オーバーリング

ネーター環は、次の3つの同値な有限性条件を満たす。i) すべての昇順イデアル列は有限である、ii) すべての空でないイデアル族は最大元を持つ、iii) すべてのイデアルは有限基底を持つ。^{[ 3 ] : 199}

整域は、その整域のすべてのイデアルが素イデアルの有限積である場合に、デデキント整域と呼ばれる。^{[ 3 ]： 270}

環の制限次元とは、正則元を含むすべての素イデアルの階数の中で最大の階数のことである。 ^{[ 4 ]： 52}

指輪${\textstyle R}$すべてのリングが局所的に冪零フリーである場合${\textstyle R_{M}}$最大理想値${\textstyle M}$冪零元を含まないか、またはすべての非単位元が零因子である環である。^{[ 4 ]： 52}

アフィン環とは、体上の多項式環（有限生成代数）の準同型像のことである。^{[ 4 ] : 58}

デデキント リングのすべてのオーバーリングはデデキント リングです。^{[ 5 ] [ 6 ]}

非単位元がすべて零因子である環の直和のオーバーリングはすべてネーター環である。 ^{[ 4 ]： 53}

クルル1次元ネーター領域の全てのオーバーリングはネーター環である。 ^{[ 4 ]： 53}

これらの記述はネーター環に対して同等である。${\textstyle R}$完全閉鎖${\textstyle {\bar {R}}}$[ ^{4 ] : 57​}

• すべてのオーバーリング${\textstyle R}$はネーター環である。
• 各極大イデアルについて${\textstyle M}$の${\textstyle R}$、すべてのオーバーリング${\textstyle R_{M}}$はネーター環である。
• 指輪${\textstyle R}$局所的に冪零性を持ち、次元が1以下に制限されている。
• 指輪${\textstyle {\bar {R}}}$はネーター的であり、リング${\textstyle R}$次元が1以下に制限されています。
• すべてのオーバーリング${\textstyle {\bar {R}}}$完全に閉じている。

これらの記述はアフィン環に対して同等である${\textstyle R}$完全閉鎖${\textstyle {\bar {R}}}$[ ^{4 ] : 58​}

• 指輪${\textstyle R}$局所的に冪零性を持たない。
• 指輪${\textstyle {\bar {R}}}$有限である${\textstyle R}$-モジュール。
• 指輪${\textstyle {\bar {R}}}$ネーター的である。

完全閉環ローカルリング${\textstyle R}$は整域、または非単位元がすべて零因子である環である。^{[ 4 ]： 58}

ネーター整域は、ネーター環のすべてのオーバーリングが整閉環である場合、デデキント環である。^{[ 7 ]： 198}

ネーター整域がねじれ類群を持つデデキント環である場合、ネーター整域のすべてのオーバーリングは分数環である。^{[ 7 ]： 200}

コヒーレント環とは、各有限生成イデアルが有限表示可能な可換環のことである。^{[ 2 ]： 373} ネーター領域とプリューファー領域はコヒーレントである。^{[ 8 ]： 137}

ペア​${\textstyle (R,T)}$は、​${\textstyle T}$以上${\textstyle R}$[ ^{9 ]： 331​}

指輪${\textstyle S}$ペアの中間ドメインです${\textstyle (R,T)}$もし${\textstyle R}$はサブドメインです${\textstyle S}$そして${\textstyle S}$はサブドメインです${\textstyle T}$[ ^{9 ]： 331​}

ネーター環のクルル次元は、すべての上位環がコヒーレントである場合、1以下である。^{[ 2 ]： 373}

整数領域ペアの場合${\textstyle (R,T)}$、${\textstyle T}$はオーバーリングです${\textstyle R}$各中間積分領域が積分的に閉じている場合${\textstyle T}$[ ^{9 ] : 332 [ 10 ] : 175​}

の完全閉包${\textstyle R}$は、各真オーバーリングが Prüfer ドメインである場合に Prüfer ドメインです。${\textstyle R}$首尾一貫している。^{[ 8 ]： 137}

プリューファー領域とクルル1次元ネーター領域のオーバーリングは整合している。^{[ 8 ]： 138}

環は、すべてのオーバーリングが乗法集合を持つ局所化である場合にQR性質を持つ。 ^{[ 11 ] : 196} QR領域はプリューファー領域である。^{[ 11 ] : 196} ねじれピカール群を持つプリューファー領域はQR領域である。^{[ 11 ] : 196}有限生成イデアルのすべての根基が主イデアルによって生成される根基と等しい場合、 プリューファー領域はQR領域である。 ^{[ 12 ] : 500}

声明${\textstyle R}$Prüferドメインは以下と同等です：^{[ 13 ]： 56}

• 各オーバーリング${\textstyle R}$ は、​${\textstyle R}$、 そして${\textstyle R}$完全に閉じている。
• 各オーバーリング${\textstyle R}$ 分数の環の交差は${\textstyle R}$、 そして${\textstyle R}$完全に閉じている。
• 各オーバーリング${\textstyle R}$ は、の素イデアルの拡張である素イデアルを持つ${\textstyle R}$、 そして${\textstyle R}$完全に閉じている。
• 各オーバーリング${\textstyle R}$ の任意の素イデアル上に存在する素イデアルは最大で 1 つである。${\textstyle R}$、 そして${\textstyle R}$完全に閉じている
• 各オーバーリング${\textstyle R}$ 完全に閉じている。
• 各オーバーリング${\textstyle R}$ 首尾一貫している。

声明${\textstyle R}$Prüferドメインは以下と同等です：^{[ 1 ]： 167}

• 各オーバーリング$S$の${\textstyle R}$平らな​${\displaystyle S}$-モジュール。
• 各評価オーバーリング${\textstyle R}$分数の環である。

最小環準同型${\textstyle f}$は単射非全射準同型写像であり、準同型写像が${\textstyle f}$準同型写像の合成である${\textstyle g}$そして${\textstyle h}$それから${\textstyle g}$または${\textstyle h}$同型写像である。^{[ 14 ]： 461}

適切な最小限のリングエクステンション${\textstyle T}$サブリングの${\textstyle R}$リング包含の場合に発生します${\textstyle R}$の中へ${\textstyle T}$これは最小環準同型である。これは環ペアを意味する。${\textstyle (R,T)}$適切な中間環を持たない。^{[ 15 ]： 186}

最小限のオーバーリング${\textstyle T}$リングの${\textstyle R}$発生する場合${\textstyle T}$を含む${\textstyle R}$部分環として、そして環ペアとして${\textstyle (R,T)}$適切な中間環を持たない。^{[ 16 ]： 60}

理想のカプランスキー理想変換（ヘイズ変換、S変換）${\textstyle I}$積分領域に関して${\textstyle R}$分数フィールドのサブセットです${\textstyle Q(R)}$このサブセットには要素が含まれています${\textstyle x}$各要素について${\textstyle y}$理想の${\textstyle I}$正の整数が存在する${\textstyle n}$製品と共に${\textstyle x\cdot y^{n}}$積分領域に含まれる${\textstyle R}$[ ^{17 ] [ 16 ] : 60​}

ドメインの最小リング拡張から生成された任意のドメイン${\textstyle R}$はオーバーリングです${\textstyle R}$もし${\textstyle R}$はフィールドではありません。^{[ 17 ] [ 15 ]： 186}

分数の場${\textstyle R}$最小限のオーバーリングを含む${\textstyle T}$の${\textstyle R}$いつ${\textstyle R}$分野ではない。^{[ 16 ]： 60}

積分的に閉じた積分領域を仮定する${\textstyle R}$は体ではない。もし最小オーバーリングが整数領域のものであるならば${\textstyle R}$が存在する場合、この最小オーバーリングは、最大イデアルのカプランスキー変換として発生します。${\textstyle R}$[ ^{16 ] : 60​}