前進策

金融において、Tフォワード指標はリスク中立指標に対して絶対的に連続した価格設定指標であるが、金融市場を基準値として用いるのではなく、満期Tの債券を用いる。フォワード指標の使用はFarshid Jamshidian (1987)によって開拓され、後に債券オプションの価格を計算する手段として用いられた。^[1]

[ 2 ^]

${\displaystyle B(T)=\exp \left(\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)}$

銀行口座またはマネーマーケット口座の番号であり、

${\displaystyle D(T)=1/B(T)=\exp \left(-\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)}$

は、満期Tの時点0における市場における割引率である。 がリスク中立指標である場合、フォワード指標は、ラドン・ニコディム導関数によって 定義され、${\displaystyle Q_{*}}$${\displaystyle Q_{T}}$

${\displaystyle {\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {1}{B(T)E_{Q_{*}}[1/B(T)]}}={\frac {D(T)}{E_{Q_{*}}[D(T)]}}.}$

これは、金利が決定論的である場合、フォワード指標とリスク中立指標が一致することを意味していることに注意してください。また、これは、通貨市場または銀行口座B ( t )からT満期債券P ( t , T )への通貨変更の式の特定の形式です。確かに、一般に

${\displaystyle P(t,T)=E_{Q_{*}}\left[{\frac {B(t)}{B(T)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]=E_{Q_{*}}\left[{\frac {D(T)}{D(t)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]}$

は、 t時点での満期Tのゼロクーポン債の価格であり、t時点での市場情報を表すフィルタリングである場合、次のように書くことができる。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}$

${\displaystyle {\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {B(0)P(T,T)}{B(T)P(0,T)}}}$

ここから、フォワードT指標がT満期ゼロクーポン債のnumeraireとして関連付けられていることは明らかです。より詳細な議論については、BrigoとMercurio（2001）を参照してください。

「フォワード測度」という名前は、フォワード測度の下ではフォワード価格がマルチンゲールであるという事実に由来しており、この事実は Geman (1989) によって初めて観察されました (彼はこの測度の正式な定義を担当しました)。^[3] リスク中立測度の下ではマルチンゲールである先物価格と比較してください。金利が決定論的である場合、これはフォワード価格と先物価格が同じであることを意味することに注意してください。

たとえば、割引株価はリスク中立尺度の下ではマルチンゲールです。

${\displaystyle S(t)D(t)=E_{Q_{*}}[D(T)S(T)|{\mathcal {F}}(t)].\,}$

先物価格は で与えられる。したがって、${\displaystyle F_{S}(t,T)={\frac {S(t)}{P(t,T)}}}$${\displaystyle F_{S}(T,T)=S(T)}$

${\displaystyle F_{S}(t,T)={\frac {E_{Q_{*}}[D(T)S(T)|{\mathcal {F}}(t)]}{D(t)P(t,T)}}=E_{Q_{T}}[F_{S}(T,T)|{\mathcal {F}}(t)]{\frac {E_{Q_{*}}[D(T)|{\mathcal {F}}(t)]}{D(t)P(t,T)}}}$

ラドン・ニコディム導関数と等式 を使うと、最後の項は債券価格の定義により1に等しいので、 ${\displaystyle {\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}}$${\displaystyle F_{S}(T,T)=S(T)}$

${\displaystyle F_{S}(t,T)=E_{Q_{T}}[F_{S}(T,T)|{\mathcal {F}}(t)].\,}$

• Damiano Brigo、Fabio Mercurio (2001)。『金利モデル - 理論と実践』、Smile、Inflation and Credit (第2版、2006年)。Springer Verlag。ISBN 978-3-540-22149-4。

• リスク中立的な対策
• 先物価格