非一様有理Bスプライン

非一様有理基底スプライン( NURBS ) は、基底スプライン(B スプライン)を使用した数学モデルであり、曲線や面を表現するためにコンピュータ グラフィックスでよく使用されます。解析的形状 (一般的な数式で定義) とモデル化された形状の両方を処理するための優れた柔軟性と精度を提供します。これは、ポリゴン モデリングやデジタル スカルプティングとは対照的な、曲線モデリングの一種です。NURBS 曲線は、コンピュータ支援設計(CAD)、製造(CAM)、エンジニアリング(CAE)でよく使用されます。これらは、 IGES、STEP、ACIS、PHIGSなど、業界標準の多数の一部となっています。NURBS 面を作成および編集するためのツールは、さまざまな3D グラフィックス、レンダリング、^[1]、アニメーションソフトウェア パッケージにあります。

これらはコンピュータ プログラムによって効率的に処理でき、人間による操作も容易です。NURBS サーフェスは、3 次元空間のサーフェスにマッピングされる2 つのパラメータの関数です。サーフェスの形状は、制御点によって決まります。コンパクトな形式で、NURBS サーフェスは単純な幾何学的形状を表すことができます。複雑な有機的な形状の場合、T スプラインとサブディビジョン サーフェスの方が適しています。これは、NURBS サーフェスと比較して制御点の数が半分になるからです。

一般に、NURBS 曲線とサーフェスの編集は直感的で予測可能です。^[要出典]制御点は常に曲線またはサーフェスに直接接続されているか、ゴムバンドで接続されているかのように動作します。ユーザー インターフェイスの種類に応じて、NURBS 曲線とサーフェスの編集は、制御点 (ベジェ曲線に類似) を介して行うことも、スプライン モデリングや階層編集などの高レベルのツールを介して行うこともできます。

コンピュータが登場する前は、さまざまな製図用具を使って紙に手書きで設計図を描いていました。直線には定規、円にはコンパス、角度には分度器が使われていました。しかし、船首の 自由曲線など、多くの形状はこれらのツールでは描くことができませんでした。

このような曲線は製図板でフリーハンドで描くこともできるが、造船業者は手作業ではできない実物大の曲線を必要とすることが多かった。このような大きな図面は、スプラインと呼ばれる柔軟な木片を使って描かれた。スプラインは、鉛の「ダック」によって、あらかじめ決められたいくつかのポイントに固定された。「ダック」とは、スプラインが支えるくちばし状の突起にちなんで名付けられた。ダックの間では、スプライン素材の弾力性により、曲げエネルギーを最小限に抑える形状が木片に生じ、制約に適合する最も滑らかな形状が作成された。形状はダックを動かすことで調整できた。^{[2] [3]}

1946年、数学者たちはスプライン形状の研究を始め、スプライン曲線またはスプライン関数として知られる区分多項式を導き出しました。IJシェーンベルクは製図工が使用する機械的なスプラインに似ていることから、スプライン関数にその名前を付けました。^[4]

設計プロセスにコンピュータが導入されると、このようなスプラインの物理的特性が調査され、数学的な精度でモデル化して必要に応じて再現できるようになりました。先駆的な研究は、フランスでルノーのエンジニアであるピエール・ベジエとシトロエンの物理学者で数学者のポール・ド・カステルジョによって行われました。彼らはほぼ同時に研究を進めましたが、ベジエが研究結果を公表したため、ベジエ曲線は彼にちなんで名付けられ、カステルジョの名前は関連するアルゴリズムにのみ関連付けられています。

NURBS は当初、自動車会社の独自のCADパッケージでのみ使用されていました。その後、標準的なコンピュータ グラフィックス パッケージの一部になりました。

NURBS 曲線とサーフェスのリアルタイムのインタラクティブ レンダリングは、1989 年にSilicon Graphicsワークステーションで初めて商用化されました。1993 年には、ベルリン工科大学と協力する小さな新興企業 CAS Berlin によって、PC 向けの最初のインタラクティブ NURBS モデラーである NöRBS が開発されました。^{[引用が必要]}

構築中のサーフェス、たとえばモーター ヨットの船体は、通常、NURBS パッチ(または単にパッチ) と呼ばれる複数の NURBS サーフェスで構成されます。これらのサーフェス パッチは、境界が見えないように組み合わせる必要があります。これは、幾何学的連続性の概念によって数学的に表現されます。

さまざまなレベルの幾何学的連続性を作成および確立する NURBS の機能を活用する、より高レベルのツールが存在します。

• 位置の連続性(G ⁰ ) は、2 つの曲線またはサーフェスの終了位置が一致する場合に常に維持されます。曲線またはサーフェスが角度をつけて接する可能性があり、鋭い角またはエッジが生じ、ハイライトが途切れる原因になります。
• 接線方向の連続性 (G¹) では、曲線またはサーフェスの終端ベクトルが平行で同じ方向を向いている必要があり、鋭いエッジは除外されます。接線方向に連続するエッジに当たるハイライトは常に連続しており、自然に見えるため、このレベルの連続性で十分な場合がよくあります。
• 曲率連続性(G²) では、さらに、端点ベクトルの長さと長さの変化率が同じである必要があります。曲率連続エッジに当たるハイライトは変化を示さないため、2 つのサーフェスが 1 つのように見えます。これは視覚的に「完全に滑らか」であると認識できます。このレベルの連続性は、1 つの連続サーフェスを構成する多数の双 3 次パッチを必要とするモデルの作成に非常に役立ちます。

幾何学的連続性は、主に結果として得られるサーフェスの形状を指します。NURBS サーフェスは関数であるため、パラメータに関するサーフェスの導関数について議論することもできます。これは、パラメトリック連続性として知られています。特定の次数のパラメトリック連続性は、その次数の幾何学的連続性を意味します。

第 1 レベルおよび第 2 レベルのパラメトリック連続性 (C ⁰および C¹) は、実用上は位置および接線 (G ⁰および G¹) 連続性と同じです。ただし、第 3 レベルのパラメトリック連続性 (C²) は、パラメータ化も連続している点で曲率連続性と異なります。実際には、均一な B スプラインを使用すると、C² 連続性を実現するのが簡単になります。

^{C n}連続性の定義では、隣接する曲線/曲面 ( ) のn次導関数がジョイントで等しいことが必要です。^[5]曲線と曲面の (偏) 導関数は方向と大きさを持つベクトルであり、両方とも等しくなければならないことに注意してください。 ${\displaystyle d^{n}C(u)/du^{n}}$

ハイライトと反射により、完璧なスムージングが実現できます。これは、少なくとも G² 連続性を持つ NURBS サーフェスがなければ実現不可能です。この同じ原理は、サーフェス評価方法の 1 つとして使用され、白いストライプが反射するサーフェスのレイ トレースまたは反射マップイメージでは、サーフェスまたはサーフェス セットのわずかな偏差も表示されます。この方法は、自動車の試作から派生したもので、自動車のサーフェスへのネオン ライトの天井の反射の品質をチェックすることでサーフェスの品質を検査します。この方法は、「ゼブラ分析」とも呼ばれます。

NURBS曲線は、その次数、重み付けされた制御点のセット、およびノットベクトルによって定義されます。^[6] NURBS曲線とサーフェスは、Bスプラインとベジェ曲線とサーフェスの両方を一般化したものですが、主な違いは制御点の重み付けであり、これによりNURBS曲線は有理曲線になります。

(非有理 Bスプライン、つまり単純B スプラインは、有理 B スプラインの特殊なケース/サブセットであり、各制御点は同次座標ではなく通常の非同次座標 ['w' なし] です。^[7]これは、各制御点に重み "1" があることと同じです。有理B スプラインは、各制御点の 'w' を重みとして使用します。^[8] )

制御点の 2 次元グリッドを使用することで、平面パッチや球の断面を含む NURBS サーフェスを作成できます。これらは 2 つの変数 (通常はsとtまたはuとvと呼ばれます) でパラメータ化されます。これを任意の次元に拡張して NURBS マッピングを作成できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

NURBS 曲線とサーフェスは、次のようなさまざまな理由で役立ちます。

• 与えられた順序のNURBS集合はアフィン変換に対して不変である: ^[9]回転や平行移動などの操作は、制御点に適用することでNURBS曲線や曲面に適用できる。
• これらは、標準的な解析形状 (円錐曲線など) と自由形状の両方に対して 1 つの共通の数学的形式を提供します。
• さまざまな形状を設計できる柔軟性を提供します。
• より単純な方法と比較して、図形を保存する際のメモリ消費量が削減されます。
• これらは数値的に安定かつ正確なアルゴリズムによってかなり迅速に評価できます。

ここでは、NURBS は主に 1 次元 (曲線) で説明されていますが、2 次元 (サーフェス) またはそれ以上の次元に一般化することもできます。

NURBS 曲線の次数は、曲線上の任意の点に影響を与える近くの制御点の数を定義します。曲線は、曲線の次数より 1 少ない次数の多項式で数学的に表されます。したがって、2 次曲線 (線形多項式で表されます) は線形曲線、3 次曲線は 2 次曲線、4 次曲線は 3 次曲線と呼ばれます。制御点の数は、曲線の次数以上である必要があります。

実際には、3 次曲線が最もよく使用されます。5 次および 6 次曲線は、特に連続した高次導関数を取得する場合に便利な場合がありますが、高次の曲線は内部の数値的問題を引き起こし、不釣り合いに長い計算時間を必要とする傾向があるため、実際には使用されません。

制御点によって曲線の形状が決まります。^[10]通常、曲線の各点は、多数の制御点の加重合計をとることによって計算されます。各点の重みは、支配パラメータに応じて変化します。次数 d の曲線の場合、制御点の重みは、パラメータ空間の d+1 区間でのみ非ゼロになります。これらの区間内では、重みは次数 d の多項式関数 (基底関数) に従って変化します。区間の境界では、基底関数は滑らかにゼロになり、その滑らかさは多項式の次数によって決まります。

たとえば、次数 1 の基底関数は三角形関数です。これは 0 から 1 に上昇し、その後再び 0 に下降します。基底関数が上昇する間、前の制御点の基底関数は下降します。このように、曲線は 2 つの点の間を補間し、結果として得られる曲線は多角形になります。多角形は連続していますが、区間の境界、つまり節点で微分できません。次数が高い多項式には、それに応じて連続する導関数が多くなります。区間内では、基底関数の多項式の性質と構築の線形性により、曲線は完全に滑らかになるため、節点でのみ不連続性が生じることに注意してください。

多くのアプリケーションでは、単一の制御点がアクティブな間隔にのみ影響を与えるという事実は、ローカル サポートと呼ばれる非常に望ましい特性です。モデリングでは、これにより、サーフェスの一部を変更しながら、他の部分を変更せずに済みます。

制御点を追加すると、特定の曲線をより正確に近似できますが、有限の数の制御点では、特定のクラスの曲線しか正確に表現できません。NURBS 曲線では、各制御点にスカラー重みも設定できます。これにより、制御点の数を過度に増やすことなく、曲線の形状をより細かく制御できます。特に、円や楕円などの円錐曲線が、正確に表現できる曲線のセットに追加されます。NURBSの有理数という用語は、これらの重みを指します。

制御点には任意の次元を設定できます。1 次元の点は、パラメータのスカラー関数を定義するだけです。これらは通常、画像処理プログラムで明るさや色の曲線を調整するために使用されます。3 次元の制御点は 3D モデリングで頻繁に使用され、3D 空間内の位置を表す「点」という単語の日常的な意味で使用されます。多次元の点は、ロボット アームのさまざまな位置や回転の設定など、時間駆動の値のセットを制御するために使用される場合があります。NURBS サーフェスは、これを応用したものです。各制御「点」は、実際には曲線を定義する制御点の完全なベクトルです。これらの曲線は、次数と制御点の数を共有し、パラメータ空間の 1 つの次元にまたがります。これらの制御ベクトルをパラメータ空間の他の次元に補間すると、サーフェスを定義する連続した曲線のセットが得られます。

ノット ベクトルは、制御点が NURBS 曲線にどこでどのように影響するかを決定するパラメータ値のシーケンスです。ノットの数は、常に制御点の数と曲線の次数に 1 を加えた数 (つまり、制御点の数と曲線の次数) に等しくなります。ノット ベクトルは、パラメトリック空間を前述の間隔で分割します。この間隔は、通常、ノット スパンの 1 つと呼ばれます。パラメータ値が新しいノット スパンの 1 つに入るたびに、新しい制御点がアクティブになり、古い制御点は破棄されます。したがって、ノット ベクトルの値は非減少順である必要があるため、(0, 0, 1, 2, 3, 3) は有効ですが、(0, 0, 2, 1, 3, 3) は有効ではありません。

連続するノットは同じ値を持つことができます。この場合、長さがゼロのノット スパンが定義され、2 つの制御点が同時にアクティブになります (もちろん、2 つの制御点が非アクティブになります)。これは、結果として得られる曲線またはその高次の導関数の連続性に影響を与えます。たとえば、滑らかな NURBS 曲線に角を作成できます。一致するノットの数は、特定の多重度を持つノットと呼ばれることがあります。多重度が 2 または 3 のノットは、二重ノットまたは三重ノットと呼ばれます。ノットの多重度は、曲線の次数によって制限されます。多重度が高くなると、曲線がばらばらの部分に分割され、制御点が使用されないままになるためです。1 次 NURBS の場合、各ノットは制御点とペアになります。

ノット ベクトルは通常、次数と同じ多重度を持つノットで始まります。これは、最初のノット スパンに影響を与える制御点をアクティブにするため、理にかなっています。同様に、ノット ベクトルは通常、その多重度のノットで終わります。このようなノット ベクトルを持つ曲線は、制御点で始まり、制御点で終わります。

ノットの値は、入力パラメータと対応する NURBS 値の間のマッピングを制御します。たとえば、NURBS が時間の経過に伴う空間のパスを表す場合、ノットは関数が制御点を通過する時間を制御します。ただし、形状を表現する目的では、ノット値の差の比率のみが重要になります。その場合、ノット ベクトル (0, 0, 1, 2, 3, 3) と (0, 0, 2, 4, 6, 6) は同じ曲線を生成します。ノット値の位置は、パラメータ空間から曲線空間へのマッピングに影響します。NURBS 曲線のレンダリングは通常、パラメータ範囲を固定ストライドでステップ実行することによって行われます。ノット スパンの長さを変更することで、曲率が高い領域でより多くのサンプル ポイントを使用できます。もう 1 つの用途は、パラメータ値が何らかの物理的な意味を持つ状況です。たとえば、パラメータが時間で、曲線がロボット アームの動きを表す場合などです。ノットのスパンの長さは速度と加速度に変換されますが、ロボット アームやその環境への損傷を防ぐためには、これらを正しく計算することが重要です。マッピングのこの柔軟性は、 NURBS の「非均一」という語句が意味するものです。

ノットは内部計算にのみ必要なため、通常はモデリング ソフトウェアのユーザーにとって役に立ちません。そのため、多くのモデリング アプリケーションでは、ノットを編集できないか、表示すらできません。制御点の変化を調べることで、適切なノット ベクトルを確立することは通常可能です。NURBS ソフトウェアの最新バージョン ( Autodesk MayaやRhinoceros 3Dなど) では、ノットの位置を対話的に編集できますが、制御点の編集に比べると直感性が大幅に低下します。

NURBS曲線の構築に使用されるBスプライン基底関数は、通常 と表記され、 は- 番目の制御点に対応し、 は基底関数の次数に対応します。^[11]パラメータ依存性はしばしば省略されるため、 と書くことができます。 これらの基底関数の定義は で再帰的です。次数0の関数は区分定数関数です。これらは対応するノットスパンでは1で、それ以外の場所では0です。実質的に、は との線形補間です。後者の2つの関数はノットスパンではゼロ以外で、ノットスパンでは重なり合います。関数は次のように計算されます。 ${\displaystyle N_{i,n}(u)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N_{i,n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N_{i,0}}$ ${\displaystyle N_{i,n}}$${\displaystyle N_{i,n-1}}$${\displaystyle N_{i+1,n-1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle N_{i,n}}$

$${\displaystyle N_{i,n}=f_{i,n}N_{i,n-1}+g_{i+1,n}N_{i+1,n-1}}$$ ${\displaystyle f_{i}}$は、が非ゼロである区間では 0 から 1 へ線形に増加し、が非ゼロである区間では 1 から0 へ減少します。前述のように、は三角関数で、2 つのノット スパンにわたって非ゼロであり、最初のノット スパンでは 0 から 1 へ増加し、2 番目のノット スパンでは 0 へ減少します。より高次の基底関数は、対応するより多くのノット スパンにわたって非ゼロであり、それに応じて次数が高くなります。がパラメータで、が^番目のノットである場合、 関数およびをおよび と 書くことができます。関数およびは、対応する低次の基底関数が非ゼロである場合に正です。n に関する帰納法により、基底関数はおよびのすべての値に対して非負になります。これにより、基底関数の計算は数値的に安定します。 ${\displaystyle N_{i,n-1}}$${\displaystyle g_{i+1}}$${\displaystyle N_{i+1,n-1}}$${\displaystyle N_{i,1}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle f_{i,n}(u)={\frac {u-k_{i}}{k_{i+n}-k_{i}}}}$$$${\displaystyle g_{i,n}(u)=1-f_{i,n}(u)={\frac {k_{i+n}-u}{k_{i+n}-k_{i}}}}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$${\displaystyle u}$

再び帰納法によって、パラメータの特定の値に対する基底関数の合計が 1 であることが証明できます。これは、基底関数の 1 の分割特性として知られています。

図は、結び目{...、0、1、2、3、4、4.1、5.1、6.1、7.1、...}の線形基底関数と二次基底関数を示しています。

1 つのノット スパンは、他のノット スパンよりもかなり短くなっています。そのノット スパンでは、2 次基底関数のピークがより明確になり、ほぼ 1 に達します。逆に、隣接する基底関数はより速くゼロに低下します。幾何学的な解釈では、これは曲線が対応する制御点に近づくことを意味します。二重ノットの場合、ノット スパンの長さはゼロになり、ピークはちょうど 1 に達します。その時点で基底関数は微分できなくなります。隣接する制御点が同一線上にない場合、曲線は鋭角になります。

前の段落の基底関数の定義を用いると、NURBS曲線は次の形をとる： ^[11]${\displaystyle N_{i,n}}$ $${\displaystyle C(u)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {N_{i,n}(u)w_{i}}{\sum _{j=1}^{k }N_{j,n}(u)w_{j}}}\mathbf {P} _{i}={\frac {\sum _{i=1}^{k}{N_{i,n}(u)w_{i}\mathbf {P} _{i}}}{\sum _{i=1}^{k}{N_ {i,n}(u)w_{i}}}}}$$

ここで、は制御点の数であり、は対応する重みです。分母は、すべての重みが 1 の場合に 1 と評価される正規化係数です。これは、基底関数の 1 の分割特性からわかります。これは、 関数が 有理基底関数 と呼ばれる場合、 と表記するのが通例です。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {P} _{i}}$${\displaystyle w_{i}}$$${\displaystyle C(u)=\sum _{i=1}^{k}R_{i,n}(u)\mathbf {P} _{i}}$$$${\displaystyle R_{i,n}(u)={N_{i,n}(u)w_{i} \over \sum _{j=1}^{k}N_{j,n}(u)w_{j}}}$$

NURBS曲面は2つのNURBS曲線のテンソル積として得られ、2つの独立したパラメータと（それぞれインデックスと）を使用します。^[11]を 有理基底関数として 使用します 。${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$ $${\displaystyle S(u,v)=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{l}R_{i,j}(u,v)\mathbf {P} _{i,j}}$$$${\displaystyle R_{i,j}(u,v)={\frac {N_{i,n}(u)N_{j,m}(v)w_{i,j}}{\sum _{p=1}^{k}\sum _{q=1}^{l}N_{p,n}(u)N_{q,m}(v)w_{p,q}}}}$$

NURBS オブジェクトには、さまざまな変換を適用できます。たとえば、ある曲線が特定の次数と N 個の制御点を使用して定義されている場合、同じ曲線を同じ次数と N+1 個の制御点を使用して表現できます。このプロセスでは、いくつかの制御点の位置が変わり、ノット ベクトルにノットが挿入されます。これらの操作は、インタラクティブ デザインで広く使用されています。制御点を追加すると、曲線の形状は同じままになり、さらなる調整の開始点になります。これらの操作のいくつかについては、以下で説明します。^{[11] [12]}

用語が示すように、ノット挿入はノット ベクトルにノットを挿入します。曲線の次数が の場合、制御点は新しいものに置き換えられます。曲線の形状は変わりません。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$

ノットは、ノットの最大多重度まで複数回挿入できます。これはノットの改良と呼ばれることもあり、ノットの繰り返し挿入よりも効率的なアルゴリズムによって実現できます。

ノット除去は、ノット挿入の逆です。その目的は、よりコンパクトな表現を得るために、ノットとそれに関連する制御点を除去することです。もちろん、曲線の正確な形状を維持しながらこれが常に可能であるとは限りません。実際には、精度の許容値を使用して、ノットを除去できるかどうかが決定されます。このプロセスは、制御点が手動で追加された可能性のある対話型セッションの後、または単純な変換プロセスによって冗長な制御点が生じる別の表現から曲線をインポートした後にクリーンアップするために使用されます。

特定の次数の NURBS 曲線は、常に、より高い次数の NURBS 曲線で表すことができます。これは、個別の NURBS 曲線を組み合わせるときによく使用されます。たとえば、NURBS 曲線のセットの間を補間する NURBS サーフェスを作成するときや、隣接する曲線を統合するときなどです。このプロセスでは、異なる曲線を同じ次数 (通常は曲線セットの最大次数) にする必要があります。このプロセスは、次数高度化と呼ばれます。

微分幾何学で最も重要な特性は曲率 です。曲率は、局所的な特性 (エッジ、コーナーなど) と、1 次導関数と 2 次導関数の関係、つまり正確な曲線の形状を表します。導関数を決定したら、2 次導関数から弧長を計算したり近似したりするのは簡単です。これらの方程式を使用して曲率を直接計算できることは、多角形表現に対するパラメーター化された曲線の大きな利点です。 ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa ={\frac {|r'(t)\times r''(t)|}{|r'(t)|^{3}}}}$${\displaystyle \kappa =|r''(s_{o})|}$${\displaystyle \kappa}$

非有理スプラインやベジェ曲線は円に近似することはできますが、円を正確に表現することはできません。有理スプラインは、円を含む任意の円錐曲線を正確に表現できます。この表現は一意ではありませんが、1 つの可能性を以下に示します。

円は 2 次曲線であり、スプラインの次数は区分多項式セグメントの次数より 1 大きいため、次数は 3 です。ノット ベクトルは です。円は 4 つの 1/4 円で構成され、二重ノットで結ばれています。3 次 NURBS 曲線の二重ノットは通常、1 次導関数の連続性が失われますが、制御点は 1 次導関数が連続するように配置されています。実際、曲線はどこでも無限に微分可能であり、円を正確に表す場合はそうである必要があります。 ${\displaystyle \{0,0,0,\pi /2,\pi /2,\pi ,\pi ,3\pi /2,3\pi /2,2\pi ,2\pi ,2\pi \}\,}$

曲線は円を正確に表していますが、円の弧の長さで正確にパラメータ化されていません。つまり、たとえば、 の点はには存在しません(ただし、各四分の一円の開始点、中間点、終了点は除きます。これは、表現が対称的であるためです)。これは不可能です。円のx座標は の正確な有理多項式表現を提供しますが、これは不可能だからです。円は、パラメータが0 から に変化するにつれて 1 回転しますが、これは、ノット ベクトルが の倍数として任意に選択されたためにすぎません。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle (\sin(t),\cos(t))}$${\displaystyle \cos(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \pi /2}$

• スプライン
• ベジェ曲面
• ド・ブールのアルゴリズム
• 三角形メッシュ
• 点群
• 合理的な動き
• 等幾何学的解析

• 非専門家向けのNURBSのわかりやすい説明
• 非一様有理 B スプラインについて – NURBS
• TinySpline: さまざまな言語にバインディングされたオープンソースの C ライブラリ