モデル次数削減

モデル次数削減 (MOR) は、数値シミュレーションにおける数学モデルの計算の複雑さを軽減する手法です。そのため、メタモデリングの概念と密接に関連しており、数学モデリングのあらゆる分野に応用されています。

現実のプロセスの多くの最新の数学モデルは、複雑でサイズ (次元) が大きいため、数値シミュレーションで使用すると課題が生じます。モデル次数削減は、大規模な動的システムや制御システムのシミュレーションなどで、このような問題の計算の複雑さを軽減することを目的としています。モデルに関連付けられた状態空間次元または自由度を削減することで、一般に低次元モデルと呼ばれる元のモデルの近似値が計算されます。

低次元モデルは、完全なフルオーダーモデルを使用して数値シミュレーションを実行することがしばしば不可能な設定で役立ちます。これは、計算リソースの制限やシミュレーション設定の要件、たとえばリアルタイムシミュレーション設定や多数のシミュレーションを実行する必要がある多数クエリ設定が原​​因である可能性があります。^{[1] [2]}リアルタイムシミュレーション設定の例には、電子機器の制御システムやモデル結果の視覚化が含まれ、多数クエリ設定の例には最適化問題や設計探索が含まれます。実際の問題に適用できるようにするには、低次元モデルの要件は次のとおりです。^{[3] [4]}

• 完全順序モデルと比較すると、近似誤差は小さいです。
• 完全順序モデルの特性と特徴の保存（例：電子機器における安定性と受動性）。
• 計算効率が高く堅牢な低次元モデリング手法。

興味深いことに、いくつかのケース（例えば、多項式微分方程式の制約付き集約）では、近似誤差がゼロになり、正確なモデル次数削減につながる可能性がある。^[5]

現代のモデル次数削減技術は、大きく5つのクラスに分類できます。^{[1] [6]}

• 適切な直交分解法。^{[7] [8]}
• 縮小基底法^[9]
• バランス調整方法
• 単純化された物理学^[10]または操作ベースの削減方法^{[3] 。}
• 非線形多様体法。^{[11] [12]}

簡略化された物理学アプローチは、従来の数学的モデリングアプローチに類似していると言えます。従来の数学的モデリング アプローチでは、物理的な洞察やその他の方法で得られた情報を使用した仮定と簡略化に基づいて、システムのより単純な記述が構築されます。ただし、このアプローチは科学、工学、数学の一般的な方法であるため、モデル次数削減のコンテキストではあまり議論されません。

残りの方法は、投影ベースの削減のカテゴリに分類されます。投影ベースの削減は、モデル方程式またはソリューションのいずれかを、元のソリューション空間と比較して次元が削減されたベースに投影することに依存します。このクラスに分類されるが、あまり一般的ではない方法は次のとおりです。

• 適切な一般化分解^[13]
• 行列補間^[14]
• 伝達関数の補間
• 区分的接線補間
• ローナーフレームワーク
• （経験的）交差グラミアン
• クリロフ部分空間法^[15]

• RBmatlab:有限要素、有限体積、またはローカル不連続ガラーキン離散化による線形および非線形、アフィンまたは任意のパラメータ依存の進化問題に対するすべての簡略化されたシミュレーション手法を含む MATLAB ライブラリ。

• ANSYS 内のモデル削減: Ansys のマルチフィジカル有限要素モデルに Krylov ベースのモデル次数削減を実装します。Ansys 内のモデル削減によるモデルの簡素化は、コンポーネント開発の最適化戦略に適しているほか、電子機器、自動車、マイクロシステムの分野でコンパクトなモデルを全体的なシステム シミュレーションに統合するのに適しています。削減後も検査パラメータは保持されるため、設計やシステム シミュレーションに関して迅速に結果を得ることができます。

• pyMOR: pyMOR は、Python プログラミング言語を使用してモデル次数削減アプリケーションを構築するためのソフトウェア ライブラリです。主な焦点は、パラメーター化された偏微分方程式への簡約基底法の適用にあります。pyMOR のすべてのアルゴリズムは、外部の高次元 PDE ソルバーとシームレスに統合できるように、抽象インターフェイスに基づいて定式化されています。さらに、NumPy/SciPy 科学計算スタックを使用した有限要素および有限体積離散化の純粋な Python 実装が提供されており、すぐに開始できます。
• emgr:経験的グラミアン フレームワーク。経験的グラミアンは、モデル次数の削減、不確実性の定量化、またはシステム識別を目的として、線形および非線形制御システムに対して計算できます。emgr フレームワークは、グラミアン ベースのモデル削減用のコンパクトなオープン ソース ツールボックスであり、OCTAVE および MATLAB と互換性があります。
• KerMor:非線形動的システムのモデル次数削減ルーチンを提供するオブジェクト指向 MATLAB© ライブラリ。削減は、カーネル法または DEIM による非線形性のサブスペース投影と近似によって実現できます。POD-Greedy 法などの標準手順は、さまざまなシステム構成の高度な事後誤差推定と同様に簡単に実装できます。KerMor には、提供される機能にすぐに慣れるためのいくつかの実用的な例とデモ ファイルも含まれています。
• JaRMoS: JaRMoS は「Java Reduced Model Simulations」の略で、Java 対応プラットフォーム上で複数のソースからさまざまな縮小モデルをインポートしてシミュレーションできるようにすることを目的としています。現在、RBmatlab、KerMor、rbMIT 縮小モデルがサポートされていますが、インポートできるのは、rbAppMIT Android アプリケーションで以前に公開された rbMIT モデルのみです。これまでの拡張機能は、縮小モデルを実行するデスクトップ バージョンであり、KerMor カーネル ベースの縮小モデルの初期サポートが進行中です。
• MORLAB:モデル次数削減ラボ。このツールボックスは、行列方程式の解に基づいて線形動的システムのモデル次数を削減するための MATLAB/OCTAVE ルーチンのコレクションです。実装は、スペクトル投影法、たとえば行列符号関数と行列ディスク関数に基づく方法に基づいています。
• Dune-RB: Dune ライブラリのモジュール。さまざまな離散化のスナップショット生成と RB オフライン フェーズで使用するための C++ テンプレート クラスを実現します。シングル コア アルゴリズムの他に、このパッケージは、効率的なスナップショット生成のために並列化技術を使用することも目的としています。
• libROM:偏微分方程式と常微分方程式のシステムのモデル次数削減とハイパー削減を計算する C++ クラスのコレクション。libROM には、適切な直交分解のためのスケーラブルで並列の適応型メソッド、ハイパー削減のための並列の非適応型メソッド、およびランダム化された特異値分解が含まれています。libROM には、動的モード分解機能も含まれています。libROM には、物理​​学に基づいた貪欲サンプリング機能があります。
• Pressio: Pressio は、大規模コード用の投影ベースの低次元モデルの侵入的な性質を軽減することを目的としたオープンソース プロジェクトです。プロジェクトの中核は、汎用プログラミングを活用して、任意のデータ型を使用して共有または分散メモリ アプリケーションとインターフェイスする、ヘッダーのみの C++ ライブラリです。Pressio は、ガラーキン投影や最小二乗 Petrov–Galerkin 投影など、モデル縮小を実行するための多数の機能とソルバーを提供します。 Pressio エコシステムでは、(1)プロトタイピングを容易にする Python バインディング ライブラリのpressio4py 、(2)簡単に試すことができるエンドツーエンドのデモも提供するライブラリのpressio-tutorials (https://pressio.github.io/pressio-tutorials/ で入手可能)、(3) 大規模 SVD、QR、サンプル メッシュ用のライブラリのpressio-tools、(4) ROM とハイパーリダクションをテストするための 1D、2D、3D デモ アプリケーション スイートのpressio-demoapps も提供しています。

モデル次数削減は数学的モデリングに関わるあらゆる分野に応用されており、^電子工学、^[16]流体力学、^[17]流体力学、^[18]構造力学、^[7] MEMS、^{[19]ボルツマン}方程式、^[8]設計最適化などのトピックに関する多くのレビュー[10] [13] が存在する。^{[14] [20]}

流体力学における現在の問題には、多くの異なるスケールで多くの効果を表す大規模な動的システムが関係しています。数値流体力学の研究では、多くの場合、 桁以上の自由度を持つナビエ-ストークス方程式を解くモデルが関係します。モデル次数削減手法の最初の使用は、1967 年の Lumley の研究にまで遡ります。^{[21]そこでは、流体の流れの問題に存在する}乱流と大規模なコヒーレント構造のメカニズムと強度を理解するために使用されました。モデル次数削減は、航空機の機体上の流れをモデル化するために、航空学でも現代的な応用が見出されています。 ^{[22] Lieu ら[23]}の例を見ると、 210 万を超える自由度を持つF16戦闘機のフル オーダー モデルが、わずか 90 の自由度のモデルに削減されています。さらに、次数削減モデリングは、血行動態のレオロジーや、血管系を流れる血液と血管壁との間の流体-構造相互作用の研究にも適用されています。 ^{[24] [25]}${\displaystyle 10^{6}}$

• 次元削減
• メタモデリング
• 主成分分析
• 特異値分解
• 非線形次元削減
• システム識別
• 反復有理クリロフ アルゴリズム(IRKA)

• Antoulas, Athanasios C. (2005).大規模動的システムの近似. SIAM. doi :10.1137/1.9780898718713. ISBN 978-0-89871-529-3. S2CID  117896525。

• Benner, Peter; Fassbender, Heike (2014)、「モデル次数削減: テクニックとツール」(PDF)、Encyclopedia of Systems and Control、Springer、doi :10.1007/978-1-4471-5102-9_142-1、ISBN 978-1-4471-5102-9、S2CID  11873649

• Antoulas, AC; Sorensen, DC; Gugercin, S. (2001)、「大規模システムのモデル削減法の調査」(PDF)、数学、コンピュータサイエンス、エンジニアリングにおける構造化行列、I (コロラド州ボルダー、1999)、Contemporary Mathematics、第 280 巻、プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学協会、pp. 193–219、CiteSeerX  10.1.1.210.9685、doi :10.1090/conm/280/04630、ISBN 978-0-8218-1921-0、MR  1850408

• Benner, Peter; Gugercin, Serkan; Willcox, Karen (2013)、パラメトリック システムのモデル削減手法の調査(PDF)

• Baur, Ulrike; Benner, Peter; Feng, Lihong (2014)、「線形および非線形システムのモデル次数削減: システム理論的観点」(PDF)、Archives of Computational Methods in Engineering、21 (4): 331–358、doi :10.1007/s11831-014-9111-2、S2CID  39068644

• Benner, Peter; Cohen, Albert; Ohlberger, Mario; Willcox, Karen (2017).モデルの縮約と近似: 理論とアルゴリズム. SIAM Publications. doi :10.1137/1.9781611974829. ISBN 978-1-611974-81-2。

• Antoulas, Athanasios C.; Beattie, Christopher A.; Gugercin, Serkan (2020). モデル削減のための補間法。SIAM。doi : 10.1137/ 1.9781611976083。ISBN 978-1-61197-607-6。

• モデル次数削減 Wiki
• パラメータ化されたシステムのモデル縮小
• 欧州モデル削減ネットワーク