基本的な超幾何級数

数学において、基本超幾何級数、またはq超幾何級数は、一般化超幾何級数のq類似一般化であり、楕円超幾何級数によって一般化されます。級数x _{n は}、連続する項の比x _{n +1} / x _nがnの有理関数である場合に超幾何級数と呼ばれます。連続する項の比がq ⁿの有理関数である場合、級数は基本超幾何級数と呼ばれます。数qは基数と呼ばれます。

基本超幾何級数は、エドゥアルト・ハイネ(1846)によって初めて考えられました。を底とする極限では、 超幾何級数になります。 ${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(q^{\alpha },q^{\beta };q^{\gamma };q,x)}$${\displaystyle F(\alpha,\beta;\gamma;x)}$${\displaystyle q=1}$

基本超幾何級数には、片側基本超幾何級数φと、より一般的な両側基本超幾何級数ψの2つの形式がある。片側基本超幾何級数は次のように定義される。

${\displaystyle \;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{1+kj}z^{n}}$

どこ

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}}$

そして

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1- aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}$

はqシフト階乗である。最も重要な特別なケースはj = k + 1のときであり、このとき

${\displaystyle \;_{k+1}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}&a_{k+1}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k+1};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}z^{n}.}$

この級数は、 a ₁ ... a _{k + 1} = b ₁ ... b _k qのとき平衡しているといいます。この級数は、 a ₁ q = a ₂ b ₁ = ... = a _{k + 1} b _kのとき均衡しているといいます。また、 a ₂ = − a ₃ = qa ₁ ^1/2のとき 非常に均衡しているといいます。片側基本超幾何級数は、超幾何級数のq類似体です。

${\displaystyle \lim _{q\to 1}\;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}q^{a_{1}}&q^{a_{2}}&\ldots &q^{a_{j}}\\q^{b_{1}}&q^{b_{2}}&\ldots &q^{b_{k}}\end{matrix}};q,(q-1)^{1+kj}z\right]=\;_{j}F_{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};z\right]}$

が成り立つ（Koekoek & Swarttouw (1996)）。双対的超幾何級数に対応する
双対的基本超幾何級数は次のように定義される。

${\displaystyle \;_{j}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{kj}z^{n}.}$

最も重要な特別なケースは、 j = kのときであり、

${\displaystyle \;_{k}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}.}$

片側級数は、少なくともa変数のいずれもqのべき乗ではないときに、 b変数の 1 つをqに等しく設定することによって、両側級数の特殊なケースとして取得できます。このとき、 n < 0のすべての項は消えます。

いくつかの簡単な級数表現には、

${\displaystyle {\frac {z}{1-q}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q\\q^{2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots }$

そして

${\displaystyle {\frac {z}{1-q^{1/2}}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q^{1/2}\\q^{3/2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots }$

そして

${\displaystyle \;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;-1\\-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3}}}+\ldots .}$

q二項定理（1811年にハインリヒ・アウグスト・ローテによって初めて発表された）^{[1] [2]}は、

${\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aq^{n}z}{1-q^{n}z}}}$

これは、繰り返して等式を適用することによって得られる。

${\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {1-az}{1-z}}\;_{1}\phi _{0}(a;q,qz).}$

a  = 0の特殊なケースはq 指数と密接に関連しています。

コーシー二項定理はq二項定理の特殊なケースである。^[3]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)\qquad (|q|<1)}$

シュリニヴァーサ・ラマヌジャンは

${\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}}$

は、| q | < 1 かつ | b / a | < | z | < 1 のときに有効です。 の同様の恒等式は、ベイリーによって与えられています。 このような恒等式は、ヤコビの三重積定理の一般化と理解でき、q級数を使用して次のように記述できます。 ${\displaystyle \;_{6}\psi _{6}}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(n+1)/2}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty }.}$

小野健は関連する形式的冪級数を与えている^[4]

${\displaystyle A(z;q){\stackrel {\rm {def}}{=}}{\frac {1}{1+z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z;q)_{n}}{(-zq;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}q^{n^{2}}.}$

超幾何級数のバーンズ積分の類似として、ワトソンは次を示した。

${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(a,b;c;q,z)={\frac {-1}{2\pi i}}{\frac {(a,b;q)_{\infty }}{(q,c;q)_{\infty }}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {(qq^{s},cq^{s};q)_{\infty }}{(aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}}{\frac {\pi (-z)^{s}}{\sin \pi s}}ds}$

ここで の極は等高線の左側にあり、残りの極は右側にあります。_{r +1} φ _rについても同様の等高線積分があります。 この等高線積分は、 zにおける基本的な超幾何関数の解析接続を与えます。 ${\displaystyle (aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}$

基本的な超幾何行列関数は次のように定義できます。

${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(A,B;C;q,z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(A;q)_{n}(B;q)_{n}}{(C;q)_{n}(q;q)_{n}}}z^{n},\quad (A;q)_{0}:=1,\quad (A;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-Aq^{k}).}$

比検定により、この行列関数は絶対収束することが示される。^[5]

• ディクソンの正体
• ロジャース・ラマヌジャン恒等式

• Andrews, GE (2010)、「q-超幾何関数と関連関数」、Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編)、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
• WN Bailey,一般化超幾何級数、(1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics、No.32、Cambridge University Press、Cambridge。
• ウィリアム YC チェンとエイミー フー、「双対基本超幾何級数の半有限形式」 (2004)
• Exton、H. (1983)、q-超幾何関数とその応用、ニューヨーク：ハルステッドプレス、チチェスター：エリスホーウッド、ISBN 0853124914、 ISBN 0470274530、ISBN 978-0470274538   
• シルヴィ・コルティールとジェレミー・ラブジョイ、フロベニウス分割とラマヌジャンの 1 ψ 1 {\displaystyle \,_{1}\psi _{1}} 総和の組合せ論
• ファイン、ネイサン J. (1988)、「基本的な超幾何級数とその応用」、数学調査とモノグラフ、第 27 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、ISBN 978-0-8218-1524-3、MR  0956465
• ガスパー、ジョージ、ラーマン、ミザン（2004）、基本超幾何級数、数学とその応用百科事典、第96巻（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-83357-8、MR  2128719
• ハイネ、エドゥアルド (1846)、「Über die Reihe 1 + ( q α − 1 ) ( q β − 1 ) ( q − 1 ) ( q γ − 1 ) x + ( q α − 1 ) ( q α + 1 − 1 ) ( q β − 1 ) ( q β + 1 − 1 ) ( q − 1 ) ( q 2 − 1 ) ( q γ − 1 ) ( q γ + 1 − 1 ) x 2 + ⋯ {\displaystyle 1+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\beta } -1)}{(q-1)(q^{\gamma }-1)}}x+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\alpha +1}-1)(q^{\beta }-1)(q^{\beta +1}-1)}{(q-1)(q^{2}-1)(q^{\gamma }-1)(q^{\gamma +1}-1)}}x^{2}+\cdots } "、数学に関するジャーナル、32 : 210–212
• Victor Kac、Pokman Cheung、『量子計算』、 Universitext、Springer-Verlag、2002年。ISBN 0-387-95341-8 
• Koekoek, Roelof; Swarttouw, Rene F. (1996). 直交多項式の Askey スキームとその q 類似体 (レポート). デルフト工科大学、第 98-17 号。セクション 0.2
• Andrews, GE, Askey, R. および Roy, ​​R. (1999). 特殊関数、数学とその応用百科事典、第 71 巻、ケンブリッジ大学出版局。
• Eduard Heine、Theorie der Kugelfunctionen、(1878) 1、97–125 ページ。
• エドゥアルド・ハイネ、クーゲル機能を備えたハンドブーフ。 Theorie und Anwendung (1898) シュプリンガー、ベルリン。

• Weisstein、Eric W.「q-超幾何関数」。MathWorld。