カラナパッダティ

カラナパッダティ
著者	プトゥマナ・ソマヤジ
言語	サンスクリット
主題	天文学/数学
発行日	1733年（？）
出版地	インド

カラナパッダティは、ケーララ学派の天文学者であり数学者でもあるプトゥマナ・ソマヤジに帰せられるサンスクリットの天文学論文である。この著作の執筆時期は不明である。東インド会社の公務員であったCMウィッシュが、 1834年に出版した論文で初めてこの著作をヨーロッパの学者の目にとめた。^[1]この書物は10の章に分かれており、サンスクリットの詩の形をとっている。第6章には、数学定数πの値の級数展開と、三角関数の正弦、余弦、逆正接関数の展開が含まれている。^[2]

カラナパダティの著者と日付

カラナパッダティの著者については、はっきりしたことは何もわかっていません。カラナパッダティの第 10 章の最後の詩節では、著者はシヴァプラという村に住むバラモンであると説明されています。シヴァプラは、現在のインド、ケーララ州のトリシュール周辺の地域です。

ソマヤジが生きた時代も定かではない。これについてはいくつかの説がある。^[3]

カラナパダティについて書いた最初の西洋人であるCMウィッシュは、カラナパダティの最後の詩に現れる特定の単語がカタパヤディシステムでカリユガの日数を示しているという解釈に基づいて、この本が西暦1733年に完成したと結論付けました。ウィッシュはまた、カラナパダティの著者の孫が生きており、論文を書いた時点で70歳だったと主張しました。^[1]
ゴビンダバッタの『ガニタ・スチカ・グランタ』の一節におけるプトゥマナ・ソマヤジへの言及に基づいて、ラージャ・ラージャ・ヴァルマはカラナパッダティの作者を西暦1375年から1475年の間に位置づけた。^[3]^[4]
カラナパッダティの内部研究によると、この作品はニラカンタ・ソーマヤジ（1465-1545年）のタントラサングラハと同時期か、それよりも古いものであることが示唆されている。 ^[3]

本のあらすじ

本書の各章の内容を簡単に説明すると以下の通りである。^[5]

第 1 章 : 1マハーユガにおける惑星の自転と公転、マハーユガの常用日数、太陽月、太陰月、閏月、カルパと4 つのユガとその期間、カリユガの詳細、マラヤーラム語時代からのカリ紀元の計算、カリ日の計算、惑星の真の位置と平均の位置、数値計算の簡単な方法、惑星の真の位置と平均の位置の計算、惑星の軌道の詳細、さまざまな惑星のさまざまなパラメーターの計算に使用する定数。

第 2 章 :カリ時代に関連するパラメータ、惑星の位置、その角運動、月に関連するさまざまなパラメータ。

第 3 章: 月の平均中心と緯度と経度に基づく月のさまざまなパラメータ、月に関連する定数。

第 4 章 :火星の近地点と遠地点、火星に関してさまざまな場合に与えられる補正、火星、水星、木星、金星、土星のそれぞれの順序の定数、これらすべての惑星の近地点と遠地点、それらの合、それらの合の可能性。

第 5 章: 惑星の公転に基づく劫の分割、この劫の期間中の公転数、この劫の始まりからの地球の公転日と太陽日の数、この劫のマンヴァンタラの数とその他の詳細、4 つのユガに関する詳細。

第 6 章: さまざまな方法を使用した円周の計算、円周と直径の分割、円のさまざまなパラメーターの計算とそれらの関係、円、弧、弦、矢印、角度、さまざまなパラメーター間の関係、カタパヤディシステムを使用してこれらすべての要素を記憶する方法。

第 7 章 :月と太陽の周転円、惑星の遠地点と近地点、惑星が存在する黄道十二星座に基づく星座計算、昇り、沈み、遠地点、近地点に関連する弦、月の終わりを決定する方法、すべての惑星の周転円と遠地点の弦、その斜辺。

第 8 章:地球上のさまざまな場所の緯度と経度を決定する方法、緯度と経度の R 正弦と R 余弦、それらの弧、弦、およびさまざまな定数。

第 9 章 : アルファ星座の詳細、正しい角度値での惑星の位置の計算、星の位置の計算、さまざまな惑星、太陽、月、その他の星の緯度と経度に関連する視差。

第 10 章 : 惑星の影と影に関連するさまざまなパラメータの計算、惑星の位置の精度の計算。

無限級数表現

Karanapaddhati の第 6 章は数学的に非常に興味深いものです。定数πの無限級数表現と三角関数の無限級数展開が含まれています。これらの級数はTantrasangrahaにも登場し、その証明はYuktibhāṣāにあります。

πの級数表現

シリーズ 1

     最初のシリーズは、「vyāsāccaturghnād bahuśaḥ pr̥thaksthāt tripañcasaptādyyugāhr̥ tāni
     vyāse caturghne kramaśastvr̥ṇam svaṁ kurjāt tadā syāt paridhiḥ susuksmaḥ」という詩で指定されて

います。式

     π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

シリーズ2

2 番目のシリーズは、詩

     vyāsād vanasamguṇitāt pr̥thagāptaṁ tryādyayug-vimulaghanaiḥ
     triguṇavyāse svamr̥naṁ kramasah kr̥tvāpi paridhirāneyaḥ

で指定されており、これは

     π = 3 + 4 { 1 / ( 3 ³ - 3 ) + 1 / ( 5 ³ - 5 ) + 1 / ( 7 ³ - 7 ) + ... }

シリーズ3

π の 3 番目の系列は、

     vargairyjāṃ vā dviguṇairnirekairvargīkṛtair-varjitayugmavargaiḥ
     vyāsaṁ ca ṣaḍghanaṃ vibhajet phalaṁ svaṃ vyāse trinīghne paridhistadā syāt

に含まれており、これは

     π = 3 + 6 { 1 / ( (2 × 2 ² - 1 ) ² - 2 ² ) + 1 / ( (2 × 4 ² - 1 ) ² - 4 ² ) + 1 / ( (2 × 6 ² - 1 ) ² - 6 ² ) + ... }

三角関数の級数展開

次の節では、サイン関数とコサイン関数の無限級数展開について説明します。

     チャパッカタッタットパラトピタッドヴァトキャパ
     ハタッドヴァヤーディハタトリマウルヴィアラブダーニユグマニファラーニャアドホダハキャパダユグマーニキャビスタールダート
     ヴィンヤシャコーパリティヤジェットタットシェシャウこれらの式
は      、sin x = x - x ³ / 3

です。 +× ⁵ /5! - ...      cos x = 1 - x ² / 2! +× ⁴ /4！ - ...最後に、次の節で逆正接関数の展開を示します。 [      vyāsārdhena hatādabhiṣṭaguṇataḥ koṭyāptamaādyaṃ phalaṃ      jyāvargeṇa vinighnamādimaphalaṃ tattatphalaṃ cāharet ]エラー: {{Lang}}: 無効なパラメーター: |3= (ヘルプ) 指定された展開は      Tan ⁻¹ x = x - x ³ / 3 + x ⁵ / 5 - ...

参考文献

^ ab Charles Whish (1834)、「ヒンドゥー教の円の求積法と、4つのサストラ、タントラ・サグラハム、ユクティ・バシャ、カラナ・パダティ、サドラトナマラに示された円周と直径の比率の無限級数について」、英国およびアイルランド王立アジア協会紀要、3 (3)、英国およびアイルランド王立アジア協会: 509–523、doi :10.1017/S0950473700001221、JSTOR 25581775
^ Datta, Bibhutibhushan ; AN Singh (1993). 「インドにおけるシリーズの使用」.インド科学史ジャーナル. 28 (3): 103–129.
^ abc Bag, Amulya Kumar (1966). 「Karanapaddhati の三角法シリーズとテキストの推定年代」(PDF)。インド科学史ジャーナル。1 (2)。インド国立科学アカデミー: 98–106。^{[永久リンク切れ‍ ]}
^ ラジャラジャ・ヴァルマ・ヴァダクムクール。ケーララにおけるサンスクリット文学の歴史 (1 ～ 6 巻)。 Vol. 1.p. 529.
^ N. ゴパラクリシュナン (2004)。 Baharatheeya Vijnana / Saastra Dhaara (古代インドの科学書籍ハンドブック) (PDF)。ヘリテージ出版シリーズ。 Vol. 78. ティルヴァナンタプラム、インド：インド科学遺産研究所。 18～20ページ。2010 年1 月 12 日に取得。^{[永久リンク切れ‍ ]}

Venketeswara Pai R、K Ramasubramanian、MS Sriram、MD Srinivas、「Putumana Somayaji の Karanapaddhati」、詳細な数学的注釈付きの翻訳、HBA (2017) と Springer (2018) による共同出版。

その他の参考文献

オープンライブラリのKarana-paddhatiへの参照と2つの注釈[1]。
Bag, Amulya Kumar (1976). 「Madhava の正弦および余弦級数」(PDF) . Indian Journal of History of Science . 11 (1). Indian National Academy of Science: 54–57. 2010 年 2 月 14 日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2009 年12 月 17 日閲覧。
Bag, Amulya Kumar (1975). 「古代および中世インドにおける BY=AX ± C 型の不定方程式の積分解法」(PDF) . Indian Journal of History of Science . 12 (1). Indian National Academy of Science: 1–16 . 2010 年1 月 12 日閲覧。^{[永久リンク切れ‍ ]}
PKコル編（1953年）。プトゥマナソマヤジのカラナパダティ。チェルプ、ケーララ州、インド：Astro Printing and Publishing Company。
インド国立科学アカデミーは、2007年から2008年にかけて、インド工科大学歴史学部助教授K・ラマスブラマニアン博士（住所：ムンバイ400076）による「プトゥマナ・ソマヤジのカーラナ・パッダティの批判的研究と数学的注釈付き英訳の準備」と題するプロジェクトを開始しました。[2]（2010年1月13日閲覧）

[Whish-1] Charles Whish (1834)、「ヒンドゥー教の円の求積法と、4つのサストラ、タントラ・サグラハム、ユクティ・バシャ、カラナ・パダティ、サドラトナマラに示された円周と直径の比率の無限級数について」、英国およびアイルランド王立アジア協会紀要、3 (3)、英国およびアイルランド王立アジア協会: 509–523、doi :10.1017/S0950473700001221、JSTOR 25581775

[http://www.new.dli.ernet.in/rawdataupload/upload/insa/INSA_1/20005b5c_103.pdf-2] Datta, Bibhutibhushan ; AN Singh (1993). 「インドにおけるシリーズの使用」.インド科学史ジャーナル. 28 (3): 103–129.

[Bag-3] Bag, Amulya Kumar (1966). 「Karanapaddhati の三角法シリーズとテキストの推定年代」(PDF)。インド科学史ジャーナル。1 (2)。インド国立科学アカデミー: 98–106。^{[永久リンク切れ‍ ]}

[4] ラジャラジャ・ヴァルマ・ヴァダクムクール。ケーララにおけるサンスクリット文学の歴史 (1 ～ 6 巻)。 Vol. 1.p. 529.

[5] N. ゴパラクリシュナン (2004)。 Baharatheeya Vijnana / Saastra Dhaara (古代インドの科学書籍ハンドブック) (PDF)。ヘリテージ出版シリーズ。 Vol. 78. ティルヴァナンタプラム、インド：インド科学遺産研究所。 18～20ページ。2010 年1 月 12 日に取得。^{[永久リンク切れ‍ ]}