大きなq-ルジャンドル多項式

数学において、大q-ルジャンドル多項式は、ハイネの基本超幾何級数によって定義される直交多項式族である^[1]。

${\displaystyle \displaystyle P_{n}(x;c;q)={}_{3}\phi _{2}(q^{-n},q^{n+1},x;q,cq;q,q)}$。

これらは直交関係に従う

${\displaystyle \int _{cq}^{q}P_{m}(x;c;q)P_{n}(x;c;q)\,dx=q(1-c){\frac {1-q}{1-q^{2n+1}}}{\frac {(c^{-1}q;q)_{n}}{(cq;q)_{n}}}(-cq^{2})^{n}q^{n \choose 2}\delta _{mn}}$

制限的な行動をとる

${\displaystyle \displaystyle \lim _{q\to 1}P_{n}(x;0;q)=P_{n}(2x-1)}$

ここで番目のルジャンドル多項式です。^[要出典]${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle n}$