質量－光度関係

天体物理学において、質量光度関係とは、恒星の質量とその光度との間の経験的かつ理論的な関係のことである。この関係は次の式で表される。 $$\displaystyle {\frac {L}{L_{\odot }}}=\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{a}}$$ ここで、_L☉とM☉は_太陽の光度と質量であり、1 < a < 6である。^{[ 1 ]}主系列星には、 a = 3.5という値が一般的に使用される。^{[ 2 ]}この式と通常のa = 3.5という値は、質量が2 M☉ < M < 55 M☉の主系列星にのみ適用され、赤色巨星や白色矮星には適用されない。星がエディントン光度に近づくと_、a = 1_となる。

質量光度関係は、もともとは統計的な関係であり、おそらく1911年にヤコブ・カール・エルンスト・ハルムによって初めて指摘された。この関係を初期に発見した他の観測者としては、 1918年のエイナール・ヘルツシュプルングと、この関係が恒星のスペクトル型に依存しないことを示したアドリアーン・ファン・マーネンがいる。 ^{[ 3 ]} 1924年、アーサー・エディントンは、恒星内部過程の理論モデルが観測データと一致する関係を生み出すことを示した。^{[ 4 ] : 112}

質量範囲の異なる恒星の関係は、おおよそ次のようになります。^{[ 1 ] [ 5 ] [ 6 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {L}{L_{\odot }}}&\approx 0.23\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{2.3}&(M<0.43M_{\odot })\\{\frac {L}{L_{\odot }}}&=\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{4}&(0.43M_{\odot }<M<2M_{\odot })\\{\frac {L}{L_{\odot }}}&\approx 1.4\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3.5}&(2M_{\odot }<M<55M_{\odot })\\{\frac {L}{L_{\odot }}} }}}&\approx 32000{\frac {M}{M_{\odot }}}&(M>55M_{\odot })\end{aligned}}}$$

質量が 0.43 M☉未満の星の場合、対流が唯一のエネルギー輸送プロセスであるため、関係は大きく変化します。質量がM > 55 M☉_{の星の場合、}関係は平坦になり、L ∝ M ^{[ 1 ]}になりますが、実際には、これらの星は不安定で、強い太陽風によってすぐに物質を失うため、長続きしません。この変化は、大質量星の放射圧の増加によるものであることが示されています。 ^{[ 1 ]}これらの方程式は、標準的な視差測定またはその他の手法によって距離がわかっている連星系の星の質量を決定することによって経験的に決定されます。十分な数の星がプロットされると、星は対数グラフ上に線を形成し、その線の傾きがaの適切な値を与えます。    

K型主系列星に有効な、指数部の不連続性を回避する別の形式がCuntzとWangによって与えられました^{[ 7 ]} 。それは次のようになります。 $$\displaystyle {\frac {L}{L_{\odot }}}\approx \left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{a(M)}\qquad \qquad (0.20M_{\odot }<M<0.85M_{\odot })}$$ と $${\displaystyle a(M)=-141.7\cdot M^{4}+232.4\cdot M^{3}-129.1\cdot M^{2}+33.29\cdot M+0.215}$$ ( M in M _{☉ )。この関係は、マンと共同研究者}^{[ 8 ]}によるデータに基づいています。彼らは、既知の視差と干渉計で決定された半径を持つ近傍の後期K型およびM型矮星の中程度の解像度のスペクトルを使用して、それらの有効温度と光度を改良しました。これらの星は、ケプラー候補天体の較正サンプルとしても使用されています。この関係は、M  =  0.43 M _☉での指数の不連続性を回避するだけでなく、 M ≃ 0.85 M _{☉に対して}a  =  4.0も回復します。  

質量と光度の関係は、通常の視差測定では遠すぎる連星系までの距離を「動的視差」と呼ばれる手法を用いて求めることができるため重要です。^{[ 9 ]}この手法では、連星系の2つの星の質量を、通常は太陽の質量を基準として推定します。次に、ケプラーの天体力学の法則を用いて、星間の距離を計算します。この距離が分かると、空に張られる弧から距離を求めることができ、予備的な距離測定値が得られます。この測定値と両方の星の見かけの等級から光度を求め、質量と光度の関係を用いて各星の質量を求めます。これらの質量を用いて分離距離を再計算し、このプロセスを繰り返します。このプロセスを何度も繰り返すことで、5%もの精度を達成できます。^{[ 9 ]}質量/光度関係は、恒星の寿命を決定するためにも使用できます。寿命はおおよそM/Lに比例しますが、質量が大きい恒星ほど、M/L関係が予測するよりも寿命が短いことがわかります。より高度な計算では、恒星の時間の経過に伴う質量の損失を考慮に入れています。

理論的に正確な質量/光度関係を導出するには、エネルギー生成方程式を見つけ、星の内部の熱力学モデルを構築する必要があります。しかし、基本的な関係L  ∝ M ^{3 は}、いくつかの基本的な物理学と単純化された仮定を使用して導出できます。^{[ 10 ]}このような最初の導出は、1924 年に天体物理学者のアーサー・エディントンによって行われました。 ^{[ 11 ]}この導出は、星を理想気体として近似的にモデル化できることを示しており、これは当時としては新しい、やや過激なアイデアでした。以下では、同じ原理に基づいた、やや現代的なアプローチを紹介します。 

恒星の光度（単位時間あたりに放出されるエネルギー）を制御する重要な要素は、恒星内部でのエネルギー散逸率です。熱対流がない場合、この散逸は主に光子の拡散によって起こります。放射領域（対流が無視できる領域）の半径rの表面でフィックの第一法則を積分すると、エネルギー保存則により光度に等しい全放出エネルギー束が得られます。 $${\displaystyle L=-4\pi \,r^{2}D{\frac {\partial u}{\partial r}}}$$ ここで、Dは光子の拡散係数、uはエネルギー密度である。

ただし、これは恒星が完全な対流状態ではなく、すべての熱発生過程（元素合成）が放射層の下にある中心部で起こることを前提としていることに注意してください。これらの2つの前提は、通常の質量光度関係に従わない赤色巨星には当てはまりません。低質量星も完全な対流状態にあるため、この法則には従いません。

恒星を黒体で近似すると、エネルギー密度はステファン・ボルツマンの法則によって温度と関連付けられる。 $$u={\frac {4}{c}}\,\sigma _{B}\,T^{4}}$$ どこ $${\displaystyle \sigma _{B}={\frac {2\pi ^{5}k_{B}^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k_{B}^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.}$$ はステファン・ボルツマン定数、cは光速、k _Bはボルツマン定数であり、${\displaystyle \hbar }$は換算プランク定数です。

気体中の拡散係数の理論と同様に、拡散係数Dは近似的に次の式を満たす。 $${\displaystyle D={\frac {1}{3}}c\,\lambda }$$ ここでλは光子の平均自由行程である。

星の中心部では物質が完全に電離しているため（また、温度が中心部と同程度の大きさである場所でも）、光子は主に電子と衝突し、 λは$${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{n_{e}\sigma _{e\cdot \gamma }}}}$$ ここ${\displaystyle n_{e}}$電子密度と： $$\displaystyle \sigma _{e\cdot \gamma }={\frac {8\pi }{3}}\left({\frac {\alpha \hbar c}{m_{e}c^{2}}}\right)^{2}}$$ は電子-光子散乱の断面積であり、トムソン散乱断面積に等しい。αは微細構造定数、m _eは電子質量である。

恒星の平均電子密度は、恒星の質量Mと半径Rに関係している。$${\displaystyle \langle n_{e}\rangle ={\frac {M}{m_{n}4\pi R^{3}/3}}}$$

最後に、ビリアル定理により、全運動エネルギーは重力ポテンシャルエネルギーE _{G の}半分に等しいので、平均原子核質量がm _nの場合、原子核あたりの平均運動エネルギーは次の式を満たす。 $${\displaystyle {\frac {3}{2}}k_{B}T={\frac {1}{2}}E_{G}{\frac {m_{n}}{M}}=C{\frac {3}{10}}{\frac {GMm_{n}}{R}}}$$ ここで、温度Tは恒星全体で平均化された値であり、Cは恒星構造に関連する1程度の係数で、恒星の近似ポリトロピック指数から推定できます。ただし、放射圧が放射領域のガス圧よりも大きい十分に大きな恒星では、この関係は成り立たないため、温度、質量、半径の関係は異なり、以下で詳しく説明します。

まとめると、r は係数を除いてRと等しく、 rにおけるn _{e は}係数を除いて恒星の平均値に置き換えられます。太陽の場合、この係数は約 1/15 であり、次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}L&=-4\pi \,r^{2}D{\frac {\partial u}{\partial r}}\approx 4\pi \,R^{2}D{\frac {u}{R}}\\L&\approx {\frac {1}{15}}{\frac {64\pi ^{2}}{9}}{\frac {\sigma _{B}}{\sigma _{e\cdot \gamma }}}{\frac {R^{4}T^{4}m_{n}}{M}}\\&\approx {\frac {1}{15}}{\frac {2\pi ^{3}}{9\cdot 5^{5}}}{\frac {G^{4}\,m_{e}^{2}\,m_{n}^{5}}{\alpha ^{2}\hbar ^{5}}}\,M^{3}=4\cdot {10^{26}}_{W}\,\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3}\\\end{aligned}}}$$

追加された係数は実際にはMに依存しているため、法則は近似的に$\displaystyle M^{3.5}}$依存。

放射圧を用いて上記の結果を導出することで、恒星質量が小さい場合と大きい場合を区別することができる。この場合、光学的不透明度を用いる方が容易である。${\displaystyle \kappa }$_{そして内部温度 T I}を直接考慮する。より正確には、放射領域の平均温度を考慮することができる。

考察は、放射圧P _radと光度との関係に注目することから始まる。放射圧の勾配は、放射から吸収される 運動量伝達に等しく、次のようになる。$${\displaystyle {\frac {dP_{rad}}{dr}}=-{\frac {\kappa \rho }{c}}{\frac {L}{4\pi r^{2}}},}$$ ここで、cは光速である。${\displaystyle 1/\kappa \rho =l}$光子の平均自由行程。

放射圧は温度と次の関係にある。${\displaystyle P_{rad}={\frac {4\sigma }{3c}}{T_{I}}^{4}}$、 したがって $${\displaystyle {T_{I}}^{3}{\frac {dT_{I}}{dr}}=-{\frac {3\kappa \rho }{16\sigma }}{\frac {L}{4\pi r^{2}}},}$$ そこから直接導かれるのは $${\displaystyle L\varpropto {T_{I}}^{4}{\frac {R}{\rho }}\varpropto {T_{I}}^{4}{\frac {R^{4}}{M}}.}$$

放射領域では、重力はガス自体（理想気体の圧力で近似）と放射による圧力によって釣り合っている。恒星の質量が十分に小さい場合、後者は無視でき、次のようになる。 $${\displaystyle T_{I}\varpropto {\frac {M}{R}}}$$ 以前と同様。より正確には、積分は0からRまで行われたので${\displaystyle T_{I}-T_{E}}$左側では表面温度 T _{E は内部温度 T I}に比べて無視できる。

このことから直接次のことが導かれる。$${\displaystyle L\varpropto M^{3}.}$$

恒星の質量が十分に大きい場合、放射圧は放射領域内のガス圧よりも大きくなります。上記で使用した理想ガス圧の代わりに放射圧を代入すると、次のようになります。 $${\displaystyle {T_{I}}^{4}\varpropto {\frac {M^{2}}{R^{4}}},}$$ したがって $${\displaystyle L\varpropto M.}$$

第一近似では、恒星は表面積が^4πR²の黒体放射体である。したがって、ステファン・ボルツマンの法則から、光度は表面温度T _Sと関連付けられ、それを通して恒星の 色と次のように関係付けられる。$${\displaystyle L=4\pi R^{2}\sigma _{B}T_{S}^{4}}$$ ここでσ _Bはステファン・ボルツマン定数である。5.67 × 10 ⁻⁸  W m ⁻² K ⁻⁴

光度は、恒星が単位時間あたりに生成する総エネルギーに等しい。このエネルギーは通常、恒星の中心部で起こる元素合成によって生成されるため（赤色巨星の場合は当てはまらない）、中心部の温度は単位体積あたりの 元素合成速度によって光度と関連付けられる。$${\displaystyle L={\frac {dE}{dt}}\approx \epsilon \,{\frac {4\pi }{3}}R^{3}\,n_{A}\,n_{B}\,{\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {3m_{R}}}}\,{\sqrt {E_{0}(T)}}{\frac {S(E_{0}(T))}{kT}}e^{-{\frac {3E_{0}(T)}{kT}}}}$$ここで、εは連鎖反応または反応サイクル で放出される総エネルギーです。${\textstyle E_{0}=\left({\sqrt {E_{G}}}\,kT/2\right)^{2/3}}$はガモフピークエネルギーであり、ガモフ因子E _Gに依存します。さらに、S ( E )/E は反応断面積、nは数密度です。${\displaystyle m_{R}=m_{A}\cdot m_{B}/(m_{A}+m_{B})}$は粒子衝突の換算質量であり、 A、Bは制限反応に関与する2つの種である（例えば、両方とも陽子-陽子連鎖反応の陽子を表し、またはCNOサイクルのAは陽子、Bは¹⁴ ₇ N原子核を表す）。

半径Rは温度と質量の関数であるため、この方程式を解くことで中心温度を求めることができる。

• 質量光度比