リサジュー曲線

リサジュー曲線（/ ˈlɪsəʒuː / ）は、リサジュー図形またはボウディッチ曲線（/ ˈbaʊdɪtʃ /）とも呼ばれ、パラメトリック方程式系のグラフです。

x=A\sin(at+\delta ),\quad y=B\sin(bt),

これは、異なる角周波数（ aとb）を持つ、x方向とy方向の2つの垂直な振動の重ね合わせを表しています。

結果として得られた曲線の族は、 1815 年にナサニエル・ボウディッチによって調査され、その後 1857 年にジュール・アントワーヌ・リサジューによってより詳細に調査されました(この曲線は彼の名にちなんで名付けられました)。^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}このような動きは、特殊な種類の複雑な調和運動とみなすことができます。

図形の形状は、比率 $a /$ $b に影響されます。$ 比率が 1 の場合、周波数が a=b と一致すると、図形は楕円になります。特殊なケースとして、円( $A = B$ 、 $δ = π / 2$ ) や直線(位相シフトは π / 2 の任意の倍数でなければならない $)$ $が$ あります。 $\pi$ ラジアン： $\delta =n\pi \ (n\in \mathbb {N} )$ ⁠ )。周波数のいずれかにわずかな変化があると、1 サイクル後の x 振動が y の動きとわずかに同期がずれるため、楕円は閉じずに、次の軌道でわずかに隣接する曲線を描き、楕円の歳差運動として現れます。周波数が整数比、つまり $a$ $/$ $b$ $が$ $有理数$ である場合、パターンは閉じます。

もう一つの単純なリサジュー図形は放物線（ $b$ $/$ $a$ $=$ $2$ 、 $δ$ $=$ $π$ $/$ $4 ）です。ここでも、比率2から周波数を1つずらすと、軌跡$ $は閉じずに複数のループ$ $を$ $連続的に描き、$ 比率が有理数である場合にのみ閉じます。複雑で密なパターンが形成される可能性があります（下記参照）。

こうした曲線の視覚的な形状は、しばしば三次元の結び目を連想させ、実際、リサジュー結び目として知られるものを含め、多くの種類の結び目は平面上にリサジュー図形として投影される。

視覚的には、比率 $a$ $/$ $b$ $は$ 図形の「葉」の数を決定します。たとえば、比率が 3 / 1 または 1 / 3 の場合 $、$ 3つの主要な葉を持つ図形が生成されます (画像を参照)。同様に、比率が5 / 4の場合、 5 つの水平葉と 4 つの垂直葉を持つ図形が生成されます。有理比は閉じた (接続された) または「静止した」図形を生成し、無理比は回転しているように見える図形を生成します。比率 $A$ $/$ $B$ $は、$ 曲線の相対的な幅と高さの比率を決定します。たとえば、比率が2 / 1の $場合$ 、高さの 2 倍の幅を持つ図形が生成されます。最後に、 $δ$ の値は、図形が実際に 3 次元曲線であるかのように見た場合の、図形の見かけ上の「回転」角度を決定します。例えば、 $δ$ $= 0 の$ 場合、 $x 成分$ と $y$ 成分は完全に同位相になるため、結果として得られる図形は正面 (0°) から見た見かけ上の三次元図形として現れます。対照的に、 $δ がゼロでない場合は、左右回転または上下回転 ($ $a$ $/$ $b$ $の$ $比率による)$ のいずれかで回転したように見える図形が生成されます。

リサジュー図形（ $a = 1$ 、 $b = N$ （ $N$ は自然数））

\delta ={\frac {N-1}{N}}{\frac {\pi }{2}}

これらは、次数 $N$ の第 1 種チェビシェフ多項式です。この性質を利用して、パドヴァ点と呼ばれる点の集合が生成され、そこで関数をサンプリングして、定義域 $[-1,1] \times [-1,1]$ 上で関数の 2 変数補間または求積を計算できます。

リサジュー曲線とチェビシェフ多項式の関係は、それぞれの曲線を生成するリサジュー曲線を正弦関数ではなく余弦関数を用いて表現すると、より分かりやすくなる。

x=\cos(t),\quad y=\cos(Nt)

例

比率 $a$ $/$ $b$ $が$ 0 から 1 に増加するにつれて曲線が $適応していく様子を示すアニメーション$

$このアニメーションは、 a$ $/$ $b の$ $割合$ $を$ 0 から 1 まで 0.01 刻みで連続的に増加させたときの曲線適応を示しています( $δ$ $= 0$ )。

以下は、奇数の自然数 $a$ 、偶数の自然数 $b$ 、および $| a - b | = 1 の$ 場合のリサジュー図形の例です。

$δ = π / 2 、$ $a = 1$ 、 $b = 2$ $($ 1:2)
$δ = π / 2 、$ $a = 3$ 、 $b = 2$ $($ 3:2)
$δ = π / 2 、$ $a = 3$ 、 $b = 4$ $($ 3:4)
$δ = π / 2 、$ $a = 5$ 、 $b = 4$ $($ 5:4)
リサジュー図形：様々な周波数関係と位相差。最初の100、1000、5000個の素数の周波数の有限和を持つ、美的に興味深いリサジュー曲線が計算された。

世代

現代の電子機器が登場する以前は、リサジュー曲線はハーモノグラフを用いて機械的に生成することができた。

音響

ジョン・ティンダルは、音叉に小さな鏡を取り付け、鏡に明るい光を当てることでリサジュー曲線を生成しました。これにより、垂直方向に振動する明るい点が生成されました。次に、回転する鏡を使用してその点を反射し、広がった曲線を生成しました。彼はこの技術をアナログオシロスコープとして使用し、音叉の振動パターンを観察して定量化しました。後に、ヘルムホルツは次のようにリサジュー曲線を生成しました。彼は顕微鏡のレンズの1つを音叉に取り付けて、一方向に振動するようにして「振動顕微鏡」を作成しました。彼はバイオリンの弦に明るい点を付けました。次に、弦が反対方向に振動している間に顕微鏡を通して点を観察すると、リサジュー曲線が見えました。これは「ヘルムホルツ運動」と呼ばれています。^{[ 4 ]}

実践的な応用

リサジュー曲線は、オシロスコープを使用して生成することもできます（図参照）。オシロスコープ上で波形画像を表示するために、オクトパス回路を使用できます。2つの位相がずれた正弦波入力をXYモードのオシロスコープに入力すると、信号間の位相関係がリサジュー図形として表示されます。

プロのオーディオ業界では、この方法はステレオ音声信号の左右チャンネル間の位相関係をリアルタイムで分析するために用いられます。より大型で高度なオーディオミキシングコンソールでは、この目的のためにオシロスコープが内蔵されている場合もあります。

オシロスコープでは、 $x$ を CH1、 $y$ を CH2、 $A$ を CH1 の振幅、 $B$ をCH2 の振幅、 $a$ を CH1 の周波数、 $b$ をCH2 の周波数とすると、 $a$ $/$ $b$ $は 2 つのチャンネルの周波数の比であり$ 、 $δ$ $は$ CH1 の位相シフトです。

$a = 1$ 、 $b = 2$ のリサジュー曲線を純粋に機械的に応用した例として、 1900年代半ばに鉄道で普及したマーズライト型振動ビームランプの駆動機構が挙げられる。一部の機種では、ビームが横向きにいびつな8の字を描く。

a = bの場合の適用

この図では、プロットされている2つの信号の周波数と振幅は同一ですが、それらの間の位相差によって楕円形が形成されます。

線形時不変（LTI）システムへの入力が正弦波の場合、出力は同じ周波数の正弦波になりますが、振幅と位相が異なる場合があります。1つの信号を別の信号に対してプロットできるオシロスコープ（1つの信号を時間に対してプロットするのではなく）を使用して、LTIシステムへの入力に対して出力をプロットすると、 $a = b$ の特殊なケースではリサジュー図形である楕円が生成されます。

下の図は、出力振幅が入力振幅と等しいという特殊な場合における、異なる位相シフトに対するリサジュー図形の変化をまとめたものです。位相シフトは負の値^{[ b ]}で表され、正の (つまり物理的な) 遅延長 (ここで、 $遅延時間 = -c/f ・位相シフト 360°$ 、 ${\textstyle c}$ は光速であり、 ${\textstyle f}$ は入力正弦波信号の周波数であり、リサジュー曲線を定義する記号aとbと同じです。矢印はリサジュー図形の回転方向を示します。

位相シフトが 0° または -180° の場合、結果として得られるリサジュー曲線は直線となり、その直線の傾きは出力振幅と入力振幅の比として定義されます。^{[ c ]}位相シフトが -90° または -270° で、出力振幅が入力振幅と等しい場合、結果として得られるリサジュー曲線は完全な円になります。

工学分野では

リサジュー曲線は、実験テストでデバイスがメモリスタとして適切に分類できるかどうかを判断するために使用されます。また、既知の基準信号とテスト対象の信号という2つの異なる電気信号を比較するためにも使用されます。^[⁵^]^[⁶^]

大衆文化において

映画では

リサジューアニメーション

1960年代と1970年代のSFテレビ番組や映画では、ハイテク機器をシミュレートするために、オシロスコープにリサジュー図形が表示されることがあった。^{[ 7 ]}
アルフレッド・ヒッチコック監督の1958年の長編映画『めまい』のジョン・ホイットニーによるタイトルシークエンスは、リサジュー図形に基づいている。^[⁸^]

会社ロゴ

リサジュー図形は、グラフィックデザインにおいてロゴとして使用されることがあります。ロゴにおけるリサジュー曲線の非自明な（つまり、 $a \neq 0$ 、 $b \neq 0$ 、および $a \neq b$ ）使用例には、以下のようなものがあります。

オーストラリア放送協会( $a = 1$ 、 $b = 3$ 、 $δ = ⁠ π / 2 ⁠$ ) ^{[ 9 ]}
MITのリンカーン研究所（ $a$ ⁼ $3$ 、 $b$ $=$ $4$ 、 $δ$ $=$ $π$ $/$ $2$ $）$ ^[¹⁰ ]
ベルリンのオープンエアクラブElse ( $a$ $= 3$ , $b$ $= 2$ , $δ$ $=$ $⁠$ $π$ $/$ $2$ $⁠$ )
電気通信大学、日本（ $a$ $=$ $5$ 、 $b = 6$ 、 $δ = π / 2 ）$ 。
ディズニーの動画ストリーミングアプリ「Movies Anywhere」は、曲線を様式化したバージョンを使用しています。
FacebookがMeta Platformsにブランド変更したこともリサジュー曲線であり、大文字のMの形を反映している（ $a$ $= 1$ 、 $b = -2$ 、 $δ = π / 20 ）$ 。
ホームステート・ブリューイング社は、ロゴとして一期一会（いちごいちえ）と時間の経過を象徴する一期一会を掲げている^{[ 11 ]。}

現代美術において

ダダイストの芸術家マックス・エルンストは、穴の開いた絵の具の入ったバケツをキャンバスの上で振り回すことで、リサジュー図形を直接描いた。 ^{[ 12 ]}

音楽教育において

リサジュー曲線は、過去にハーモノグラフ[ ¹³^]^（異なる周波数比で振動する振り子で構成される装置）を用いて音程をグラフィカルに表現するために使用されてきました。異なる調律システムでは音程を定義するために異なる周波数比が使用されるため、リサジュー曲線を使用してそれらの違いを観察することで比較できます^{[ 14 ]} 。したがって、リサジュー曲線は、音程間および調律システム間の違いをグラフィカルに表現することで、音楽教育に応用されています。

注記

↑これが正確なリサジュー曲線にならない理由は、摩擦によって振り子の動きが減衰するからです。
↑例えば、位相シフトを+90°と表す代わりに、−270°と表す。
↑ディスプレイの垂直軸のスケールが水平軸のスケールと同じであると仮定します

参考文献

↑ Lawrence, JD (1972). A Cataloge of Special Plane Curves . Dover Publication. pp. 178–179 and 181–183, 1972. ISBN 978-0486602882。
↑ Cundy, H.; Rollett, AP (1989). Mathematical Models . Tarquin Pub. pp. 242–244 . ISBN 978-0906212202。
↑ウェルズ、 D. (1991). 『ペンギン版奇妙で興味深い幾何学辞典』ペンギン社。142ページ。ISBN 978-0140118131。
↑ Rossing, Thomas (2007), "A Brief History of Acoustics" , Springer Handbook of Acoustics , Springer, New York, NY, pp. 9–24 , Bibcode : 2007shac.book....9R , doi : 10.1007/978-0-387-30425-0_2 , ISBN 978-0-387-30425-0
↑ Palmer, Kenneth; Ridgway, Tim; Al-Rawi, Omar; et al. (2011年9月) 「リサジュー図形：個々の事例の根本原因分析のための工学ツール ― 予備的概念」。The Journal of Extra -corporeal Technology。43 (3 ) : 153– 156。doi : 10.1051/ject/201143153。ISSN 0022-1058。PMC 4679975。PMID 22164454。
↑ 「リサジュー曲線」 . datagenetics.com . 2020年7月10日取得。
↑ 「リサジュー図形からは程遠い」。ニュー・サイエンティスト。リード・ビジネス・インフォメーション：77。1987年9月24日。ISSN 0262-4079。
↑ McCormack, Tom (2013年5月9日). 「『めまい』はコンピュータグラフィックスを映画に導入したのか？」 rhizome.org . 2020年12月18日取得。
↑ 「リサジュー図形のABC」。ホロデック。オーストラリア放送協会。1998年。
↑ 「リンカーン研究所のロゴ」。リンカーン研究所。マサチューセッツ工科大学。2008年。 2008年4月12日取得。
↑ 「会社概要」 .ホームステート・ブルーイング・カンパニー. フロリダ州. 2024年。
↑ King, M. (2002). "マックス・エルンストからエルンスト・マッハまで：芸術と科学における認識論" (PDF) . 2015年9月17日取得。
↑ Whitty, H. Irwine (1893). The Harmonograph . Norwich, Yarmouth, & London: Jarrold & Sons Printers.
↑ Sierra, CA (2023). "リサジュー曲線の再帰性とチューニングシステムの視覚的表現" . Foundations of Science . 30 (2): 271– 279. doi : 10.1007/s10699-023-09930-z .

外部リンク

Mathworldのリサジュー曲線

インタラクティブなデモ

オシロスコープ上でリサジュー曲線が生成される様子を描写する3D Javaアプレット：
- NHMFLからのチュートリアル
- Chiu-king Ng による物理アプレット
詳細なリサジュー図形のシミュレーションJavaScriptでインタラクティブなスライダーを使用してリサジュー図形を描画する
リサジュー曲線：音程と振動する弦のグラフィカル表現をインタラクティブにシミュレーション
対話型リサジュー曲線生成器– JSXGraphを使用したJavaScriptアプレット
アニメーション化されたリサジュー図形
Wolfram Mathematicaのインタラクティブスライダーを使用したリサジュー図形のデモンストレーション

[1] これが正確なリサジュー曲線にならない理由は、摩擦によって振り子の動きが減衰するからです。

[6] 例えば、位相シフトを+90°と表す代わりに、−270°と表す。

[7] ディスプレイの垂直軸のスケールが水平軸のスケールと同じであると仮定します

[2] Lawrence, JD (1972). A Cataloge of Special Plane Curves . Dover Publication. pp. 178–179 and 181–183, 1972. ISBN 978-0486602882。

[3] Cundy, H.; Rollett, AP (1989). Mathematical Models . Tarquin Pub. pp. 242–244 . ISBN 978-0906212202。

[4] ウェルズ、 D. (1991). 『ペンギン版奇妙で興味深い幾何学辞典』ペンギン社。142ページ。ISBN 978-0140118131。

[5] Rossing, Thomas (2007), "A Brief History of Acoustics" , Springer Handbook of Acoustics , Springer, New York, NY, pp. 9–24 , Bibcode : 2007shac.book....9R , doi : 10.1007/978-0-387-30425-0_2 , ISBN 978-0-387-30425-0

[8] Palmer, Kenneth; Ridgway, Tim; Al-Rawi, Omar; et al. (2011年9月) 「リサジュー図形：個々の事例の根本原因分析のための工学ツール ― 予備的概念」。The Journal of Extra -corporeal Technology。43 (3 ) : 153– 156。doi : 10.1051/ject/201143153。ISSN 0022-1058。PMC 4679975。PMID 22164454。

[9] 「リサジュー曲線」 . datagenetics.com . 2020年7月10日取得。

[Information1987-10] 「リサジュー図形からは程遠い」。ニュー・サイエンティスト。リード・ビジネス・インフォメーション：77。1987年9月24日。ISSN 0262-4079。

[11] McCormack, Tom (2013年5月9日). 「『めまい』はコンピュータグラフィックスを映画に導入したのか？」 rhizome.org . 2020年12月18日取得。

[12] 「リサジュー図形のABC」。ホロデック。オーストラリア放送協会。1998年。

[13] 「リンカーン研究所のロゴ」。リンカーン研究所。マサチューセッツ工科大学。2008年。 2008年4月12日取得。

[14] 「会社概要」 .ホームステート・ブルーイング・カンパニー. フロリダ州. 2024年。

[15] King, M. (2002). "マックス・エルンストからエルンスト・マッハまで：芸術と科学における認識論" (PDF) . 2015年9月17日取得。

[16] Whitty, H. Irwine (1893). The Harmonograph . Norwich, Yarmouth, & London: Jarrold & Sons Printers.

[17] Sierra, CA (2023). "リサジュー曲線の再帰性とチューニングシステムの視覚的表現" . Foundations of Science . 30 (2): 271– 279. doi : 10.1007/s10699-023-09930-z .

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