 y − h ） − h 2 ∇ 2 φ （ x 、 y ） ） + O （ h 4 ） 。 {\displaystyle \varphi (x,y)={\tfrac {1}{4}}\left(\varphi (x{+}h,y)+\varphi (x,y{+}h)+\varphi (x{-}h,y)+\varphi (x,y{-}h)\,-\,h^{2}{\nabla }^{2}\varphi (x,y)\right)\,+\,{\数学 {O}}(h^{4})\,.} ポアソン方程式の解を近似するには：
∇ 2 φ = f {\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =f\,} 2次元グリッド（グリッド間隔h） 上で数値的に、緩和法は境界付近のグリッド点に関数φの与えられた値を割り当て、内部のグリッド点には任意の値を割り当て、その後、 内部の点に対してφ := φ*の割り当てを繰り返し実行します。ここで、φ*は次のように定義されます。
φ * （ x 、 y ） = 1 4 （ φ （ x + h 、 y ） + φ （ x 、 y + h ） + φ （ x − h 、 y ） + φ （ x 、 y − h ） − h 2 f （ x 、 y ） ） 、 {\displaystyle \varphi ^{*}(x,y)={\tfrac {1}{4}}\left(\varphi (x{+}h,y)+\varphi (x,y{+}h)+\varphi (x{-}h,y)+\varphi (x,y{-}h)\,-\,h^{2}f(x,y)\right)\,,} 収束するまで。[ 2 ] [ 3 ]
この方法[ 2 ] [ 3 ]
収束と加速 この方法は一般的な条件下では収束するものの、競合する他の方法に比べて進行が遅いのが一般的である。それでもなお、緩和法の研究は線形代数 の中心的な部分であり続けている。なぜなら、緩和理論の変換は新しい方法のための優れた前処理 を提供するからである。実際、前処理の選択は反復法の選択よりも重要な場合が多い。[ 8 ]
マルチグリッド法は、 この手法を高速化するために使用できます。まず、より粗いグリッド（通常は2hの2倍の間隔） で近似値を計算し、その解と他のグリッド点の補間 値を初期値として使用できます。その後、より粗い計算に対してもこれを再帰的に実行できます。[ 8 ] [ 9 ]
注記 1 2 Ortega, JM; Rheinboldt, WC (2000).多変数非線形方程式の反復解法 . Classics in Applied Mathematics. Vol. 30 (1970 Academic Press 版の復刻版). Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). pp. xxvi+572. ISBN 0-89871-461-3 MR 1744713 . 1 2 3 4 Richard S. Varga 2002行列反復解析 、第 2 版 (1962 年 Prentice Hall 版)、Springer-Verlag。1 2 3 4 David M. Young, Jr. 『大規模線形システムの反復解法』 、Academic Press、1971年。（Dover社より2003年に復刻）1 2 アブラハム・バーマン、ロバート・J・プレモンズ 、『数学における非負行列』 、1994年、 SIAM。ISBN 0-89871-321-8 。 ↑ Murty, Katta G. (1983). "16 線形不等式および線形計画問題に対する反復法（特に 16.2 緩和法、および 16.4 線形計画問題に対するスパース性保存反復 SOR アルゴリズム）". 線形計画法 . ニューヨーク: John Wiley & Sons Inc. pp. 453–464 . ISBN 0-471-09725-X . MR 0720547 . ↑ Goffin, J.-L. (1980). "線形不等式系の解法のための緩和法". Mathematics of Operations Research . 5 (3): 388– 414. doi : 10.1287/moor.5.3.388 . JSTOR 3689446 . MR 0594854 . 1 2 Minoux, M. (1986). 数理計画法：理論とアルゴリズム 。Egon Balas (序文) (Steven Vajda 訳、フランス語 版 (1983 パリ: Dunod) より)。Chichester: A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Ltd. pp. xxviii+489. ISBN 0-471-90170-9 。MR 0868279。 (2008 第 2 版、フランス語: Programmation mathématique: Théorie et programminges . Editions Tec & Doc、パリ、2008. xxx+711 pp. . )。 1 2 Yousef Saad 、「疎線形システムのための反復法」 、第1版、PWS、1996年。↑ William L. Briggs、Van Emden Henson、および Steve F. McCormick (2000)、『 A Multigrid Tutorial』 （第 2 版）、フィラデルフィア：産業 応用 数学会 、 ISBN 0-89871-462-1 。
参考文献 アブラハム・バーマン、ロバート・J・プレモンズ、『数学における非負行列』 、1994年、SIAM。ISBN 0-89871-321-8 。 Ortega, JM; Rheinboldt, WC (2000).多変数非線形方程式の反復解法 . Classics in Applied Mathematics. Vol. 30 (1970 Academic Press 版の復刻版). Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). pp. xxvi+572. ISBN 0-89871-461-3 MR 1744713 . Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). 「第 18.3 節 緩和法」 . Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (第 3 版). ニューヨーク: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8 。 Yousef Saad 、『疎線形システムのための反復法』 、第1版、PWS、1996年。Richard S. Varga 2002行列反復解析 、第 2 版 (1962 年 Prentice Hall 版)、Springer-Verlag。デイビッド・M・ヤング・ジュニア著『 大規模線形システムの反復解法』 、アカデミック・プレス、1971年。（ドーバー社より2003年に復刻）
さらに読む Southwell, RV (1940)工学科学における緩和法 . オックスフォード大学出版局、オックスフォード。 Southwell, RV (1946)理論物理学における緩和法 . オックスフォード大学出版局、オックスフォード。 ジョン・D ・ジャクソン（1999）。古典電磁気学 。ニュージャージー：ワイリー。ISBN 0-471-30932-X 。MNO Sadiku (1992). Numerical Techniques in Electromagnetics . Boca Raton: CRC Pres. P.-B. Zhou (1993).電磁場の数値解析 . ニューヨーク: Springer. P. グリヴェ、P.W. ホークス、A. セプティエ (1972)。電子光学、第2版 。パーガモン・プレス。ISBN 9781483137858 。 DWO Heddle (2000).静電レンズシステム、第2版 。CRC Press。ISBN 9781420034394 。エルヴィン・カスパー（2001）。『イメージングと電子物理学の進歩』第116巻、荷電粒子光学のための数値場計算 。アカデミック・プレス。ISBN 978-0-12-014758-8 。 
