合理的な動き

運動学では、剛体の運動は連続した変位の集合として定義されます。1 パラメータの運動は、ユークリッド 3 次元空間 ( E ³ ) 内の固定フレームに対する移動物体の連続的な変位として定義できます。この場合、変位は 1 つのパラメータ (ほとんどの場合、時間として識別されます) に依存します。

有理運動は、時間の有理関数（2 つの多項式関数の比）によって定義されます。有理運動は有理軌道を生成するため、既存のNURBS（非一様有理 B スプライン）ベースの業界標準CAD/CAMシステムとうまく統合されます。また、既存のコンピュータ支援幾何設計（CAGD）アルゴリズムの適用にも容易に適応できます。剛体運動の運動学と曲線および表面の NURBS 幾何を組み合わせることで、有理運動のコンピュータ支援設計の方法が開発されました。

モーション デザインのためのこれらの CAD 手法は、コンピュータ グラフィックスのアニメーション(キー フレーム補間)、ロボット工学における軌道計画(教示位置補間)、仮想現実における空間ナビゲーション、インタラクティブ補間によるコンピュータ支援によるモーションの幾何学的設計、CNCツール パス計画、メカニズム合成におけるタスク仕様などに応用されています。

コンピュータ支援幾何学設計 (CAGD) の原理をコンピュータ支援モーション設計の問題に適用する研究は数多く行われてきました。近年、有理ベジェ曲線と有理 B スプライン曲線に基づく曲線表現スキームを空間変位のデュアル クォータニオン表現^[1]と組み合わせることで、有理ベジェ曲線と B スプライン曲線のモーションが得られることが確立されています。Ge と Ravani は^{[2] [3]、運動学と CAGD の概念を組み合わせることで、空間モーションの幾何学的構成の新しいフレームワークを開発しました。彼らの研究は、}回転補間にクォータニオン^[5]の概念を使用したShoemake の独創的な論文^{[4]に基づいていました。このトピックに関する詳細な参考文献の一覧は[6]}と^[7]にあります。

単位双対四元数を と表します。同次双対四元数は、の四元数のペアとして表すことができます。これは、双対数代数 (ここでは)を使用して 展開することで得られます。 ${\displaystyle {\hat {\textbf {q}}}={\textbf {q}}+\varepsilon {\textbf {q}}^{0}}$${\displaystyle {\hat {\textbf {Q}}}={\textbf {Q}}+\varepsilon {\textbf {Q}}^{0}}$${\displaystyle {\textbf {Q}}=w{\textbf {q}},{\textbf {Q}}^{0}=w{\textbf {q}}^{0}+w^{0}{\textbf {q}}}$${\displaystyle {\hat {\textbf {Q}}}={\hat {w}}{\hat {\textbf {q}}}}$${\displaystyle {\hat {w}}=w+\varepsilon w^{0}}$

双対四元数と物体の点の同次座標に関して、四元数による変換方程式は次のように与えられる。 ${\displaystyle {\textbf {P}}:(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4})}$

${\displaystyle {\tilde {\textbf {P}}}={\textbf {Q}}{\textbf {P}}{\textbf {Q}}^{\ast }+P_{4}[({\textbf {Q}}^{0}){\textbf {Q}}^{\ast }-{\textbf {Q}}({\textbf {Q}}^{0})^{\ast }],}$ ここで、およびはそれぞれおよびの共役であり、およびは 変位後の点の同次座標を表す。^[7]${\displaystyle {\textbf {Q}}^{\ast }}$${\displaystyle ({\textbf {Q}}^{0})^{\ast }}$${\displaystyle {\textbf {Q}}}$${\displaystyle {\textbf {Q}}^{0}}$${\displaystyle {\チルダ {\textbf {P}}}}$

単位双対四元数と双対重みのセットがそれぞれ与えられた場合、以下は双対四元数の空間における有理ベジェ曲線を表します。 ${\displaystyle {\hat {\textbf {q}}}_{i},{\hat {w}}_{i};i=0...n}$

${\displaystyle {\hat {\textbf {Q}}}(t)=\sum \limits _{i=0}^{n}{B_{i}^{n}(t){\hat {\textbf {Q}}}_{i}}=\sum \limits _{i=0}^{n}{B_{i}^{n}(t){\hat {w}}_{i}{\hat {\textbf {q}}}_{i}}}$

ここで、はバーンスタイン多項式です。上記の式で与えられるベジェ双対四元数曲線は、次数の有理ベジェ運動を定義します。 ${\displaystyle B_{i}^{n}(t)}$${\displaystyle 2n}$

同様に、次数2 pのNURBSモーションを定義するBスプラインデュアルクォータニオン曲線は、次のように表されます。

${\displaystyle {\hat {\textbf {Q}}}(t)=\sum \limits _{i=0}^{n}{N_{i,p}(t){\hat {\textbf {Q}}}_{i}}=\sum \limits _{i=0}^{n}{N_{i,p}(t){\hat {w}}_{i}{\hat {\textbf {q}}}_{i}}}$

ここで、p次の B スプライン基底関数 です。${\displaystyle N_{i,p}(t)}$

有理ベジェ運動と有理 B スプライン運動を直交座標空間で表現するには、上記の 2 つの式のいずれかを点変換の式に代入します。以下では、有理ベジェ運動の場合を扱います。有理ベジェ運動を行う点の軌跡は、次のように表されます。 ${\displaystyle {\hat {\textbf {Q}}}(t)}$

${\displaystyle {\tilde {\textbf {P}}}^{2n}(t)=[H^{2n}(t)]{\textbf {P}},}$

${\displaystyle H^{2n}(t)]=\sum \limits _{k=0}^{2n}{B_{k}^{2n}(t)[H_{k}]},}$

ここで、は、直交座標空間における度の有理ベジェ運動の行列表現です 。次の行列 (ベジェ制御行列とも呼ばれます)は、運動の アフィン制御構造を定義します。${\displaystyle [H^{2n}(t)]}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle [H_{k}]}$

${\displaystyle [H_{k}]={\frac {1}{C_{k}^{2n}}}\sum \limits _{i+j=k}{C_{i}^{n}C_{j}^{n}w_{i}w_{j}[H_{ij}^{\ast }]},}$

どこ。 ${\displaystyle [H_{ij}^{\ast }]=[H_{i}^{+}][H_{j}^{-}]+[H_{j}^{-}][H_{i}^{0+}]-[H_{i}^{+}][H_{j}^{0-}]+(\alpha _{i}-\alpha _{j})[H_{j}^{-}][Q_{i}^{+}]}$

上記の式では、およびは 二項係数であり、は重量比であり、 ${\displaystyle C_{i}^{n}}$${\displaystyle C_{j}^{n}}$${\displaystyle \alpha _{i}=w_{i}^{0}/w_{i},\alpha _{j}=w_{j}^{0}/w_{j}}$

${\displaystyle [H_{j}^{-}]=\left[{\begin{array}{rrrr}q_{j,4}&-q_{j,3}&q_{j,2}&-q_{j,1}\\q_{j,3}&q_{j,4}&-q_{j,1}&-q_{j,2}\\-q_{j,2}&q_{j,1}&q_{j,4}&-q_{j,3}\\q_{j,1}&q_{j,2}&q_{j,3}&q_{j,4}\\\end{array}}\right],}$

${\displaystyle [Q_{i}^{+}]=\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&q_{i,1}\\0&0&0&q_{i,2}\\0&0&0&q_{i,3}\\0&0&0&q_{i,4}\\\end{array}}\right],}$

${\displaystyle [H_{i}^{0+}]=\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&q_{i,1}^{0}\\0&0&0&q_{i,2}^{0}\\0&0&0&q_{i,3}^{0}\\0&0&0&q_{i,4}^{0}\\\end{array}}\right],}$

${\displaystyle [H_{j}^{0-}]=\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&-q_{j,1}^{0}\\0&0&0&-q_{j,2}^{0}\\0&0&0&-q_{j,3}^{0}\\0&0&0&q_{j,4}^{0}\\\end{array}}\right],}$

${\displaystyle [H_{i}^{+}]=\left[{\begin{array}{rrrr}q_{i,4}&-q_{i,3}&q_{i,2}&q_{i,1}\\q_{i,3}&q_{i,4}&-q_{i,1}&q_{i,2}\\-q_{i,2}&q_{i,1}&q_{i,4}&q_{i,3}\\-q_{i,1}&-q_{i,2}&-q_{i,3}&q_{i,4}\\\end{array}}\right].}$

上記の行列では、 は実部の 4 つの要素であり、 は単位双対四元数の双対部の 4 つの要素です。 ${\displaystyle (q_{i,1},q_{i,2},q_{i,3},q_{i,4})}$${\displaystyle ({\textbf {q}}_{i})}$${\displaystyle (q_{i,1}^{0},q_{i,2}^{0},q_{i,3}^{0},q_{i,4}^{0})}$${\displaystyle ({\textbf {q}}_{i}^{0})}$${\displaystyle ({\hat {\textbf {q}}}_{i})}$

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