モアレパターン

数学、物理学、芸術において、モアレ模様（英: / ˈ m w ɑː r eɪ / MWAH -ray、米: / m w ɑː ˈ r eɪ / mwah- RAY、^[1]仏: [mwaʁe] ^ⓘ）またはモアレ縞^[2]ある罫線模様ときに生成される大規模な干渉縞です。モアレ干渉縞が現れるためには、2つの模様が完全に同一ではなく、ずれていたり、回転していたり​​、わずかにピッチが異なっていたりする必要があります。

モアレ パターンはさまざまな状況で発生します。印刷では、印刷されたドットのパターンが画像に干渉することがあります。テレビやデジタル写真では、撮影対象の物体のパターンが光センサーの形状に干渉して、不要なアーティファクトが発生することがあります。また、モアレ パターンは意図的に作成されることもあります。マイクロメータでは、非常に小さな動きの影響を増幅するために使用されます。

物理学においては、二重スリット実験で見られるような波の干渉や音響学におけるビート現象として現れます。

この用語は、モアレ(フランス語の形容詞moiré ) に由来しています。モアレは、伝統的には絹で作られていましたが、現在では綿や合成繊維で作られることもあり、波打った、または「水っぽい」外観を持つ織物の一種です。モアレ、または「水っぽい織物」は、濡れた織物の 2 つの層をプレスすることによって作られます。糸の間隔は似てはいるものの不完全であるため、布地が乾燥した後も残る特徴的な模様が生まれます。

フランス語では、名詞moireは 17 世紀から「水通ししたシルク」という意味で使用されています。これは英語のmohair (1610 年確認) からの借用語です。フランス語では、この名詞は 18 世紀までに「織りまたはプレスによって水通しした織物を作る」という意味の動詞moirerを生み出しました 。この動詞から形成された形容詞moiré は、少なくとも 1823 年から使用されています。

モアレパターンは、例えばハーフトーン画像をスキャンしたり、市松模様の平面をレイトレーシングしたりするときに、さまざまなデジタルイメージングやコンピュータグラフィックス技術によって生成される画像のアーティファクトであることが多い（後者は、細かい規則的なパターンをアンダーサンプリングすることによるエイリアシングの特殊なケースである）。 ^{[3]これは、}ミップマッピングと異方性フィルタリング を使用することで、テクスチャマッピングで克服できます。

右上の絵はモアレ模様です。線はモアレ模様の絹の繊維、または紙やコンピュータ画面に描かれた線を表しています。線の光学的パターンの非線形相互作用により、線に重ねられたモアレ模様という、ほぼ平行な暗い帯と明るい帯の実際の目に見えるパターンが生まれます。^[4]

モアレ効果は、重なり合った透明物体の間でも発生します。^[5]たとえば、目に見えない位相マスクは、波状の厚さプロファイルを持つ透明ポリマーで作られています。光が同様の位相パターンの 2 つの重ね合わせたマスクを通過すると、少し離れたスクリーンに幅広いモアレパターンが発生します。この位相モアレ効果と不透明な線による古典的なモアレ効果は、光学における連続スペクトルの両端であり、ユニバーサルモアレ効果と呼ばれています。位相モアレ効果は、X 線や粒子波のアプリケーションにおける一種の広帯域干渉計の基礎となっています。また、目に見えない層に隠れたパターンを明らかにする方法も提供します。

ライン モアレはモアレ パターンの一種で、相関する不透明パターンを含む 2 つの透明レイヤーを重ね合わせたときに現れるパターンです。ライン モアレは、重ね合わせたパターンが直線または曲線で構成されている場合です。レイヤー パターンを移動すると、モアレ パターンが変形したり、より高速で移動したりします。この効果は、光学モアレ スピードアップと呼ばれます。

線が曲がっていたり、正確に平行でなかったりすると、 より複雑な線のモアレパターンが作成されます。

形状モアレは、モアレ拡大現象を示すモアレパターンの一種です。^{[6] [7]} 1D形状モアレは、2D形状モアレを特に簡略化したものです。垂直軸に沿って周期的に繰り返される複雑な形状を含む層の上に、小さな水平透明線を含む不透明な層を重ねると、1次元パターンが現れることがあります。

複雑な形状や、レイヤーの 1 つに埋め込まれたシンボルのシーケンス (圧縮された形状が周期的に繰り返される) を示すモアレ パターンは、シェイプ モアレ (バンド モアレパターンとも呼ばれます) によって作成されます。シェイプ モアレの最も重要な特性の 1 つは、1 つまたは両方の軸に沿って小さな形状を拡大する (つまり、伸縮する) 機能です。モアレ拡大の一般的な 2D 例は、同じデザインの 2 つ目の金網フェンスを通して金網フェンスを見たときに発生します。デザインの微細構造は、遠くからでも見ることができます。

平行で等間隔の線（例えば垂直線）で作られた 2 つのパターンを考えます。最初のパターンのステップはp、 2 番目のパターンのステップはp + δp（0 < δp < p ）です。

パターンの線が図の左側で重なっている場合、右に行くにつれて線間のずれが大きくなります。一定数の線を超えると、パターンは反対になります。つまり、2 番目のパターンの線が最初のパターンの線の間にあることになります。遠くから見ると、線が重なっているときは淡い領域 (線の間に白い部分がある) のように感じられ、線が「反対」になっているときは暗い領域のように感じられます。

最初の暗いゾーンの真ん中は、シフトが⁠に等しいときです。p/2⁠。2番目のパターンのn番目の行は、最初のネットワークの n番目の行と比較してn δpだけシフトしています。したがって 、 、淡い領域の中央と暗い領域の中央の間の距離 dは 、2 つの暗い領域の中央の間の距離であり、2 つの淡い領域間の距離でもあります。 この式から、次のことがわかります。 $${\displaystyle n\cdot \delta p={\frac {p}{2}}}$$$${\displaystyle n={\frac {p}{2\delta p}}.}$$$${\displaystyle d=n\cdot (p+\delta p)={\frac {p^{2}}{2\delta p}}+{\frac {p}{2}}}$$$${\displaystyle 2d={\frac {p^{2}}{\delta p}}+p}$$

• ステップが大きくなるほど、淡いゾーンと暗いゾーンの間の距離が大きくなります。
• 差異δp が大きいほど、暗い領域と淡い領域が近くなります。暗い領域と淡い領域の間隔が大きいということは、パターンのステップが非常に近いことを意味します。

モアレの原理はバーニヤ目盛りに似ています。

モアレ効果の本質は、2 つの類似したパターンの不正確な重ね合わせによって生じる、明らかに異なる第 3 のパターンの (主に視覚的な) 知覚です。これらのパターンの数学的表現は簡単に得られるものではなく、いくぶん恣意的に見えることがあります。このセクションでは、重ね合わせるとモアレ パターンが形成される 2 つの平行パターンの数学的例を示し、これらのパターンとモアレ効果を数学的に表現できる 1 つの方法 (可能な方法の 1 つ) を示します。

これらのパターンの可視性は、それらが表示される媒体または基質に依存し、これらは不透明（たとえば紙）または透明（たとえばプラスチックフィルム）である可能性があります。議論の目的上、2 つの主要なパターンはそれぞれ白いシートにグレースケールのインクで印刷されていると仮定します。この場合、「印刷」部分の不透明度（たとえば、グレーの濃淡）は、0（白）から 1（黒）までの値で指定され、⁠1/2⁠中間グレーを表します。このグレースケールを使用した場合、0 未満または 1 より大きい値は基本的に「印刷不可能」です。

また、紙の特定のポイントで 1 つのパターンを他のパターンの上に印刷した結果のパターンの不透明度を、その位置での各パターンの不透明度の平均 (つまり算術平均) として表すことにします。これは、それらの合計の半分であり、計算すると 1 を超えません。(この選択は一意ではありません。結果の関数値が境界 [0,1] 内に保つことを満たす関数を組み合わせる他の方法も使用できます。算術平均には単純さという利点があり、印刷プロセスの概念への影響は最小限に抑えられます。)

ここで、ほぼ類似した正弦波状に変化する 2 つのグレースケール パターンの「印刷」重ね合わせについて考えてみましょう。最初に 1 つのパターンを紙に印刷し、次に座標軸を合わせたままもう 1 つのパターンを最初のパターンの上に印刷すると、モアレ効果がどのように発生するかを示します。各パターンのグレーの強度は、紙面の固定方向 (たとえば x 座標) に沿った距離の正の不透明度関数で表され、次の形式になります。

$${\displaystyle f={\frac {1+\sin(kx)}{2}}}$$

ここで、1 が存在すると関数は正定値のままになり、2 で割ると関数の値が 1 より大きくなるのを防ぎます。

量k は、パターンのグレー強度の周期的変化（すなわち空間周波数）を表し、単位距離あたりの強度サイクル数として測定されます。正弦関数は2πの引数の変化にわたって周期的であるため、強度サイクル（波長）あたりの距離増分Δ x は、 k Δ x = 2π、またはΔ x = ⁠のときに得られます。2π/け⁠ .

ここで、周期的な変化が他とわずかに異なる 2 つのパターンを考えてみましょう。

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}&={\frac {1+\sin(k_{1}x)}{2}}\\[4pt]f_{2}&={\frac {1+\sin(k_{2}x)}{2}}\end{aligned}}}$$

k ₁ ≈ k ₂となる。

重ね合わせた印刷画像を表すこれら 2 つの関数の平均は、次のように評価されます (逆の同一性については、Prosthaphaeresis を参照してください)。

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{3}&={\frac {f_{1}+f_{2}}{2}}\\[5pt]&={\frac {1}{2}}+{\frac {\sin(k_{1}x)+\sin(k_{2}x)}{4}}\\[5pt]&={\frac {1+\sin(Ax)\cos(Bx)}{2}}\end{aligned}}}$$

簡単に証明できるのは

$${\displaystyle A={\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}}$$

そして

$${\displaystyle B={\frac {k_{1}-k_{2}}{2}}.}$$

この関数の平均f ₃は明らかに [0,1] の範囲内にあります。周期的変化Aはk ₁とk ₂の平均であり、したがってこれらに近いため、モアレ効果は、周期的変化が周期的変化k ₁とk ₂の差の半分である(そして明らかに周波数がはるかに低い)正弦波エンベロープ「ビート」関数cos( Bx )によって明確に示されます。

その他の 1 次元モアレ効果には、ほぼ同じピッチの 2 つの純粋な音が同時に鳴ったときに聞こえる、古典的なビート周波数トーンがあります。これは、1 次元の時間におけるモアレ効果の音響バージョンです。元の 2 つの音は存在しますが、リスナーは 2 つの音の周波数の平均と差の半分である 2 つのピッチとして知覚します。時間によって変化する信号のサンプリングにおけるエイリアシングも、このモアレ パラダイムに属します。

同じステップp を持つ 2 つのパターンを考えてみましょう。ただし、 2 番目のパターンは角度αだけ回転しています。遠くから見ると、より暗い線とより薄い線も見えます。薄い線はノードの線、つまり 2 つのパターンの交差点を通過する線に対応しています。

形成された格子のセルを考えると、4辺がd = ⁠に等しい菱形であることがわかります。p/サインα⁠ ; (斜辺がdで、角αの反対側の辺がpである直角三角形があります)。

薄い線は菱形の小さな対角線に対応しています。対角線は隣り合う辺の二等分線なので、薄い線は⁠に等しい角度をなしていることがわかります。α/2⁠各パターンの線の垂線と。

さらに、2本の薄い線の間隔はDで、長い対角線の半分です。長い対角線2Dは直角三角形の斜辺で、直角の辺はd（1 + cos α）とpです。ピタゴラスの定理によれば、 次のように なります 。つまり、 $${\displaystyle (2D)^{2}=d^{2}(1+\cos \alpha )^{2}+p^{2}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}(2D)^{2}&={\frac {p^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}(1+\cos \alpha )^{2}+p^{2}\\[5pt]&=p^{2}\cdot \left({\frac {(1+\cos \alpha )^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}+1\right)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}(2D)^{2}&=2p^{2}\cdot {\frac {1+\cos \alpha }{\sin ^{2}\alpha }}\\[5pt]D&={\frac {\frac {p}{2}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.\end{aligned}}}$$

αが非常に小さい場合（α < ⁠π/6⁠）以下の小角近似が成り立つ： したがって $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \alpha &\approx \alpha \\\cos \alpha &\approx 1\end{aligned}}}$$$${\displaystyle D\approx {\frac {p}{\alpha }}.}$$

αが小さいほど、淡い線同士の間隔が広くなることがわかります。両方のパターンが平行 ( α = 0 ) の場合、淡い線同士の間隔は無限大 (淡い線がない) になります。

したがって、 α を決定するには 2 つの方法があります。薄い線の方向と間隔です。 角度を測定することを選択した場合、最終的な誤差は測定誤差に比例します。間隔を測定することを選択した場合、最終的な誤差は間隔の逆数に比例します。したがって、角度が小さい場合は、間隔を測定するのが最適です。 $${\displaystyle \alpha \approx {\frac {p}{D}}}$$

グラフィック アートやプリプレスでは、フルカラー画像を印刷するための通常の技術として、ハーフトーンスクリーンの重ね合わせが行われます。これらは規則的な長方形のドット パターンで、多くの場合、シアン、イエロー、マゼンタ、ブラックの 4 つのドットが印刷されます。ある種のモアレ パターンは避けられませんが、好ましい状況ではパターンは「タイト」です。つまり、モアレの空間周波数が非常に高いため、目立ちません。グラフィック アートでは、モアレという用語は、過度に目立つモアレ パターンを意味します。プリプレス アートの一部は、モアレを最小限に抑えるスクリーン角度とハーフトーン周波数を選択することです。モアレの可視性は完全に予測できるわけではありません。同じスクリーン セットでも、一部の画像では良好な結果が得られる場合がありますが、他の画像ではモアレが目立ちます。

モアレ模様は、千鳥格子のジャケットなど、特定の織り方や模様のシャツやジャケットを着ているときに、テレビ画面によく見られます。これは、テレビや非フィルムカメラのインターレーススキャン（インターラインツイッター）によるものです。人が動き回ると、モアレ模様がかなり目立ちます。このため、ニュースキャスターやテレビに定期的に出演するその他の専門家は、この現象を引き起こす可能性のある衣服を避けるように指示されています。

デジタル カメラで撮影したテレビ画面の写真には、モアレ パターンがよく見られます。テレビ画面とデジタル カメラはどちらも、水平方向の走査線で写真を生成またはキャプチャするスキャン技術を使用しているため、競合する線のセットがモアレ パターンの原因となります。この現象を回避するには、デジタル カメラをテレビ画面に対して 30 度の角度で向けます。

モアレ効果は、スウェーデンの Inogon Licens AB 社が製造する「Inogon リーディング マーク」または「Inogon ライト」と呼ばれる海岸沿いの標識で使用され、閘門、マリーナ、港などに向かう船舶の最も安全な航路を指定したり、水中の危険 (パイプラインやケーブルなど) を示すために使用されます。モアレ効果により、危険または安全な航行ラインを示す仮想線を指す矢印が作成されます。航行者がそのラインを通過すると、標識の矢印は垂直の帯のように見え、その後、逆方向を指す矢印に戻ります。^{[8] [9] [10]一例として、イギリスの}サウサンプトン・ウォーターの東岸、フォーリー石油精製所の向かい側（50°51′21.63″N 1°19′44.77″W / 50.8560083°N 1.3291028°W / 50.8560083; -1.3291028）が挙げられます。^[11]同様のモアレ効果ビーコンは、船員を対向する橋の中心点に誘導するために使用できます。船が中心線に沿っている場合、垂直線が見えます。イノゴンライトは、地上のパイロットが停泊中に中心線を維持するのに役立つように、空港に配置されています。^[12]

製造業では、これらのパターンは材料の微細な歪みを研究するために使用されます。基準グリッドに対してグリッドを変形し、モアレ パターンを測定することで、応力レベルとパターンを推測できます。この手法は、モアレ パターンのスケールが、それを引き起こすたわみよりもはるかに大きいため、測定が容易になるという点で魅力的です。

モアレ効果はひずみ測定に使用できます。操作者は、対象物にパターンを描き、変形した対象物上の 変形パターンに参照パターンを重ね合わせるだけです。

物体のホログラフィック画像を物体自体に重ね合わせることで、同様の効果を得ることができます。ホログラムが基準ステップであり、物体との違いは薄い線と暗い線として現れる変形です。

一部の画像スキャナ コンピュータプログラムでは、印刷されたハーフトーン画像をスキャンしてデジタル画像を作成するときに生成されるモアレパターンアーティファクトを除去するために、「デスクリーン」フィルタと呼ばれるオプションのフィルタが提供されています。^[13]

多くの紙幣は、スキャンして印刷するとモアレ模様が現れやすい細かい円形や波状のデザインを盛り込むことで、デジタルスキャナがモアレ模様を生成する傾向を利用しています。^[14]

超解像顕微鏡では、構造化照明顕微鏡と呼ばれる技術を使用して、モアレパターンを利用して回折限界を超える解像度の画像を得ることができます。^[2]

走査トンネル顕微鏡では、表面の原子層がバルク結晶とは異なる結晶構造を持つ場合、モアレ縞が現れます。これは、例えば結晶の表面再構成によるものや、単層^{[15] [16]}二層グラフェン^[17 ] 、またはグラフェンとhBNのファンデルワールスヘテロ構造^{[18] [19]} 、またはビスマスとアンチモンのナノ構造^[20]など、表面に2番目の結晶の薄い層がある場合に発生します。

透過型電子顕微鏡（TEM）では、平行モアレ縞は、重なり合っていて、間隔や方向が異なる可能性のある回折結晶格子面の干渉によって位相コントラストTEM画像に形成される平行コントラスト線として見られます。 ^[21]文献で報告されているモアレコントラストの観察のほとんどは、TEMの高解像度位相コントラスト画像を使用して取得されています。ただし、プローブ収差補正高角度環状 暗視野走査透過型電子顕微鏡（HAADF-STEM）画像を使用すると、原子の種類と位置の観点から結晶構造をより直接的に解釈できます。^{[21] [22]}

凝縮系物理学では、モアレ現象は2次元材料についてよく議論される。この効果は、2D層の格子定数または角度と、その下にある基板^{[15] [16]}または2D材料ヘテロ構造などの別の2D層との間に不一致がある場合に発生する。^{[19] [20]}この現象は、材料の電子構造または光学特性を工学的に操作する手段として利用されており、^[23]モアレ材料と呼ばれることもある。2つの原子層をねじると電子特性がしばしば大きく変化することと、電子応用の見通しから、この分野はツイストロニクスと呼ばれるようになった。顕著な例は、ねじれた2層グラフェンであり、これはモアレパターンを形成し、特定の魔法角で超伝導やその他の重要な電子特性を示す。^[24]

材料科学 において、モアレコントラストを示す既知の例としては、オーステナイトマトリックスと重なり合うMX型（M = Ti、Nb、X = C、N）の薄膜^[25]またはナノ粒子がある。MX相とマトリックスの両相は、面心立方結晶構造と立方体同士の配向関係を持っている。しかし、それらは約20〜24％（合金の化学組成に基づく）の大きな格子不整合を持ち、それがモアレ効果を生み出す。^[22]

• エイリアシング
• 角度感知ピクセル
• バリアグリッドアニメーションと立体視（キネグラム）
• ビート（音響）
• ユークリッドの果樹園
• 守護者（彫刻）
• ケル係数
• レンチキュラー印刷
• モアレ位相トラッキング
• 多次元サンプリング

ウィキメディア・コモンズには、モアレ パターンに関連するメディアがあります。

• イギリスの芸術家ピップ・ディケンズによるモアレ原理に基づいた油絵シリーズ
• 円同士の干渉から生じるモアレ効果の実演
• さまざまなモアレ パターンのインタラクティブな例。Wayback Machineに 2011-07-24 にアーカイブされています。矢印キーとマウスを使用してレイヤーを操作します。
• 普遍的なモアレ効果とX線位相コントラスト画像への応用
• 「船を導くモアレ効果ライト」、サウサンプトンのモアレ イノゴン ライトに関するトム スコットのYouTube記事
• 「モアレ博物館」は、モアレ効果の物理学と数学、および芸術的貢献へのリンクを備えたインタラクティブなベクター グラフィックスです。