モチベーション 確率微分方程式が与えられたと仮定します。 d X t = μ t d t + σ t d B t 、 {\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t},} B t はウィーナー過程 であり、関数はμ t 、 σ t {\displaystyle \mu _{t},\sigma _{t}} X t {\displaystyle X_{t}} B t 。 {\displaystyle B_{t}.} X t = ∫ 0 t μ s d s + ∫ 0 t σ s d B s 。 {\displaystyle X_{t}=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\ dB_{s}.}
この式により、平均と分散を簡単に読み取ることができます。X t {\displaystyle X_{t}} d B t \displaystyle \mathrm {d} B_{t}} 期待値 はX t {\displaystyle X_{t}} E [ X t ] = ∫ 0 t μ s d s 。 {\displaystyle \mathrm {E} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds.}
同様に、d B {\displaystyle dB} X t {\displaystyle X_{t}} これは、ランダムウォーク における各微小ステップの分散の積分にすぎない。 V 1 r [ X t ] = ∫ 0 t σ s 2 d s 。 {\displaystyle \mathrm {Var} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\ ds.}
しかし、より複雑なプロセスに対して確率微分方程式に直面することもある。Y t 、 {\displaystyle Y_{t},} d Y t = 1 1 （ Y t 、 t ） d t + 1 2 （ Y t 、 t ） d B t 、 {\displaystyle dY_{t}=a_{1}(Y_{t},t)\ dt+a_{2}(Y_{t},t)\ dB_{t},} 1 1 {\displaystyle a_{1}} 1 2 。 {\displaystyle a_{2}.} Y t {\displaystyle Y_{t}} X t {\displaystyle X_{t}} f （ t 、 x ） 、 μ t 、 {\displaystyle f(t,x),\mu _{t},} σ t 、 {\displaystyle \sigma _{t},} Y t = f （ t 、 X t ） {\displaystyle Y_{t}=f(t,X_{t})} d X t = μ t d t + σ t d B t 。 {\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t}.}
導出 テイラー級数を展開し、確率微分法の規則を適用することにより、伊藤の補題を導出する。
仮定するX t {\displaystyle X_{t}} これは確率微分方程式 を満たす伊藤ドリフト拡散過程 である。
d X t = μ t d t + σ t d B t 、 {\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t},}
ここで、B t はウィーナー過程 である。
f ( t , x )が2回微分可能な スカラー関数である場合、テイラー級数 展開は次のようになります。
Δ f （ t ） d t d t = f （ t + d t 、 x ） − f （ t 、 x ） = ∂ f ∂ t d t + 1 2 ∂ 2 f ∂ t 2 （ d t ） 2 + ⋯ Δ f （ x ） d x d x = f （ t 、 x + d x ） − f （ t 、 x ） = ∂ f ∂ x d x + 1 2 ∂ 2 f ∂ x 2 （ d x ） 2 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta f(t)}{dt}}dt&=f(t+dt,x)-f(t,x)\\&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,(dt)^{2}+\cdots \\[1ex]{\frac {\Delta f(x)}{dx}}dx&=f(t,x+dx)-f(t,x)\\&={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\,(dx)^{2}+\cdots \end{aligned}}}
次に、全微分 と偏微分の定義を使用します。f y = リム d y → 0 Δ f （ y ） d y {\displaystyle f_{y}=\lim _{dy\to 0}{\frac {\Delta f(y)}{dy}}}
d f = f t d t + f x d x = リム d x → 0 d t → 0 ∂ f ∂ t d t + ∂ f ∂ x d x + 1 2 （ ∂ 2 f ∂ t 2 （ d t ） 2 + ∂ 2 f ∂ x 2 （ d x ） 2 ） + ⋯ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}df&=f_{t}dt+f_{x}dx\\[1ex]&=\lim _{dx\to 0 \atop dt\to 0}{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,(dt)^{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\,(dx)^{2}\right)+\cdots .\end{aligned}}}
代入x = X t {\displaystyle x=X_{t}} d x = d X t = μ t d t + σ t d B t {\displaystyle dx=dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t}}
d f = リム d B t → 0 d t → 0 ∂ f ∂ t d t + ∂ f ∂ x （ μ t d t + σ t d B t ） + 1 2 [ ∂ 2 f ∂ t 2 （ d t ） 2 + ∂ 2 f ∂ x 2 （ μ t 2 （ d t ） 2 + 2 μ t σ t d t d B t + σ t 2 （ d B t ） 2 ） ] + ⋯ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}df=\lim _{dB_{t}\to 0 \atop dt\to 0}\;&{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t}\right)\\&+{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,{\left(dt\right)}^{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\left(\mu _{t}^{2}\,{\left(dt\right)}^{2}+2\mu _{t}\sigma _{t}\,dt\,dB_{t}+\sigma _{t}^{2}\,{\left(dB_{t}\right)}^{2}\right)\right]+\cdots .\end{aligned}}}
極限ではd t → 0 {\displaystyle dt\to 0} （ d t ） 2 {\displaystyle (dt)^{2}} d t d B t {\displaystyle dt\,dB_{t}} d t {\displaystyle dt} （ d B t ） 2 {\displaystyle (dB_{t})^{2}} O （ d t ） {\displaystyle O(dt)} （ウィーナー過程 の二次変動 により、B t 2 = O （ t ） {\displaystyle B_{t}^{2}=O(t)} （ d t ） 2 、 d t d B t {\displaystyle (dt)^{2},dt\,dB_{t}} （ d x ） 3 {\displaystyle (dx)^{3}} d t {\displaystyle dt} （ d B t ） 2 {\displaystyle (dB_{t})^{2}} d t {\displaystyle dt}
d f = リム d t → 0 （ ∂ f ∂ t + μ t ∂ f ∂ x + σ t 2 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ） d t + σ t ∂ f ∂ x d B t {\displaystyle df=\lim _{dt\to 0}\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}}
必要に応じて。
あるいは、
d f = リム d t → 0 （ ∂ f ∂ t + σ t 2 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ） d t + ∂ f ∂ x d X t {\displaystyle df=\lim _{dt\to 0}\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dX_{t}}
幾何学的直観 いつX t + d t {\displaystyle X_{t+dt}} f （ X t + d t ） {\displaystyle f(X_{t+dt})} E [ f （ X t + d t ） ] {\displaystyle E[f(X_{t+dt})]} f （ E [ X t + d t ] ） {\displaystyle f(E[X_{t+dt}])} f 」 （ E [ X t + d t ] ） {\displaystyle f''(E[X_{t+dt}])} X t + d t {\displaystyle X_{t+dt}} 仮に、X t 、 X t + d t {\displaystyle X_{t},X_{t+dt}} f {\displaystyle f} 2階微分 を持つ場合、一般に、f （ X t ） 、 f （ X t + d t ） {\displaystyle f(X_{t}),f(X_{t+dt})} X t + d t ∣ X t {\displaystyle X_{t+dt}\mid X_{t}} f （ X t + d t ） ∣ f （ X t ） {\displaystyle f(X_{t+dt})\mid f(X_{t})} d t {\displaystyle dt} d t {\displaystyle dt}
重要な考え方はX t + d t = X t + μ t d t + d W t {\displaystyle X_{t+dt}=X_{t}+\mu _{t}\,dt+dW_{t}} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} イェンセンの不等式 による）。
貢献度の大きさを知るために、次のように書きます。X t + d t = X t + μ t d t + σ t d t z {\displaystyle X_{t+dt}=X_{t}+\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}{\sqrt {dt}}\,z} z {\displaystyle z} f （ X t + d t ） = f （ X t ） + f ′ （ X t ） μ t d t + f ′ （ X t ） σ t d t z + 1 2 f 」 （ X t ） （ σ t 2 z 2 d t + 2 μ t σ t z d t 3 / 2 + μ t 2 d t 2 ） + o （ d t ） = [ f （ X t ） + f ′ （ X t ） μ t d t + 1 2 f 」 （ X t ） σ t 2 d t + o （ d t ） ] + [ f ′ （ X t ） σ t d t z + 1 2 f 」 （ X t ） σ t 2 （ z 2 − 1 ） d t + o （ d t ） ] {\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t+dt})={}&f(X_{t})+f'(X_{t})\mu _{t}\,dt+f'(X_{t})\sigma _{t}{\sqrt {dt}}\,z\\[1ex]&+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})\left(\sigma _{t}^{2}z^{2}\,dt+2\mu _{t}\sigma _{t}z\,dt^{3/2}+\mu _{t}^{2}dt^{2}\right)+o(dt)\\[2ex]={}&\left[f(X_{t})+f'(X_{t})\mu _{t}\,dt+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt+o(dt)\right]\\[1ex]&+\left[f'(X_{t})\sigma _{t}{\sqrt {dt}}\,z+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}\left(z^{2}-1\right)\,dt+o(dt)\right]\end{aligned}}} d t → 0 {\displaystyle dt\to 0} f （ X t ） + f ′ （ X t ） μ t d t {\displaystyle f(X_{t})+f'(X_{t})\mu _{t}\,dt} 1 2 f 」 （ X t ） σ t 2 d t {\textstyle {\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt}
凸性による寄与が生じる理由を理解するために、幾何ブラウン運動（株式市場）の最も単純なケースを考えてみましょう。S t + d t = S t （ 1 + d B t ） {\displaystyle S_{t+dt}=S_{t}(1+dB_{t})} d （ ln S t ） = d B t {\displaystyle d(\ln S_{t})=dB_{t}} X t = ln S t {\displaystyle X_{t}=\ln S_{t}} S t = e X t {\displaystyle S_{t}=e^{X_{t}}} X t {\displaystyle X_{t}} X t {\displaystyle X_{t}} S t {\displaystyle S_{t}} X t {\displaystyle X_{t}} S t {\displaystyle S_{t}} 対数正規分布に 従います。
以下の節では、さまざまな種類の確率過程に対する伊藤の補題の様々なバージョンについて議論する。
最も単純な形で言えば、伊藤の補題は次のように述べている。伊藤ドリフト拡散過程の場合
d X t = μ t d t + σ t d B t {\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t}}
また、 2 つの実変数t x 微分可能な スカラー関数f ( t , x )では、
d f （ t 、 X t ） = （ ∂ f ∂ t + μ t ∂ f ∂ x + σ t 2 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ） d t + σ t ∂ f ∂ x d B t 。 {\displaystyle df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}.}
これは、f ( t , X t
高次元では、X t = （ X t 1 、 X t 2 、 … 、 X t n ） T {\displaystyle \mathbf {X} _{t}=(X_{t}^{1},X_{t}^{2},\ldots ,X_{t}^{n})^{T}}
d X t = μ t d t + G t d B t {\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}_{t}\,dt+\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}}
ベクトルの場合μ t {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{t}} G t {\displaystyle \mathbf {G} _{t}}
d f （ t 、 X t ） = ∂ f ∂ t d t + （ ∇ X f ） T d X t + 1 2 （ d X t ） T （ H X f ） d X t 、 = { ∂ f ∂ t + （ ∇ X f ） T μ t + 1 2 Tr [ G t T （ H X f ） G t ] } d t + （ ∇ X f ） T G t d B t {\displaystyle {\begin{aligned}df(t,\mathbf {X} _{t})&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}\left(d\mathbf {X} _{t}\right)^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\,d\mathbf {X} _{t},\\[4pt]&=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}}+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}{\boldsymbol {\mu }}_{t}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\mathbf {G} _{t}^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\mathbf {G} _{t}\right]\right\}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}\end{aligned}}}
どこ∇ X f {\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }f} f X 勾配 、H X f f X ヘッセ行列 、Trは トレース演算子 です。
ポアソンジャンプ過程 不連続な確率過程上の関数を定義することもできる。
h を ジャンプの強度とする。ジャンプのポアソン過程 モデルでは、区間[ t , t + Δ t ]における 1 つのジャンプの確率は h Δ t は 定数、時間の決定論的関数、または確率過程である可能性がある。生存確率p s ( t )は、区間[0, t ] においてジャンプが発生していない確率である。生存確率の変化は
d p s （ t ） = − p s （ t ） h （ t ） d t 、 {\displaystyle dp_{s}(t)=-p_{s}(t)h(t)\,dt,}
それで
p s （ t ） = exp （ − ∫ 0 t h （ u ） d u ） 。 {\displaystyle p_{s}(t)=\exp \left(-\int _{0}^{t}h(u)\,du\right).}
S ( t )S （ t − ） {\displaystyle S(t^{-})} t に左側から近づくときのS の値について、次のように記述します。d j S （ t ） {\displaystyle d_{j}S(t)} S ( t )
d j S （ t ） = リム Δ t → 0 [ S （ t + Δ t ） − S （ t − ） ] 。 {\displaystyle d_{j}S(t)=\lim _{\Delta t\to 0}\left[S(t+\Delta t)-S(t^{-})\right].}
z η （ S （ t − ） 、 z ） {\displaystyle \eta (S(t^{-}),z)} z 分布を とする。ジャンプの期待値は
E [ d j S （ t ） ] = h （ S （ t − ） ） d t ∫ z z η （ S （ t − ） 、 z ） d z 。 {\displaystyle \operatorname {E} [d_{j}S(t)]=h(S(t^{-}))\,dt\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz.}
次に、補償プロセスを定義します。 J S （ t ） {\displaystyle J_{S}(t)} S （ t ） {\displaystyle S(t)} S （ t ） {\displaystyle S(t)} J S （ t ） {\displaystyle J_{S}(t)} はマルチンゲール です。したがって、増加はJ S （ t ） {\displaystyle J_{S}(t)}
d J S （ t ） = d j S （ t ） − E [ d j S （ t ） ] = S （ t ） − S （ t − ） − （ h （ S （ t − ） ） ∫ z z η （ S （ t − ） 、 z ） d z ） d t 。 {\displaystyle {\begin{aligned}dJ_{S}(t)&=d_{j}S(t)-\operatorname {E} [d_{j}S(t)]\\[1ex]&=S(t)-S(t^{-})-\left(h(S(t^{-}))\int _{z}z\eta \left(S(t^{-}),z\right)\,dz\right)\,dt.\end{aligned}}}
それから
d j S （ t ） = E [ d j S （ t ） ] + d J S （ t ） = h （ S （ t − ） ） （ ∫ z z η （ S （ t − ） 、 z ） d z ） d t + d J S （ t ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}d_{j}S(t)&=E[d_{j}S(t)]+dJ_{S}(t)\\[1ex]&=h(S(t^{-}))\left(\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz\right)dt+dJ_{S}(t).\end{aligned}}}
関数を考えるg （ S （ t ） 、 t ） {\displaystyle g(S(t),t)} dS ( t )( t ) が Δsだけ ジャンプする場合、g ( t )は Δg だけジャンプします。Δgは 分布から抽出されます。 η g （ ） {\displaystyle \eta _{g}()} g （ t − ） {\displaystyle g(t^{-})} dg およびS （ t − ） {\displaystyle S(t^{-})} g {\displaystyle g}
g （ t ） − g （ t − ） = h （ t ） d t ∫ Δ g Δ g η g （ ⋅ ） d Δ g + d J g （ t ） 。 {\displaystyle g(t)-g(t^{-})=h(t)\,dt\int _{\Delta g}\,\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d\Delta g+dJ_{g}(t).}
もしS {\displaystyle S} g （ S （ t ） 、 t ） {\displaystyle g(S(t),t)}
d g （ t ） = （ ∂ g ∂ t + μ ∂ g ∂ S + σ 2 2 ∂ 2 g ∂ S 2 + h （ t ） ∫ Δ g （ Δ g η g （ ⋅ ） d Δ g ） ） d t + ∂ g ∂ S σ d W （ t ） + d J g （ t ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}dg(t)={}&\left({\frac {\partial g}{\partial t}}+\mu {\frac {\partial g}{\partial S}}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial S^{2}}}+h(t)\int _{\Delta g}\left(\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d{\Delta }g\right)\,\right)dt\\&+{\frac {\partial g}{\partial S}}\sigma \,dW(t)+dJ_{g}(t).\end{aligned}}}
ドリフト拡散過程とジャンプ過程 の和である過程に対する伊藤の補題は、それぞれの部分に対する伊藤の補題の和に等しい。
不連続セミマルチンゲール 伊藤の補題は、連続である必要のない一般的なd 次元半マルチンゲール にも適用できます。一般に、半マルチンゲールはcàdlag プロセスであり、伊藤の公式にジャンプ項を追加する必要があります。任意の cadlag プロセスY t に対して、 t の左極限はY t− Δ Y t = Y t − Y t− と書きます。すると、伊藤の補題は、X = ( X 1 , X 2 , ..., X d )がd 次元半マルチンゲールであり、 fが R d f ( X ) は半マルチンゲールであり、
f （ X t ） = f （ X 0 ） + ∑ 私 = 1 d ∫ 0 t f 私 （ X s − ） d X s 私 + 1 2 ∑ 私 、 j = 1 d ∫ 0 t f 私 、 j （ X s − ） d [ X 私 、 X j ] s + ∑ s ≤ t （ Δ f （ X s ） − ∑ 私 = 1 d f 私 （ X s − ） Δ X s 私 − 1 2 ∑ 私 、 j = 1 d f 私 、 j （ X s − ） Δ X s 私 Δ X s j ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t})=f(X_{0})&+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}(X_{s-})\,dX_{s}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^{i},X^{j}]_{s}\\&+\sum _{s\leq t}\left(\Delta f(X_{s})-\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}\,\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}}
これは、 X のジャンプを合計する最後の項によって連続セミマルチンゲールの公式と異なり、時刻t における右辺のジャンプがΔ f ( X t ) であることを保証します。
例
幾何ブラウン運動 プロセスSは、一定の変動性σ と一定のドリフトμを持つ 幾何ブラウン運動に従うとされ、それは 確率微分方程式を 満たす。d S t = σ S t d B t + μ S t d t {\displaystyle dS_{t}=\sigma S_{t}\,dB_{t}+\mu S_{t}\,dt} B f （ S t ） = ログ （ S t ） {\displaystyle f(S_{t})=\log(S_{t})}
d f = f ′ （ S t ） d S t + 1 2 f 」 （ S t ） （ d S t ） 2 = 1 S t d S t + 1 2 （ − S t − 2 ） （ S t 2 σ 2 d t ） = 1 S t （ σ S t d B t + μ S t d t ） − σ 2 2 d t = σ d B t + （ μ − σ 2 2 ） d t 。 {\displaystyle {\begin{aligned}df&=f'(S_{t})\,dS_{t}+{\frac {1}{2}}f''(S_{t})\,{\left(dS_{t}\right)}^{2}\\[4pt]&={\frac {1}{S_{t}}}\,dS_{t}+{\frac {1}{2}}\left(-S_{t}^{-2}\right)\left(S_{t}^{2}\sigma ^{2}\,dt\right)\\[4pt]&={\frac {1}{S_{t}}}\left(\sigma S_{t}\,dB_{t}+\mu S_{t}\,dt\right)-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,dt\\[4pt]&=\sigma \,dB_{t}+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)dt.\end{aligned}}}
したがって、
ログ （ S t ） = ログ （ S 0 ） + σ B t + （ μ − σ 2 2 ） t 、 {\displaystyle \log(S_{t})=\log(S_{0})+\sigma B_{t}+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t,}
指数化することで、 S
S t = S 0 exp （ σ B t + （ μ − σ 2 2 ） t ） 。 {\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\sigma B_{t}+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t\right).}
− σ 2 / 2 の補正項は、 対数 正規分布 の中央値と平均値の差、あるいはこの分布においては幾何平均と算術平均の差に相当し、中央値（幾何平均）の方が小さくなります。これはAM–GM 不等式によるもので、対数が凹関数（または上に凸関数）であることに対応します。したがって、この補正項は 凸性補正 として解釈できます。これは、年率リターンが 平均リターンよりも小さく、その差が分散に比例するという事実の微小版です。詳細については、対数正規分布の幾何モーメントを参照してください。
ブラック・ショールズの公式 の補助変数d 1 とd 2に は 現れ 、 これ は 伊藤 解釈 できる。
連続半マルチンゲールX のドレアン・デード指数関数 (または確率指数関数) は、初期条件Y₀ = 1の確率微分方程式 dY = Y dX 。f ( Y ) = log ( Y ) で伊藤の補題を適用すると、次
d ログ （ Y ） = 1 Y d Y − 1 2 Y 2 d [ Y ] = d X − 1 2 d [ X ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}d\log(Y)&={\frac {1}{Y}}\,dY-{\frac {1}{2Y^{2}}}\,d[Y]\\[6pt]&=dX-{\tfrac {1}{2}}\,d[X].\end{aligned}}}
指数関数を使うと解が得られる
Y t = exp （ X t − X 0 − 1 2 [ X ] t ） 。 {\displaystyle Y_{t}=\exp \left(X_{t}-X_{0}-{\tfrac {1}{2}}[X]_{t}\right).}
伊藤の補題は、オプション のブラック・ショールズ方程式 を導出するために使用できる。[ 3 ] dS = S ( σ dB + μ dt )で与えられる 幾何ブラウン運動に従うと仮定する。このとき、時刻 t におけるオプションの価値がf ( t , S t ) である場合、伊藤の補題は、
d f （ t 、 S t ） = （ ∂ f ∂ t + 1 2 （ S t σ ） 2 ∂ 2 f ∂ S 2 ） d t + ∂ f ∂ S d S t 。 {\displaystyle df(t,S_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left(S_{t}\sigma \right)^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS_{t}.}
∂f / ∂S dS という 株式 を 仮定 する と 、 ポートフォリオ の 価値 V を 満たし ます 。
d V t = r （ V t − ∂ f ∂ S S t ） d t + ∂ f ∂ S d S t 。 {\displaystyle dV_{t}=r\left(V_{t}-{\frac {\partial f}{\partial S}}S_{t}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS_{t}.}
この戦略は、 V = f ( t , S )
∂ f ∂ t + σ 2 S 2 2 ∂ 2 f ∂ S 2 + r S ∂ f ∂ S − r f = 0. {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\sigma ^{2}S^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial f}{\partial S}}-rf=0.}
させてX t {\displaystyle \mathbf {X} _{t}} d X t = d （ X t 1 X t 2 ） = （ μ t 1 μ t 2 ） d t + （ σ t 1 σ t 2 ） d B t {\displaystyle d\mathbf {X} _{t}=d{\begin{pmatrix}X_{t}^{1}\\X_{t}^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mu _{t}^{1}\\\mu _{t}^{2}\end{pmatrix}}dt+{\begin{pmatrix}\sigma _{t}^{1}\\\sigma _{t}^{2}\end{pmatrix}}\,dB_{t}}
すると、伊藤の補題の多次元形式を使って、次の式を見つけることができます。d （ X t 1 X t 2 ） {\displaystyle d(X_{t}^{1}X_{t}^{2})}
我々は持っていますμ t = （ μ t 1 μ t 2 ） {\displaystyle \mu _{t}={\begin{pmatrix}\mu _{t}^{1}\\\mu _{t}^{2}\end{pmatrix}}} G = （ σ t 1 σ t 2 ） {\displaystyle \mathbf {G} ={\begin{pmatrix}\sigma _{t}^{1}\\\sigma _{t}^{2}\end{pmatrix}}}
私たちは設定しましたf （ t 、 X t ） = X t 1 X t 2 {\displaystyle f(t,\mathbf {X} _{t})=X_{t}^{1}X_{t}^{2}} ∂ f ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=0} （ ∇ X f ） T = （ X t 2 X t 1 ） {\displaystyle (\nabla _{\mathbf {X} }f)^{T}={\begin{pmatrix}X_{t}^{2}&X_{t}^{1}\end{pmatrix}}} H X f = （ 0 1 1 0 ） {\displaystyle H_{\mathbf {X} }f={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}
これらの値を補題の多次元版に代入すると、次の式が得られます。
d （ X t 1 X t 2 ） = d f （ t 、 X t ） = 0 ⋅ d t + （ X t 2 X t 1 ） d X t + 1 2 （ d X t 1 d X t 2 ） （ 0 1 1 0 ） （ d X t 1 d X t 2 ） = X t 2 d X t 1 + X t 1 d X t 2 + d X t 1 d X t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}d(X_{t}^{1}X_{t}^{2})&=df(t,\mathbf {X} _{t})\\&=0\cdot dt+{\begin{pmatrix}X_{t}^{2}&X_{t}^{1}\end{pmatrix}}\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}dX_{t}^{1}&dX_{t}^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dX_{t}^{1}\\dX_{t}^{2}\end{pmatrix}}\\[1ex]&=X_{t}^{2}\,dX_{t}^{1}+X_{t}^{1}\,dX_{t}^{2}+dX_{t}^{1}\,dX_{t}^{2}\end{aligned}}}
これは、微分不可能な伊藤過程にライプニッツの積の法則を一般化したものである。
さらに、上記の多次元バージョンの第2形式を使用すると、
d （ X t 1 X t 2 ） = { 0 + （ X t 2 X t 1 ） （ μ t 1 μ t 2 ） + 1 2 Tr [ （ σ t 1 σ t 2 ） （ 0 1 1 0 ） （ σ t 1 σ t 2 ） ] } d t + （ X t 2 σ t 1 + X t 1 σ t 2 ） d B t = （ X t 2 μ t 1 + X t 1 μ t 2 + σ t 1 σ t 2 ） d t + （ X t 2 σ t 1 + X t 1 σ t 2 ） d B t {\displaystyle {\begin{aligned}d(X_{t}^{1}X_{t}^{2})&=\left\{0+{\begin{pmatrix}X_{t}^{2}&X_{t}^{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mu _{t}^{1}\\\mu _{t}^{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[{\begin{pmatrix}\sigma _{t}^{1}&\sigma _{t}^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{t}^{1}\\\sigma _{t}^{2}\end{pmatrix}}\right]\right\}dt\\[1ex]&\qquad +\left(X_{t}^{2}\sigma _{t}^{1}+X_{t}^{1}\sigma _{t}^{2}\right)dB_{t}\\[2ex]&=\left(X_{t}^{2}\mu _{t}^{1}+X_{t}^{1}\mu _{t}^{2}+\sigma _{t}^{1}\sigma _{t}^{2}\right)dt+\left(X_{t}^{2}\sigma _{t}^{1}+X_{t}^{1}\sigma _{t}^{2}\right)dB_{t}\end{aligned}}}
つまり、製品がX t 1 X t 2 {\displaystyle X_{t}^{1}X_{t}^{2}} それ自体が伊藤ドリフト拡散過程 である。
ラマ・コント とニコラス・ペルコフスキーは、伊藤の公式を有限のp 次変動を持つ関数に拡張し、p ≥ 2 {\displaystyle p\geq 2} [ 5 ]
有限の p 次変動を持つ連続関数 が与えられた場合
[ x ] p （ t ） = リム n → ∞ ∑ t k n ∈ D n （ x t k + 1 n − x t k n ） p 、 {\displaystyle [x]^{p}(t)=\lim _{n\to \infty }\sum _{t_{k}^{n}\in D_{n}}{\left(x_{t_{k+1}^{n}}-x_{t_{k}^{n}}\right)}^{p},}
ContとPerkowskiの変数変換式は、任意のf ∈ C p （ R d 、 R ） {\displaystyle f\in C^{p}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )}
f （ x t ） = f （ x 0 ） + ∫ 0 t ∇ p − 1 f （ x s − ） d x s + 1 p ! ∫ ] 0 、 t ] f p （ x s − ） d [ x ] s p {\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{t})={}&f(x_{0})+\int _{0}^{t}\nabla _{p-1}f(x_{s-})\,\mathrm {d} x_{s}+{\frac {1}{p!}}\int _{]0,t]}f^{p}(x_{s-})\,d[x]_{s}^{p}\end{aligned}}}
ここで、第一積分は、分割列に沿った補償された左リーマン和 の極限として定義される。D n {\displaystyle D_{n}}
∫ 0 t ∇ p − 1 f （ x s − ） d x s := ∑ t k n ∈ D n ∑ k = 1 p − 1 f k （ x t k n ） k ! （ x t k + 1 n − x t k n ） k 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{t}\nabla _{p-1}f(x_{s-})\,\mathrm {d} x_{s}:={}&\sum _{t_{k}^{n}\in D_{n}}\sum _{k=1}^{p-1}{\frac {f^{k}(x_{t_{k}^{n}})}{k!}}\left(x_{t_{k+1}^{n}}-x_{t_{k}^{n}}\right)^{k}.\end{aligned}}} p {\displaystyle p} [ 6 ]
無限次元空間への拡張もいくつか存在する（例えば Pardoux [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]
注記 ↑ Bru, Bernard; Yor, Marc (2002 年 1 月). 「ヴォルフガング・ドブリンの生涯と数学的遺産に関するコメント」。Finance and Stochastics . 6 (1): 3–47 . doi : 10.1007/s780-002-8399-0 . ↑ 伊藤清（1951） 「確率微分に関する公式について」 名古屋 数学雑誌 3 ： 55–65 . doi ： 10.1017 /S0027763000012216 . ↑ Malliaris, AG (1982). Stochastic Methods in Economics and Finance . New York: North-Holland. pp. 220–223 . ISBN 0-444-86201-3 。↑ フォルマー、ハンス (1981)。 「確率のない計算」 。 ストラスブールの確率セミナー 。 15 : 143–144 . ↑ Cont, R.; Perkowski, N. (2019). "任意の正則性を持つ連続パスのパスごとの積分と変数変換の公式". Transactions of the American Mathematical Society . 6 : 161–186 . arXiv : 1803.09269 . doi : 10.1090/btran/34 . ↑ Cont, Rama; Jin, Ruhong (2024). "Fractional Ito Calculus" . Transactions of the American Mathematical Society . 11 : 727– 761. doi : 10.1090/btran/185 . ↑ パドゥー、エティエンヌ (1974)。 「モノトーン型確率論の派生法」。 セミネール・ジャン・ルレー (3)。 ↑ ギョンギ、イシュトヴァーン;クリロフ、ニコライ・ウラディム・ウラジミロヴィッチ（1981年）。 「バナッハ空間における伊藤式」。 M.アラトでは。 D. ヴァーメス、D. AV バラクリシュナン (編)。 確率微分システム 。制御情報科学の講義ノート。 Vol. 36.シュプリンガー、ベルリン、ハイデルベルク。ページ 69–73 。 土井 : 10.1007/BFb0006409 。 ISBN 3-540-11038-0 。↑ Brzezniak, Zdzislaw; van Neerven, Jan MAM; Veraar, Mark C.; Weis, Lutz (2008). "UMD バナッハ空間における伊藤の公式とザカイ方程式の解の正則性". Journal of Differential Equations . 245 (1): 30– 58. arXiv : 0804.0302 . doi : 10.1016/j.jde.2008.03.026 .
参考文献 伊藤清 （1944）。確率積分。東京帝国学院紀要 20、519-524 。これは伊藤の公式に関する論文です。オンライン 伊藤清 （1951）。確率微分方程式について。アメリカ数学会紀要 4、1-51 。オンライン Bernt Øksendal (2000).確率微分方程式入門と応用、第5版、改訂第2 刷 。Springer。ISBN 3-540-63720-6 セクション4.1および4.2。Philip E Protter (2005).確率積分と微分 方程式 、第2版。Springer。ISBN 3-662-10061-4 セクション2.7。
外部リンク 導出、セイヤー・ワトキンス教授 非公式な証明、オプションチューター
![{\displaystyle \mathrm {E} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e53226b7178e001e4637aca15af9333ffc657b1)
![{\displaystyle \mathrm {Var} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\ ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89bbb1ad99a2a0e0b9e5a6ab3102ce4d7506699d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta f(t)}{dt}}dt&=f(t+dt,x)-f(t,x)\\&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,(dt)^{2}+\cdots \\[1ex]{\frac {\Delta f(x)}{dx}}dx&=f(t,x+dx)-f(t,x)\\&={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\,(dx)^{2}+\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b3a3cb40cf85a6b2d498e4ca8a398bffaa53504)
![{\displaystyle {\begin{aligned}df&=f_{t}dt+f_{x}dx\\[1ex]&=\lim _{dx\to 0 \atop dt\to 0}{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,(dt)^{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\,(dx)^{2}\right)+\cdots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/200202eaf9724fc43d3d38b4765c50feb066b672)
![{\displaystyle {\begin{aligned}df=\lim _{dB_{t}\to 0 \atop dt\to 0}\;&{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t}\right)\\&+{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,{\left(dt\right)}^{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\left(\mu _{t}^{2}\,{\left(dt\right)}^{2}+2\mu _{t}\sigma _{t}\,dt\,dB_{t}+\sigma _{t}^{2}\,{\left(dB_{t}\right)}^{2}\right)\right]+\cdots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8daeeb331b3dbc7dce2b59725ce0b5e9322fc34f)
![{\displaystyle E[f(X_{t+dt})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3847d540a61535c2453b66574c61361389ac302d)
![{\displaystyle f(E[X_{t+dt}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa1226c75ef2dbab8e442fca344fd4cf0502026)
![{\displaystyle f''(E[X_{t+dt}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d9dddbaa488acef1bf96b7fe890905d6beb5f92)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t+dt})={}&f(X_{t})+f'(X_{t})\mu _{t}\,dt+f'(X_{t})\sigma _{t}{\sqrt {dt}}\,z\\[1ex]&+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})\left(\sigma _{t}^{2}z^{2}\,dt+2\mu _{t}\sigma _{t}z\,dt^{3/2}+\mu _{t}^{2}dt^{2}\right)+o(dt)\\[2ex]={}&\left[f(X_{t})+f'(X_{t})\mu _{t}\,dt+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt+o(dt)\right]\\[1ex]&+\left[f'(X_{t})\sigma _{t}{\sqrt {dt}}\,z+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}\left(z^{2}-1\right)\,dt+o(dt)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0736abc4b3ed1e4035316a4da6eb1e4b1198d65f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}df(t,\mathbf {X} _{t})&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}\left(d\mathbf {X} _{t}\right)^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\,d\mathbf {X} _{t},\\[4pt]&=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}}+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}{\boldsymbol {\mu }}_{t}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\mathbf {G} _{t}^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\mathbf {G} _{t}\right]\right\}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9ff5de07176d12bde24e628b9ff26bf5fe27767)
![{\displaystyle d_{j}S(t)=\lim _{\Delta t\to 0}\left[S(t+\Delta t)-S(t^{-})\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/594fb486d0d57a2f15b76c4f0e4b93e5a01e96be)
![{\displaystyle \operatorname {E} [d_{j}S(t)]=h(S(t^{-}))\,dt\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aef833d528c13a5603b56aaee2228ddc1bba158)
![{\displaystyle {\begin{aligned}dJ_{S}(t)&=d_{j}S(t)-\operatorname {E} [d_{j}S(t)]\\[1ex]&=S(t)-S(t^{-})-\left(h(S(t^{-}))\int _{z}z\eta \left(S(t^{-}),z\right)\,dz\right)\,dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d32b66ac51f9406145633c534c8c8f329c5afda)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d_{j}S(t)&=E[d_{j}S(t)]+dJ_{S}(t)\\[1ex]&=h(S(t^{-}))\left(\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz\right)dt+dJ_{S}(t).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e272f461ecc5266c5390a48615f97289c76a0cce)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t})=f(X_{0})&+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}(X_{s-})\,dX_{s}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^{i},X^{j}]_{s}\\&+\sum _{s\leq t}\left(\Delta f(X_{s})-\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}\,\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d218c101238183a8c644c09aca9818f5856d92c4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}df&=f'(S_{t})\,dS_{t}+{\frac {1}{2}}f''(S_{t})\,{\left(dS_{t}\right)}^{2}\\[4pt]&={\frac {1}{S_{t}}}\,dS_{t}+{\frac {1}{2}}\left(-S_{t}^{-2}\right)\left(S_{t}^{2}\sigma ^{2}\,dt\right)\\[4pt]&={\frac {1}{S_{t}}}\left(\sigma S_{t}\,dB_{t}+\mu S_{t}\,dt\right)-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,dt\\[4pt]&=\sigma \,dB_{t}+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d38c89c6e9b1db3e456e924e45605e13521114f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\log(Y)&={\frac {1}{Y}}\,dY-{\frac {1}{2Y^{2}}}\,d[Y]\\[6pt]&=dX-{\tfrac {1}{2}}\,d[X].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b6e179c463c7572e04b7d86e6cfe4c290b156e)
![{\displaystyle Y_{t}=\exp \left(X_{t}-X_{0}-{\tfrac {1}{2}}[X]_{t}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b4dec2eba6dbc782b7c54f9604a090fbb54091b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d(X_{t}^{1}X_{t}^{2})&=df(t,\mathbf {X} _{t})\\&=0\cdot dt+{\begin{pmatrix}X_{t}^{2}&X_{t}^{1}\end{pmatrix}}\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}dX_{t}^{1}&dX_{t}^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dX_{t}^{1}\\dX_{t}^{2}\end{pmatrix}}\\[1ex]&=X_{t}^{2}\,dX_{t}^{1}+X_{t}^{1}\,dX_{t}^{2}+dX_{t}^{1}\,dX_{t}^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3423f1bd8438164d143ea1241f777a46ad6983e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d(X_{t}^{1}X_{t}^{2})&=\left\{0+{\begin{pmatrix}X_{t}^{2}&X_{t}^{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mu _{t}^{1}\\\mu _{t}^{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[{\begin{pmatrix}\sigma _{t}^{1}&\sigma _{t}^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{t}^{1}\\\sigma _{t}^{2}\end{pmatrix}}\right]\right\}dt\\[1ex]&\qquad +\left(X_{t}^{2}\sigma _{t}^{1}+X_{t}^{1}\sigma _{t}^{2}\right)dB_{t}\\[2ex]&=\left(X_{t}^{2}\mu _{t}^{1}+X_{t}^{1}\mu _{t}^{2}+\sigma _{t}^{1}\sigma _{t}^{2}\right)dt+\left(X_{t}^{2}\sigma _{t}^{1}+X_{t}^{1}\sigma _{t}^{2}\right)dB_{t}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61449059e5549a537f74522141e0e92b3fc46927)
![{\displaystyle x:[0,\infty ]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c769f1011d128589efa9cc27ee54194f7e61849f)
![{\displaystyle [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07548563c21e128890501e14eb7c80ee2d6fda4d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{t})=f(x_{0})&+\int _{0}^{t}f'(x_{s-})\,\mathrm {d} x_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{]0,t]}f''(x_{s-})\,d[x]_{s}\\&+\sum _{0\leq s\leq t}\left[f(x_{s})-f(x_{s-})-f'(x_{s-})\Delta x_{s}-{\frac {1}{2}}f''(x_{s-})(\Delta x_{s})^{2}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a89604b2587e5eed43138eb6c3313a7fb916b1d)
![{\displaystyle [0,t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d2d2fa44908c699e2b7b7b9e92befc8283f264)
=\lim _{n\to \infty }\sum _{t_{k}^{n}\in D_{n}}\left(x_{t_{k+1}^{n}}-x_{t_{k}^{n}}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaedde6dc5a8f25d2e6c5557b7295ca6a246d833)
![{\displaystyle [x]^{p}(t)=\lim _{n\to \infty }\sum _{t_{k}^{n}\in D_{n}}{\left(x_{t_{k+1}^{n}}-x_{t_{k}^{n}}\right)}^{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/551d9b86ef8ea44e797177e20f01a8801ce15497)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{t})={}&f(x_{0})+\int _{0}^{t}\nabla _{p-1}f(x_{s-})\,\mathrm {d} x_{s}+{\frac {1}{p!}}\int _{]0,t]}f^{p}(x_{s-})\,d[x]_{s}^{p}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a24511b22fc00ea71f3d933bf8aa47e23f229f)
