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数学において、群のモジュラー不変量とは、正の特性（通常は群の位数を割り切る）のベクトル空間に作用する有限群の不変量である。モジュラー不変量に関する研究は、1914 年頃に Dickson (2004) によって始まった。
ディクソン不変量
G が、環F q [ X 1 , ..., X n ] に自然に作用する、位数 a の有限体F q上の有限一般線型群GL n ( F q )である場合、Dickson (1911) は次のように不変量の完全な集合を発見した。要素がXである行列の行列式を[ e 1 , ..., e n ]と書く。 q e j
iここで、e 1 , ..., e n は非負の整数である。例えば、3次の
ムーア行列式[0,1,2]は
すると、 GL n ( F q ) の元gの作用により、これらの行列式はすべて det( g )で乗算されるため、それらはすべて SL n ( F q ) の不変量となり、比 [ e 1 , ..., e n ] / [0, 1, ..., n − 1] は GL n ( F q ) の不変量となり、ディクソン不変量と呼ばれる。ディクソンは、不変量F q [ X 1 , ..., X n ] GL n ( F q )の完全環が、i = 0, 1, ..., n − 1 に対してnディクソン不変量 [0, 1, ..., i − 1, i + 1, ..., n ] / [0, 1, ..., n − 1] 上の多項式代数であることを証明 した 。Steinberg (1987) は、ディクソンの定理のより簡潔な証明を与えた 。
行列 [ e 1 , ..., e n ] は、有限体F qの係数を持つ変数X iのすべての非ゼロ線形形式で割り切れます。特に、ムーア行列式[0, 1, ..., n − 1] は、体上の ( n – 1) 次元射影空間の 1 + q + q 2 + ... + q n – 1 個の代表 に対して取られたそのような線形形式の積です 。この因数分解は、ヴァンデルモンド行列式の線形因数分解に似ています。
参照
参考文献
- ディクソン、レナード・ユージン(1911)、「一般モジュラー線型群の不変量の基本システムとフォーム問題の解」、アメリカ数学会誌、12 (1): 75–98、doi : 10.2307/1988736、ISSN 0002-9947、JSTOR 1988736
- ディクソン、レナード・ユージン（2004）[1914]、不変量と数論について、ドーバー・フェニックス・エディション、ニューヨーク：ドーバー・パブリケーションズ、ISBN 978-0-486-43828-3、MR 0201389
- ラザフォード、ダニエル・エドウィン（2007）[1932]、モジュラー不変量、ケンブリッジ数学および数理物理学論文集、第27号、ラムゼイ・プレス、ISBN 978-1-4067-3850-6、MR 0186665
- サンダーソン、ミルドレッド(1913)、「バイナリモジュラー共変量への応用を伴う形式モジュラー不変量」、アメリカ数学会誌、14 (4): 489–500、doi : 10.2307/1988702、ISSN 0002-9947、JSTOR 1988702
- Steinberg, Robert (1987)、「不変量に関するディクソンの定理について」(PDF)、東京大学理学部紀要。第 IA 部。数学、34 (3): 699–707、ISSN 0040-8980、MR 0927606、2012年 3 月 5 日に オリジナル(PDF)からアーカイブ、 2010 年 12 月 2 日に取得