付加合成

付加合成の例

21の不協和音の加算合成によって生成される鐘のような音

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加法合成は正弦波を加算して音色を作り出す音声合成技術である。^{[1] [2]}

楽器の音色は、フーリエ理論に照らして、複数の調和音または非調和音の部分音または倍音で構成されていると考えることができます。各部分は、 ADSR エンベロープまたは低周波発振器からの変調により、時間の経過とともに増減する、異なる周波数と振幅の正弦波です。

加法合成は、複数の正弦波ジェネレータの出力を加算することによって最も直接的にサウンドを生成します。代替実装では、事前に計算された波形テーブルまたは逆高速フーリエ変換が使用される場合があります。

日常生活で耳にする音は、単一の周波数で特徴付けられるわけではありません。 代わりに、純粋な正弦周波数の合計で構成され、各周波数は異なる振幅を持っています。 人間はこれらの周波数を同時に聞くと、その音を認識できます。 これは、「非音楽的な」音 (水しぶき、葉のざわめきなど) と「音楽的な音」(ピアノの音、鳥のさえずりなど) の両方に当てはまります。 この一連のパラメータ (周波数、それらの相対的な振幅、および相対的な振幅が時間とともにどのように変化するか) は、音の音色にまとめられます。フーリエ解析は、全体的なサウンド信号からこれらの正確な音色パラメータを決定するために使用される手法です。 逆に、結果として得られる一連の周波数と振幅は、元のサウンド信号の フーリエ級数と呼ばれます。

音符の場合、その音色の最低周波数は、音の基本周波数として指定されます。簡単にするために、その音符はその基本周波数で演奏されているとよく言われます（たとえば、「中央のCは261.6 Hzです」）^[3]が、その音符の音は他の多くの周波数も含まれています。残りの周波数のセットはその音の倍音（またはその周波数が基本周波数の整数倍である場合は倍音）と呼ばれます。^[4]言い換えると、基本周波数のみが音の高さを決定し、倍音が音色を定義します。中央のCを演奏するピアノの倍音は、同じ音を演奏するバイオリンの倍音とはまったく異なります。これにより、2つの楽器の音を区別することができます。同じ楽器の異なるバージョン（たとえば、アップライトピアノとグランドピアノ）間でも、音色に微妙な違いがあります。

加算合成は、音のこの特性を利用して音色を根本から構築することを目的としています。さまざまな周波数と振幅の純粋な周波数 (正弦波) を加算することで、作成したい音の音色を正確に定義できます。

倍音加法合成は、周期関数を共通の基本周波数の整数倍に等しい周波数を持つ正弦関数の和として表現する方法であるフーリエ級数の概念と密接に関連しています。これらの正弦波は、倍音、倍音、または一般に部分音と呼ばれます。一般に、フーリエ級数には無限の数の正弦波成分が含まれ、正弦波関数の周波数に上限はなく、DC成分 (周波数が 0 Hzのもの) が含まれます。 人間の可聴範囲外の周波数は、加法合成では省略できます。その結果、可聴範囲内の周波数を持つ有限数の正弦波項のみが加法合成でモデル化されます。

波形または関数が周期的であるとは、

${\displaystyle y(t)=y(t+P)}$

すべてとある期間について。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle P}$

周期関数のフーリエ級数は数学的には次のように表現され ます。

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left[a_{k}\cos(2\pi kf_{0}t)-b_{k}\sin(2\pi kf_{0}t)\right]\\&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }r_{k}\cos \left(2\pi kf_{0}t+\phi _{k}\right)\\\end{aligned}}}$

どこ

• ${\displaystyle f_{0}=1/P}$は波形の基本周波数であり、周期の逆数に等しい。
• ${\displaystyle a_{k}=r_{k}\cos(\phi _{k})=2f_{0}\int _{0}^{P}y(t)\cos(2\pi kf_{0 }t)\,dt,\quad k\geq 0}$
• ${\displaystyle b_{k}=r_{k}\sin(\phi _{k})=-2f_{0}\int _{0}^{P}y(t)\sin(2\pi kf_{ 0}t)\,dt,\quad k\geq 1}$
• ${\displaystyle r_{k}={\sqrt {a_{k}^{2}+b_{k}^{2}}}}$は、次の高調波の振幅である。${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle \phi _{k}=\オペレータ名 {atan2} (b_{k},a_{k})}$は、次の高調波の位相オフセットです。atan2は、 4象限逆正接関数です。${\displaystyle k}$

直流成分と、ある有限の限界 より高い周波数を持つすべての成分は、聞こえないため、次の加法合成の式では省略されます。 ${\displaystyle a_{0}/2}$${\displaystyle Kf_{0}}$

最も単純な高調波加法合成は、数学的に次のように表現できます。

ここで、は合成出力、、、 はそれぞれ全倍音成分の 番目の倍音成分の振幅、周波数、位相オフセット、 は波形の基本周波数と音符 の周波数です。 ${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle r_{k}}$${\displaystyle kf_{0}}$${\displaystyle \phi_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f_{0}}$

より一般的には、各高調波の振幅は時間の関数として規定することができ、その場合、合成出力は ${\displaystyle r_{k}(t)}$

各エンベロープは、 隣接する正弦波間の周波数間隔に応じてゆっくりと変化します。の帯域幅は よりも大幅に小さくなります。 ${\displaystyle r_{k}(t)\,}$${\displaystyle r_{k}(t)}$${\displaystyle f_{0}}$

加法合成では、個々の倍音が共通の基本周波数の整数倍の周波数である必要のない、非調和音（非周期波形）を生成することもできる。 ^{[5] [6]}多くの従来の楽器は倍音部分音を持っているが（例：オーボエ）、非調和部分音を持つ楽器もある（例：ベル）。非調和加法合成は次のように説明できる。

${\displaystyle y(t)=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(t)\cos \left(2\pi f_{k}t+\phi _{k}\right),}$

ここで、 は部分音 の定常周波数です。${\displaystyle f_{k}}$${\displaystyle k}$

一般的に、正弦波の瞬間周波数は、正弦関数または余弦関数の引数の時間に対する導関数です。この周波数が角周波数形式ではなくヘルツで表されている場合、この導関数は で割ります。これは、部分が調和的であるか非調和的であるか、またその周波数が一定であるか時間によって変化するかに関係なく当てはまります。 ${\displaystyle 2\pi }$

最も一般的な形式では、各非調和部分音の周波数は時間の非負関数であり、 ${\displaystyle f_{k}(t)}$

加法合成は、より広義には、要素が正弦波でなくても、単純な要素を加算してより複雑な音色を作成する音響合成技術を意味する場合がある。^{[7] [8]たとえば、F.リチャード・ムーアは、}減算合成、非線形合成、物理モデリングとともに、加法合成を音響合成の「4つの基本カテゴリ」の1つに挙げている。^[8]この広い意味では、非正弦波形を生成するパイプを備えたパイプオルガンは、加法合成器の変形形態と見なすことができる。主成分の加算とウォルシュ関数も加法合成に分類されている。^[9]

現代の加法合成の実装は主にデジタルです。（基礎となる離散時間理論については、 離散時間方程式のセクションを参照してください）

加法合成は、各部分音ごとに1つの正弦波発振器バンクを使用して実装できます。^[1]

倍音の準周期的な楽音の場合、ウェーブテーブル合成は時間変動加法合成と同じくらい一般的ですが、合成中に計算量が少なくて済みます。^{[10] [11]その結果、倍音の時間変動加法合成を効率的に実装するには、}ウェーブテーブル合成を使用します。

グループ加算合成^{[12] [13] [14]}は、部分音を倍音グループ（異なる基本周波数を持つ）にグループ化し、各グループをウェーブテーブル合成で個別に合成してから結果をミックスする方法です。

逆高速フーリエ変換は、変換周期または「フレーム」を均等に分割する周波数を効率的に合成するために使用できます。DFT周波数領域表現を慎重に検討することで、一連の重なり合うフレームと逆高速フーリエ変換を使用して、任意の周波数の正弦波を効率的に合成することもできます。^[15]

録音された音の周波数成分を解析して「正弦波の合計」表現を得ることは可能である。この表現は加法合成を使用して再合成することができる。音を時間とともに変化する正弦波部分に分解する方法の1つは、短時間フーリエ変換（STFT）ベースのマコーレー・クアティエリ分析である。^{[17] [18]}

正弦波の和の表現を変更することで、再合成の前に音色の変更を行うことができます。たとえば、調和音を不調和音に再構成したり、その逆を行ったりすることができます。音のハイブリッド化または「モーフィング」は、加法再合成によって実装されています。^[19]

加法分析/再合成は、正弦波モデリング、^[20]、 スペクトルモデリング合成（SMS）、^[19]、再割り当て帯域幅拡張加法サウンドモデル^[21]など、さまざまな技術で採用されています。加法分析/再合成を実装するソフトウェアには、SPEAR、^[22]、 LEMUR、LORIS、^[23] SMSTools、^[24] ARSSなどがあります。^[25]

New England Digital Synclavier には、サンプルを分析して「音色フレーム」に変換できる再合成機能があり、これは同社の加算合成エンジンの一部でした。1987年に発売されたTechnos acxel は、FFT 実装で加算分析/再合成モデルを利用しました。

同じくボーカルシンセサイザーであるVocaloid は、加法分析/再合成に基づいて実装されています。励起プラス共鳴(EpR) モデル^{[26] [27]}と呼ばれるそのスペクトル音声モデルは、スペクトルモデリング合成 (SMS) に基づいて拡張され、そのダイフォン 連結合成は 、修正位相ロックボコーダ^[29] (フォルマント処理用に改良された位相ボコーダ) に類似したスペクトルピーク処理(SPP) ^[28]技術を使用して処理されます。^[30]これらの技術を使用すると、純粋に倍音の部分音で構成されるスペクトル成分 (フォルマント) をサウンドモデリングの目的の形に適切に変換でき、目的のフレーズを構成する短いサンプル (ダイフォンまたは音素) のシーケンスは、異なるサンプル間の挿入された遷移領域に一致する部分音とフォルマントピークをそれぞれ補間することで滑らかに接続できます。 (ダイナミック音色も参照)

加法合成は電子楽器で使用されます。これは、Eminentオルガンで使用される主要なサウンド生成技術です。

言語学の研究では、1950年代に修正された合成音声スペクトログラムを再生するために、高調波加法合成法が使用されました。^[31]

その後、1980年代初頭に、音響的な手がかりを取り除いた合成音声の聴取テストが行​​われ、その重要性が評価されました。線形予測符号化によって導出された時間的に変化するフォルマント周波数と振幅が、純音のホイッスルとして加算的に合成されました。この方法は正弦波合成と呼ばれています。^{[32] [33]}また、ヤマハCX5M （1984）の歌唱音声合成機能で使用された複合正弦波モデリング（CSM） ^{[34] [35]}は、1966年から1979年の間に独立して開発された同様のアプローチを使用していることが知られています。^{[36] [ 37]これらの方法は、}音響の観点から、口腔と鼻腔で発生するいくつかの共鳴モードに対応する一連の重要なスペクトルピークの抽出と再構成を特徴としています。この原理は、モーダル合成と呼ばれる物理モデリング合成方法にも利用されました。^{[38] [39] [40] [41]}

調和解析はジョセフ・フーリエによって発見され、^[42]彼は1822年に熱伝達に関する自身の研究の詳細な論文を出版した。 ^{[43]この理論は}潮汐の予測に早くから応用されていた。1876年頃、^[44]ウィリアム・トムソン（後にケルビン卿として貴族に叙せられた）は機械式の潮汐予測装置を製作した。これは19世紀にすでに呼ばれていたように、調和解析装置と調和合成装置で構成されていた。 ^{[45] [46]}潮汐測定の解析はジェームズ・トムソンの積分機を使用して行われた。結果として得られたフーリエ係数は合成装置に入力され、合成装置はコードと滑車のシステムを使用して高調波正弦波部分を生成して合計し、将来の潮汐を予測した。1910年には、音の周期波形を解析する同様の機械が作られた。^[47]シンセサイザーは組み合わせ波形のグラフを描画し、主に分析の視覚的検証に使用されました。^[47]

ゲオルク・オームは1843年にフーリエの理論を音に応用した。この研究はヘルマン・フォン・ヘルムホルツによって大きく前進し、彼は1863年に8年分の研究を発表した。^[48]ヘルムホルツは、音色の心理的知覚は学習の影響を受けるが、感覚的な意味での聴覚は純粋に生理学的なものだと信じていた。^[49]彼は、音の知覚は基底膜の神経細胞からの信号に由来し、これらの細胞の弾性付属器は適切な周波数の純粋な正弦波音によって共鳴振動するという考えを支持した。^[47]ヘルムホルツは、特定の音源には不調和な振動モードがあるという1787年のエルンスト・クラドニの発見に同意した。 ^[49]

ヘルムホルツの時代には、電子増幅は利用できなかった。倍音合成のために、ヘルムホルツは電気的に励起された音叉アレイと、部分音の振幅を調整できる音響共鳴室を作った。 ^[50]少なくとも1862年には作られており、^{[50]これらは}ルドルフ・ケーニッヒによって改良され、1872年に独自の装置を披露した。^{[50]倍音合成のために、ケーニッヒは彼の}ウェーブサイレンをベースにした大型装置も作った。それは空気圧式で、カットアウトトーンホイールを使用していたが、部分音の純度が低いと批判された。^[44]また、パイプオルガンの脛骨パイプはほぼ正弦波の波形を持ち、加法合成のように組み合わせることができる。^[44]

1938年、重要な新たな裏付けとなる証拠を伴って、^[51]ポピュラーサイエンス・マンスリー誌上で、人間の声帯は消防サイレンのように倍音豊かな音を出し、それが声道でフィルタリングされてさまざまな母音音を出すという報告がなされた。^[52]その頃には、加算方式のハモンドオルガンがすでに市場に出回っていた。初期の電子オルガンメーカーのほとんどは、加算方式のオルガンに必要な複数の発振器を製造するのは費用がかかりすぎると考え、代わりに減算方式のオルガンを作り始めた。^[53] 1940年の無線技術者協会の会議で、ハモンドの主任フィールドエンジニアは、同社の新しいノヴァコードについて、オリジナルのハモンドオルガンでは「最終的な音は音波を組み合わせて作られる」のに対し、「減算方式」であると詳しく説明した。^[54]アラン・ダグラスは、 1948年に王立音楽協会に提出した論文の中で、さまざまなタイプの電子オルガンを説明するために、加算と減算という修飾語を使用した。^[55]加法合成と減法合成 という現代的な用語は、 1957年の著書『音楽の電気的生成』に見られ、その中で彼は加法合成、減法合成、その他の組み合わせという章で音楽の音色を形成する3つの方法を分類して列挙している。^[56]

現代の典型的な加法合成シンセサイザーは、その出力を電気信号、アナログ信号、または2000年頃に人気が出たソフトウェアシンセサイザーのようなデジタルオーディオとして生成します。 ^[57]

以下は、歴史的および技術的に注目すべき、加算合成を実装したアナログおよびデジタル シンセサイザーとデバイスのタイムラインです。

加法合成のデジタル実装では、連続時間合成方程式の代わりに離散時間方程式が使用されます。離散時間信号の表記規則では、括弧、つまり が使用され、引数は整数値のみになります。連続時間合成出力が十分に帯域制限され、サンプリング レートの半分以下、またはになると予想される場合は、離散合成方程式を取得するには連続時間式を直接サンプリングするだけで十分です。連続合成出力は、後でデジタル/アナログ コンバーター を使用してサンプルから再構築できます。サンプリング周期は です。 ${\displaystyle y[n]\,}$${\displaystyle n\,}$${\displaystyle y(t)\,}$${\displaystyle f_{\mathrm {s} }/2\,}$${\displaystyle T=1/f_{\mathrm {s} }\,}$

（ ３ ）から始まり、

${\displaystyle y(t)=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(t)\cos \left(2\pi \int _{0}^{t}f_{k}(u)\ du+\phi _{k}\right)}$

離散時間でサンプリングすると、 ${\displaystyle t=nT=n/f_{\mathrm {s} }\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=y(nT)=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(nT)\cos \left(2\pi \int _{0}^{nT}f_{k}(u)\ du+\phi _{k}\right)\\&=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(nT)\cos \left(2\pi \sum _{i=1}^{n}\int _{(i-1)T}^{iT}f_{k}(u)\ du+\phi _{k}\right)\\&=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(nT)\cos \left(2\pi \sum _{i=1}^{n}(Tf_{k}[i])+\phi _{k}\right)\\&=\sum _{k=1}^{K}r_{k}[n]\cos \left({\frac {2\pi }{f_{\mathrm {s} }}}\sum _{i=1}^{n}f_{k}[i]+\phi _{k}\right)\\\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle r_{k}[n]=r_{k}(nT)\,}$離散時間変動振幅エンベロープ

${\displaystyle f_{k}[n]={\frac {1}{T}}\int _{(n-1)T}^{nT}f_{k}(t)\ dt\,}$離散時間後方差分瞬時周波数です。

これは次のものと同等である

${\displaystyle y[n]=\sum _{k=1}^{K}r_{k}[n]\cos \left(\theta _{k}[n]\right)}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{k}[n]&={\frac {2\pi }{f_{\mathrm {s} }}}\sum _{i=1}^{n}f_{k}[i]+\phi _{k}\\&=\theta _{k}[n-1]+{\frac {2\pi }{f_{\mathrm {s} }}}f_{k}[n]\\\end{aligned}}}$すべて^[15]${\displaystyle n>0\,}$

そして

${\displaystyle \theta _{k}[0]=\phi _{k}.\,}$

• 周波数変調合成
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• ハーモニックシリーズ（音楽）

• デジタルキーボードの相乗効果