リスク中立的な対策

数理ファイナンスにおいて、リスク中立測度（均衡測度、または同等の マルチンゲール 測度とも呼ばれる）は、各株価がこの測度の下での株価の割引期待値と正確に等しい確率測度である。これは、資産価格設定の基本定理により金融デリバティブの価格設定で頻繁に使用される。この定理は、完全市場ではデリバティブの価格は唯一のリスク中立測度の下での将来のペイオフの割引期待値であることを意味する。 ^[1]このような測度は、市場に裁定取引がない場合にのみ存在する。

リスク中立尺度が何であるかを覚えておく、または金融についてあまり知らない確率一般論者にそれを説明する最も簡単な方法は、それが次のものであると認識することです。

1. 変換されたランダム変数の確率の尺度。通常、この変換はペイオフの効用関数です。リスク中立尺度は、線形効用によるペイオフの期待値に対応する尺度になります。
2. 暗黙の確率尺度、つまり、関連する金融商品の現在の観測可能/掲載/取引価格から暗示されるもの。関連するとは、検討中の確率空間内のイベントに因果関係でリンクしている金融商品（つまり、原資産価格とデリバティブ）を意味します。
3. これは、ペイオフの既知のモデルを想定し、ペイオフの線形（リスク中立）効用を使用して定義される暗黙の確率尺度（一種の逆問題を解く）です。つまり、現在の価格がリスク中立尺度の下での将来のペイオフの期待現在価値である方程式を解くことによって、リスク中立尺度を見つけようとします。固有のリスク中立尺度の概念は、固有のリスク中立尺度を作成する多数のデリバティブの価格設定を想像する場合に最も役立ちます。これは、仮想的な未取引価格にある種の一貫性を暗示し、ビッド/アスク価格が見える市場での裁定機会を理論的に示しているためです。

また、金融の入門的応用のほとんどでは、考慮されるペイオフは、ある最終時点または将来の時点での価格に関する知識に基づいて決定論的であることにも注目すべきです。これは、これらの手法を利用するために厳密に必要というわけではありません。

投資家は一般的に、より多くのリスクを負うことでより多くの利益を要求するため、資産の価格はリスクに大きく左右されます。したがって、明日実現するリスクの高い金額に対する請求の今日の価格は、通常、その期待値とは異なります。最も一般的なのは、投資家がリスクを回避し、今日の価格が期待値を下回り、リスクを負う人に報酬が支払われることです。

裁定機会のない完全な市場では、この計算を行う別の方法があることがわかりました。最初に期待値を取り、次に投資家のリスク選好に合わせて調整するのではなく、すべての投資家のリスクプレミアムを組み込むように将来の結果の確率を一度に調整し、次にこの新しい確率分布の下での期待値、つまりリスク中立測度を取ることができます。主な利点は、リスク中立確率が見つかったら、すべての資産は、期待されるペイオフの現在価値を取るだけで価格設定できるという事実から生じます。実際の現実世界の確率を使用した場合、すべての証券に異なる調整が必要になることに注意してください（リスクの程度が異なるため）。

裁定取引がないことは、リスク中立的な尺度が存在するために重要です。実際、資産価格設定の基本定理によれば、裁定取引がないという条件は、リスク中立的な尺度が存在することと同等です。市場の完全性も重要です。なぜなら、不完全な市場では、異なるリスク中立的な尺度に対応する資産の価格が多数存在するからです。市場の効率性は、価格が 1 つしかないことを意味する (「一物一価の法則」) とよく言われます。価格設定する正しいリスク中立的な尺度は、純粋に数学的な議論ではなく、経済的な議論を使用して選択する必要があります。

よくある間違いは、構築された確率分布と現実世界の確率を混同することです。現実世界では投資家がリスクプレミアムを要求するため、これらは異なりますが、リスク中立確率ではすべての資産の期待収益率、つまりリスクフリーレート（または短期レート）が同じであるため、そのようなプレミアムは組み込まれません。リスク中立価格設定の方法は、他の多くの便利な計算ツールと同様に、一見不自然であっても便利で強力であると見なされるべきです。

リスク資産、リスクフリー債券、および基礎となる確率空間の価格プロセスを表すd次元市場を仮定する。このとき、測度は等価（局所）マルチンゲール測度と呼ばれる。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle Q}$

1. ${\displaystyle Q\approx P}$つまり、は、​${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$
2. 過程は（局所）マルチンゲールである。^[2]${\displaystyle \left({\frac {S_{t}^{i}}{B_{t}}}\right)_{t}}$${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \forall \,i=1,\dots ,d}$

リスク中立的な尺度により、デリバティブの価値を数式で表すことが容易になります。将来のある時点でデリバティブ（たとえば、株式のコール オプション）が単位を支払うとします。ここで は市場を表す確率空間上のランダム変数です。さらに、現在（時刻 0）から時刻 までの割引率が であるとします。すると、デリバティブの今日の公正価値は次のようになります。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle H_{T}}$${\displaystyle H_{T}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle DF(0,T)}$

${\displaystyle H_{0}=DF(0,T)\operatorname {E} _{Q}(H_{T}).}$

ここで、方程式を解く任意のマルチンゲール 測度は リスク中立測度です。 ${\displaystyle Q}$

これを別の尺度Pで言い換えると、

${\displaystyle H_{0}=\operatorname {E} _{Q}\left(H_{0}\right)=\operatorname {E} _{P}\left({\frac {dQ}{dP}}H_{0}\right)={\frac {dQ}{dP}}H_{0}=DF(0,T)\operatorname {E} _{P}\left({\frac {dQ}{dP}}H_{T}\right)}$

ここで は のに関するラドン・ニコディム微分であり、したがって依然としてマルチンゲールである。^[3]${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$

金融市場にリスク中立的な尺度が 1 つだけ存在する場合、市場の各資産には裁定取引のない一意の価格が存在します。これが裁定取引のない価格設定の基本定理です。このような尺度が複数存在する場合、価格区間内で裁定取引は不可能になります。同等のマルチンゲール尺度が存在しない場合は、裁定取引の機会が存在します。

取引コストがあり、ニューメレールのない市場では、一貫した価格設定プロセスが同等のマルチンゲール測度の代わりとなります。実際、一貫した価格設定プロセスと同等のマルチンゲール測度の間には1 対 1 の関係があります。

確率空間 が与えられた場合、単一期間の二項モデルを考えます。初期株価を と表し、時刻 1 の株価を と表します。これは、株価が上昇した場合、または株価が下落した場合のいずれかの値をランダムに取ります。最後に、を無リスク金利 とします。これらの量は を満たす必要があります。そうでない場合、市場に裁定取引があり、エージェントは何も無いところから富を生み出すことができます。^[4]${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S^{u}}$${\displaystyle S^{d}}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle S^{d}\leq (1+r)S_{0}\leq S^{u}}$

の確率測度は、 と書ける場合、リスク中立と呼ばれます。 を解くと、株価上昇のリスク中立確率は、次の数で与えられることがわかります。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{*}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle S_{0}=\mathbb {E} _{\mathbb {P} ^{*}}(S_{1}/(1+r))}$${\displaystyle S_{0}(1+r)=\pi S^{u}+(1-\pi )S^{d}}$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi ={\frac {(1+r)S_{0}-S^{d}}{S^{u}-S^{d}}}.}$^[5]

株価が上昇したときと下落したときに利益が得られるデリバティブを考えると、デリバティブの価格設定は次のようにできる。 ${\displaystyle X^{u}}$${\displaystyle X^{d}}$

${\displaystyle X={\frac {\pi X^{u}+(1-\pi )X^{d}}{1+r}}.}$

経済が 2 つの資産、株式とリスクのない債券で構成され、ブラック・ショールズ・モデルを使用しているとします。このモデルでは、株価の変化は幾何ブラウン運動によって記述できます。

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}}$

ここで、は物理的測定に関する 標準的なブラウン運動である。定義すると${\displaystyle W_{t}}$

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}+{\frac {\mu -r}{\sigma }}t,}$

ギルサノフの定理は、ブラウン運動が 成り立つ測度が存在することを述べている。はリスクの市場価格として知られている。伊藤計算の規則を利用すると、非公式に について微分し、上記の式を整理してSDEを導くことができる。${\displaystyle Q}$${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}}$${\displaystyle {\frac {\mu -r}{\sigma }}}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle dW_{t}=d{\tilde {W}}_{t}-{\frac {\mu -r}{\sigma }}\,dt,}$

これを元の式に戻します。

${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,d{\tilde {W}}_{t}.}$

によって与えられる割引株価をとすると、伊藤の補題によりSDE が得られます。 ${\displaystyle {\tilde {S}}_{t}}$${\displaystyle {\tilde {S}}_{t}=e^{-rt}S_{t}}$

${\displaystyle d{\tilde {S}}_{t}=\sigma {\tilde {S}}_{t}\,d{\tilde {W}}_{t}.}$

${\displaystyle Q}$は、モデルに対する唯一のリスク中立尺度です。株式デリバティブの割引ペイオフプロセスは、の下でマルチンゲールです。SDE のドリフトは、リスクフリー金利であり、リスク中立性を意味することに注意してください。および は-マルチンゲールなので、マルチンゲール表現定理を適用して、複製戦略、つまり常に で利益を上げる株式と債券のポートフォリオを見つけることができます。 ${\displaystyle H_{t}=\operatorname {E} _{Q}(H_{T}|F_{t})}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\tilde {S}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle H_{t}}$${\displaystyle t\leq T}$

裁定取引のない市場でリスク中立的な尺度がどのように生じるのか、という疑問は当然生じます。何らかの形で、すべての資産の価格が確率尺度を決定します。1 つの説明は、Arrow セキュリティを利用することで得られます。簡単にするために、将来のタイム ホライズンが 1 つしかない離散的な (有限の) 世界を考えてみましょう。言い換えると、現在 (時刻 0) と将来 (時刻 1) があり、時刻 1 における世界の状態は有限の数の状態のうちの 1 つになります。状態nに対応する Arrow セキュリティ、A _nは、状態nの時刻 1 で $1 を支払い、世界の他のどの状態でも $0 を 支払うセキュリティです。

A _nの現在の価格はいくらでしょうか? 1 ドル獲得できる可能性があるので、価格はプラスでなければなりません。1 ドルが最大の利益であるため、価格は 1 ドル未満でなければなりません。したがって、各A _nの価格 ( A _n (0)と表記) は、厳密に 0 と 1 の間になります。

実際には、すべての証券価格の合計は 1 ドルの現在価値に等しくなければなりません。なぜなら、各 Arrow 証券で構成されるポートフォリオを保有すると、確実に 1 ドルの報酬が得られるからです。1 枚のチケットですべての参加費が当たる抽選を考えてみましょう。賞金が 1 ドルの場合、参加費はチケットの枚数で割った 1 になります。簡単にするために、金利を 0 と見なします。したがって、1 ドルの現在価値は 1 ドルです。

したがって、A _n (0)は確率分布の公理を満たします。それぞれが非負で、その合計は 1 です。これがリスク中立の尺度です。これで、宣伝どおりに機能することを示すことが残っています。つまり、この確率尺度に関する期待値を取ると、時刻 0 で適切な価格が得られます。

0 時点での価格がC(0)である証券C があるとします。将来、状態iでは、そのペイオフはC _iになります。各 Arrow 証券A _iのC _i量で構成されるポートフォリオPについて考えます。将来、状態iが何であれ、A _{i は}$1 を支払い、他の Arrow 証券は $0 を支払うため、P はC _iを支払います。言い換えると、ポートフォリオP は、将来何が起こるかに関係なく、Cのペイオフを複製します。裁定機会がないため、 PとCの価格は現在同じである必要があります。価格に差があれば、リスクなしで、より高い方を (空売り) して、より安い方を買い、差額を懐に入れることができるからです。将来、空売りした資産を返却する必要がありますが、購入した資産を売却することでその資金を正確に調達でき、当初の利益が残ります。

各 Arrow 証券の価格を確率と見なすことで、ポートフォリオ価格P(0)はリスク中立確率の下でのCの期待値であることがわかります。金利 R がゼロでない場合、価格を得るために期待値を適切に割り引く必要があります。特に、各 Arrow 証券で構成されるポートフォリオの現在価値は であるため、状態 i のリスク中立確率は各 Arrow 証券A _iの価格、つまりその先物価格の倍になります。 ${\displaystyle {\frac {1}{1+R}}}$${\displaystyle (1+R)}$

Arrow の証券は、実際には市場で取引される必要がないことに注意してください。ここで市場の完全性が重要になります。完全な市場では、すべての Arrow の証券は、実際の取引資産のポートフォリオを使用して複製できます。上記の議論は、各 Arrow の証券をポートフォリオとして考えた場合にも当てはまります。

ブラック・ショールズ・モデルやその一般化などのより現実的なモデルでは、Arrow 証券は、原資産が下限と上限の間にある場合に 1 ドル、それ以外の場合に 0 ドルを支払うダブルデジタルオプションのようなものになります。このようなオプションの価格は、スポット価格がその価格間隔内に収まる可能性に関する市場の見方をリスクプレミアムで調整して反映しており、これは 1 ステップの離散世界で上記の確率を取得した方法と完全に類似しています。

• 金融市場のブラウン運動モデル
• 条件付き請求分析
• 前進策
• 裁定取引のない価格設定の基本定理
• 一物一価の法則
• マーチンゲール法
• マーチンゲール（確率論）
• 数理ファイナンス
• 合理的な価格設定
• 最小エントロピーマルチンゲール測度

• ギジガー、ニコラス：リスク中立確率の説明
• タム、ジョセフ：リスク中立評価：やさしい入門、第 2 部