音響理論

音響理論は、音波の記述に関連する科学分野です。これは流体力学から派生したものです。工学的アプローチについては、音響学を参照してください。

音波の速度、圧力、密度の乱れの大きさに関係なく、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot (\rho '\mathbf {v} )&=0\qquad {\text{(質量保存則)}}\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\qquad {\text{(運動方程式)}}\end{aligned}}}$

速度、密度、圧力の変動が小さい場合、これらを次のように近似できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

ここで、は流体の摂動速度、は静止流体の圧力、は空間と時間の関数としてのシステムの摂動圧力、は静止流体の密度、は空間と時間にわたる流体の密度の変化です。 ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle p'(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \rho_{0}}$${\displaystyle \rho '(\mathbf {x} ,t)}$

速度が非回転速度（ ）の場合、システムを記述する音波方程式は次のようになります。 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =0}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\phi =0}$

私たちが

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\c^{2}&=({\frac {\partial p}{\partial \rho }})_{s}\\p'&=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\end{aligned}}}$

連続方程式とオイラー方程式から始めます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \rho \mathbf {v} &=0\\\rho {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\rho (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p&=0\end{aligned}}}$

一定の圧力と密度に小さな変動を加えると、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\rho _{0}+\rho '\\p&=p_{0}+p'\end{aligned}}}$

すると、システムの方程式は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho _{0}+\rho ')+\nabla \cdot (\rho _{0}+\rho ')\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla (p_{0}+p')&=0\end{aligned}}}$

平衡圧力と密度は一定であることに注目すると、これは次のように単純化される。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

まずは

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {w} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {w} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {w} \cdot \nabla )\mathbf {w} +\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

と設定することで、これらの方程式を移動媒体に適用することができます。ここで、 は乱される前の流体全体の移動速度（移動する観測者に相当）であり、 は流体の速度です。 ${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {u} +\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

この場合、方程式は非常に似ています。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '+\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

設定すると静止した方程式が返されることに注意してください。 ${\displaystyle \mathbf {u} =0}$

静止している媒体に対する上記の運動方程式から始めます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

では、すべてを少量として 考えてみましょう。${\displaystyle \mathbf {v} ,\rho ',p'}$

連続方程式の項を 1 次に保つ場合、項は 0 になります。これは、密度摂動と速度の時間微分を掛け合わせた場合にも同様に当てはまります。さらに、物質微分の空間成分は 0 になります。したがって、平衡密度を整理すると次のようになります。 ${\displaystyle \rho '\mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

次に、音波が理想的な流体中で発生すると仮定すると、運動は断熱的であり、圧力の小さな変化と密度の小さな変化を次のように関連付けることができます。

${\displaystyle p'=\left({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}}\right)_{s}\rho '}$

この条件の下では、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}+\rho _{0}\left({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}}\right)_{s}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

システムの音速の定義:

${\displaystyle c\equiv {\sqrt {\left({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}}\right)_{s}}}}$

すべてが

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}+\rho _{0}c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

流体が非回転の場合、つまり の場合、次のように書くことができ、運動方程式は次のように書くことが できます。${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =0}$${\displaystyle \mathbf {v} =-\nabla \phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}c^{2}\nabla ^{2}\phi &=0\\-\nabla {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

2番目の式は、

${\displaystyle p'=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$

そして、この式を連続方程式に用いると、次のことがわかります。

${\displaystyle \rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t}}-\rho _{0}c^{2}\nabla ^{2}\phi =0}$

これは次のように単純化される。

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\phi =0}$

したがって、速度ポテンシャルは、小さな擾乱の限界では波動方程式に従います。ポテンシャルを解くために必要な境界条件は、流体の速度がシステムの固定面に対して 0 法線でなければならないという事実から生じます。 ${\displaystyle \phi }$

この波動方程式の時間微分をとり、すべての辺に非摂動密度を掛けると、次のことが分かります。 ${\displaystyle p'=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p'}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}p'=0}$

同様に、 であることが分かりました。したがって、上記の式を適切に掛け合わせると、 ${\displaystyle p'=\left({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}}\right)_{s}\rho '=c^{2}\rho '}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\rho '}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\rho '=0}$

したがって、速度ポテンシャル、圧力、密度はすべて波動方程式に従います。さらに、他の3つを決定するには、そのような方程式を1つ解くだけで済みます。具体的には、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\p'&=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\end{aligned}}}$

ここでも、運動する媒体における音波の微小擾乱限界を導くことができる。ここでも、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '+\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

これを線形化すれば

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

それを私たちが見たので

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

流体が理想的で速度が非回転であるという前述の仮定をすると、

${\displaystyle {\begin{aligned}p'&=\left({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}}\right)_{s}\rho '=c^{2}\rho '\\\mathbf {v} &=-\nabla \phi \end{aligned}}}$

これらの仮定の下では、線形化された音の方程式は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla p'&=0\\-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \phi )-(\mathbf {u} \cdot \nabla )[\nabla \phi ]+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

重要なのは、 が定数なので となり、2番目の式から次のことがわかる。 ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \nabla )[\nabla \phi ]=\nabla [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]}$

${\displaystyle {\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'=\nabla \left[{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi \right]}$

あるいはそれだけ

${\displaystyle p'=\rho _{0}\left[{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi \right]}$

さて、この関係を という事実と合わせて、項を消去したり並べ替えたりすると、次の式が得られます。 ${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla p'=0}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}[(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {u} \cdot \nabla \phi )+{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]=0}$

これをよく知られた形で書くと、

${\displaystyle \left[{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \right)^{2}-\nabla ^{2}\right]\phi =0}$

この微分方程式は適切な境界条件で解かなければなりません。 を設定すると波動方程式が返されることに注意してください。いずれにしても、この方程式を移動する媒体について解くと、次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {u} =0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\p'&=\rho _{0}\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\phi \\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\phi \end{aligned}}}$

• 音響減衰
• 音
• フーリエ解析

• ランドウ、LD;リフシッツ、EM (1984)。流体力学(第 2 版)。バターワース＝ハイネナン。ISBN 0-7506-2767-0。
• フェッター、アレクサンダー、ワレッカ、ジョン (2003)。流体力学(第 1 版)。Courier Corporation。ISBN 0-486-43261-0。