バイキュービック補間

数学において、双三次補間は、二次元規則グリッド上のデータ ポイントを補間するための三次スプライン補間(データ セットに三次補間を適用する方法)の拡張です。補間された表面 (つまり、イメージではなくカーネルの形状) は、双線形補間または最近傍補間によって取得された対応する表面よりも滑らかになります。双三次補間は、ラグランジュ多項式、三次スプライン、または三次畳み込みアルゴリズムを使用して実行できます。

画像処理では、速度が問題にならない場合、画像の再サンプリングで双線形補間や最近傍補間よりも双三次補間が選択されることが多いです。4ピクセル(2×2) のみを考慮する双線形補間とは対照的に、双三次補間では 16 ピクセル (4×4) を考慮します。双三次補間で再サンプリングされた画像は、選択された b 値と c 値に応じて、さまざまな補間アーティファクトが発生する可能性があります。

関数値と導関数、およびが単位正方形の 4つの角、、、およびで既知であると仮定します。補間された表面は次のように表すことができます。${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle f_{y}}$${\displaystyle f_{xy}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle (1,1)}$$${\displaystyle p(x,y)=\sum \limits _{i=0}^{3}\sum _{j=0}^{3}a_{ij}x^{i}y^{j}.}$$

補間問題は、16 個の係数を決定することから成ります。関数値と一致させると、次の 4 つの方程式が得られます。 ${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle p(x,y)}$

1. ${\displaystyle f(0,0)=p(0,0)=a_{00},}$
2. ${\displaystyle f(1,0)=p(1,0)=a_{00}+a_{10}+a_{20}+a_{30},}$
3. ${\displaystyle f(0,1)=p(0,1)=a_{00}+a_{01}+a_{02}+a_{03},}$
4. ${\displaystyle f(1,1)=p(1,1)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{3}\sum \limits _{j=0}^{3}a_{ij}.}$

同様に、および方向の導関数に対する 8 つの方程式: ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

1. ${\displaystyle f_{x}(0,0)=p_{x}(0,0)=a_{10},}$
2. ${\displaystyle f_{x}(1,0)=p_{x}(1,0)=a_{10}+2a_{20}+3a_{30},}$
3. ${\displaystyle f_{x}(0,1)=p_{x}(0,1)=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13},}$
4. ${\displaystyle f_{x}(1,1)=p_{x}(1,1)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=0}^{3}a_{ij}i,}$
5. ${\displaystyle f_{y}(0,0)=p_{y}(0,0)=a_{01},}$
6. ${\displaystyle f_{y}(1,0)=p_{y}(1,0)=a_{01}+a_{11}+a_{21}+a_{31},}$
7. ${\displaystyle f_{y}(0,1)=p_{y}(0,1)=a_{01}+2a_{02}+3a_{03},}$
8. ${\displaystyle f_{y}(1,1)=p_{y}(1,1)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}a_{ij}j.}$

混合偏微分に関する4つの方程式: ${\displaystyle xy}$

1. ${\displaystyle f_{xy}(0,0)=p_{xy}(0,0)=a_{11},}$
2. ${\displaystyle f_{xy}(1,0)=p_{xy}(1,0)=a_{11}+2a_{21}+3a_{31},}$
3. ${\displaystyle f_{xy}(0,1)=p_{xy}(0,1)=a_{11}+2a_{12}+3a_{13},}$
4. ${\displaystyle f_{xy}(1,1)=p_{xy}(1,1)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}a_{ij}ij.}$

上記の表現では、次の ID が使用されています。 $${\displaystyle p_{x}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=0}^{3}a_{ij}ix^{i-1}y^{j},}$$ $${\displaystyle p_{y}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}a_{ij}x^{i}jy^{j-1},}$$ $${\displaystyle p_{xy}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}a_{ij}ix^{i-1}jy^{j-1}.}$$

この手順により、連続的で連続的な導関数を持つ単位正方形上の表面が生成されます。任意のサイズの規則的なグリッド上の双三次補間は、そのような双三次表面をパッチでつなぎ合わせることで実現でき、境界上で導関数が一致することが保証されます。 ${\displaystyle p(x,y)}$ ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$

未知のパラメータをベクトルに グループ化し 、 上記の連立方程式を線形方程式の行列に再定式化することができます。 ${\displaystyle a_{ij}}$$${\displaystyle \alpha =\left[{\begin{smallmatrix}a_{00}&a_{10}&a_{20}&a_{30}&a_{01}&a_{11}&a_{21}&a_{31}&a_{02}&a_{12}&a_{22}&a_{32}&a_{03}&a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{smallmatrix}}\right]^{T}}$$$${\displaystyle x=\left[{\begin{smallmatrix}f(0,0)&f(1,0)&f(0,1)&f(1,1)&f_{x}(0,0)&f_{x}(1,0)&f_{x}(0,1)&f_{x}(1,1)&f_{y}(0,0)&f_{y}(1,0)&f_{y}(0,1)&f_{y}(1,1)&f_{xy}(0,0)&f_{xy}(1,0)&f_{xy}(0,1)&f_{xy}(1,1)\end{smallmatrix}}\right]^{T},}$$${\displaystyle A\alpha =x}$

行列を反転すると、より有用な線形方程式 が得られ、 これをすばやく簡単に計算できます。 ${\displaystyle A^{-1}x=\alpha }$$${\displaystyle A^{-1}=\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-3&3&0&0&-2&-1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\2&-2&0&0&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&-3&3&0&0&-2&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&2&-2&0&0&1&1&0&0\\-3&0&3&0&0&0&0&0&-2&0&-1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&-3&0&3&0&0&0&0&0&-2&0&-1&0\\9&-9&-9&9&6&3&-6&-3&6&-6&3&-3&4&2&2&1\\-6&6&6&-6&-3&-3&3&3&-4&4&-2&2&-2&-2&-1&-1\\2&0&-2&0&0&0&0&0&1&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&2&0&-2&0&0&0&0&0&1&0&1&0\\-6&6&6&-6&-4&-2&4&2&-3&3&-3&3&-2&-1&-2&-1\\4&-4&-4&4&2&2&-2&-2&2&-2&2&-2&1&1&1&1\end{array}}\end{smallmatrix}}\right],}$$${\displaystyle \alpha }$

16個の係数に対しては別の簡潔な行列形式がある。 または 、 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}f(0,0)&f(0,1)&f_{y}(0,0)&f_{y}(0,1)\\f(1,0)&f(1,1)&f_{y}(1,0)&f_{y}(1,1)\\f_{x}(0,0)&f_{x}(0,1)&f_{xy}(0,0)&f_{xy}(0,1)\\f_{x}(1,0)&f_{x}(1,1)&f_{xy}(1,0)&f_{xy}(1,1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\1&1&1&1\\0&1&0&0\\0&1&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&1\\0&1&0&2\\0&1&0&3\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\-3&3&-2&-1\\2&-2&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(0,0)&f(0,1)&f_{y}(0,0)&f_{y}(0,1)\\f(1,0)&f(1,1)&f_{y}(1,0)&f_{y}(1,1)\\f_{x}(0,0)&f_{x}(0,1)&f_{xy}(0,0)&f_{xy}(0,1)\\f_{x}(1,0)&f_{x}(1,1)&f_{xy}(1,0)&f_{xy}(1,1)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&-3&2\\0&0&3&-2\\0&1&-2&1\\0&0&-1&1\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle p(x,y)={\begin{bmatrix}1&x&x^{2}&x^{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\y\\y^{2}\\y^{3}\end{bmatrix}}.}$$

多くの場合、アプリケーションでは、単位正方形ではなく直線グリッド上のデータを使用して双三次補間が求められます。この場合、との恒等式はとなり 、 は点を含むセルの間隔であり、 についても同様です。この場合、係数を計算する最も実用的な方法は、 を として、 を前と同じように 解くことです 。次に、正規化された補間変数が として計算されます。 ここで、 と は、点 を囲むグリッド ポイントのと座標です。補間面は次のようになります。 ${\displaystyle p_{x},p_{y},}$${\displaystyle p_{xy}}$$${\displaystyle p_{x}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=0}^{3}{\frac {a_{ij}ix^{i-1}y^{j}}{\Delta x}},}$$ $${\displaystyle p_{y}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}{\frac {a_{ij}x^{i}jy^{j-1}}{\Delta y}},}$$ $${\displaystyle p_{xy}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}{\frac {a_{ij}ix^{i-1}jy^{j-1}}{\Delta x\Delta y}},}$$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \Delta y}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle x=\left[{\begin{smallmatrix}f(0,0)&f(1,0)&f(0,1)&f(1,1)&\Delta xf_{x}(0,0)&\Delta xf_{x}(1,0)&\Delta xf_{x}(0,1)&\Delta xf_{x}(1,1)&\Delta yf_{y}(0,0)&\Delta yf_{y}(1,0)&\Delta yf_{y}(0,1)&\Delta yf_{y}(1,1)&\Delta x\Delta yf_{xy}(0,0)&\Delta x\Delta yf_{xy}(1,0)&\Delta x\Delta yf_{xy}(0,1)&\Delta x\Delta yf_{xy}(1,1)\end{smallmatrix}}\right]^{T},}$$${\displaystyle \alpha =A^{-1}x}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {x}}&={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}},\\{\overline {y}}&={\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle x_{0},x_{1},y_{0},}$${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x,y)}$$${\displaystyle p(x,y)=\sum \limits _{i=0}^{3}\sum _{j=0}^{3}a_{ij}{\overline {x}}^{i}{\overline {y}}^{j}.}$$

導関数が不明な場合は、通常、有限差分などを使用して、単位正方形の角に隣接する点の関数値から近似されます。

この方法を使用して、単一の導関数、またはのいずれかを見つけるには、適切な軸の 2 つの周囲の点間の傾きを見つけます。たとえば、点の 1 つを計算するには、対象点の左側と右側の点について を見つけて、それらの傾きを計算します。 についても同様にします。 ${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle f_{y}}$${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle f_{y}}$

相互導関数 を求めるには、両方の軸で 1 つずつ導関数を取ります。たとえば、最初に 手順を使用して、ターゲット ポイントの上と下の点の導関数を求め、次にそれらの値 (通常のようにそれらの点の の値ではなく) に対して 手順を使用して、ターゲット ポイントの の値を取得します。 (または、逆方向に実行して、最初に と を計算し、次にそれらから と を計算することもできます。どちらも同じ結果になります。) ${\displaystyle f_{xy}}$${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f_{y}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{xy}(x,y)}$${\displaystyle f_{y}}$${\displaystyle f_{x}}$

データセットの端で周囲のポイントの一部が欠落している場合、欠落しているポイントはいくつかの方法で近似できます。単純で一般的な方法は、既存のポイントからターゲット ポイントまでの傾斜がそれ以上変化せずに続くと仮定し、これを使用して欠落しているポイントの仮想値を計算することです。

双三次スプライン補間では、各グリッド セルについて、上記の線形システムの解が必要です。 同様の特性を持つ補間は、両方の次元で次のカーネルを 使用した畳み込みを適用することで取得できます。 ここで、は通常、-0.5 または -0.75 に設定されます。すべての非ゼロの整数 に対しておよびであることに注意してください。 $${\displaystyle W(x)={\begin{cases}(a+2)|x|^{3}-(a+3)|x|^{2}+1&{\text{for }}|x|\leq 1,\\a|x|^{3}-5a|x|^{2}+8a|x|-4a&{\text{for }}1<|x|<2,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle W(0)=1}$${\displaystyle W(n)=0}$${\displaystyle n}$

このアプローチはキーズによって提案され、元の関数のサンプリング間隔に関して3次収束を生成することを示しました。^[1]${\displaystyle a=-0.5}$

一般的なケース に対して行列表記法を使用すると、方程式をよりわかりやすい方法で表現できます。1 次元の場合、 は 0 から 1 の 間です。1 次元の 3 次畳み込み補間には 4 つのサンプル ポイントが必要であることに注意してください。各照会に対して、2 つのサンプルがその左側に、2 つのサンプルがその右側に配置されます。これらのポイントは、このテキストでは -1 から 2 までインデックス付けされています。0 でインデックス付けされたポイントから照会ポイントまでの距離は、ここで で示されます。 ${\displaystyle a=-0.5}$$${\displaystyle p(t)={\tfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&t&t^{2}&t^{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&2&0&0\\-1&0&1&0\\2&-5&4&-1\\-1&3&-3&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f_{-1}\\f_{0}\\f_{1}\\f_{2}\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

2次元の場合、まず に1回適用し、次に に再度適用します。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle {\begin{aligned}b_{-1}&=p(t_{x},f_{(-1,-1)},f_{(0,-1)},f_{(1,-1)},f_{(2,-1)}),\\[1ex]b_{0}&=p(t_{x},f_{(-1,0)},f_{(0,0)},f_{(1,0)},f_{(2,0)}),\\[1ex]b_{1}&=p(t_{x},f_{(-1,1)},f_{(0,1)},f_{(1,1)},f_{(2,1)}),\\[1ex]b_{2}&=p(t_{x},f_{(-1,2)},f_{(0,2)},f_{(1,2)},f_{(2,2)}),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle p(x,y)=p(t_{y},b_{-1},b_{0},b_{1},b_{2}).}$$

バイキュービック アルゴリズムは、画像やビデオを表示用に拡大縮小するためによく使用されます (ビットマップの再サンプリングを参照)。一般的なバイリニアアルゴリズムよりも細かいディテールが保持されます。

ただし、カーネルの負のローブにより、オーバーシュート(ハロー) が発生します。これにより、クリッピングが発生する可能性があり、アーティファクト (リンギング アーティファクトも参照) になりますが、アキュータンス(見かけの鮮明度) が増加するため、望ましい場合があります。

• 空間アンチエイリアシング
• ベジェ曲面
• 双線形補間
• 3次エルミートスプライン、双3次スプラインの1次元版
• ランチョス再サンプリング
• 自然近傍補間
• シンクフィルタ
• スプライン補間
• 三次補間
• 方向性三次畳み込み補間

• 標高サンプルへの補間の適用
• 補間理論
• (双)三次補間の説明と Java/C++ 実装
• 双三次ラグランジュ補間の Excel ワークシート関数