直交関数

数学において、直交関数は、双線型形式を備えたベクトル空間である関数空間に属します。関数空間が定義域として区間を持つ場合、双線型形式は区間上の関数の 積の積分になります。

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx.}$

関数と は、この積分がゼロのとき、つまり のときはいつでも直交します。有限次元空間のベクトルの基底と同様に、直交関数は関数空間の無限基底を形成できます。概念的には、上記の積分はベクトルの内積 に相当します。つまり、2 つのベクトルの内積がゼロであれば、それらのベクトルは相互に独立 (直交) です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \langle f,\,g\rangle =0}$${\displaystyle f\neq g}$

が非ゼロのL ²ノルムの直交関数の列であるとします。したがって、列はL ²ノルムが 1 の関数の列であり、正規直交列を形成します。定義されたL ²ノルムを持つためには、積分が有界でなければならず、関数は二乗積分可能に制限されます。 ${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}$ ${\textstyle \left\|f_{n}\right\|_{2}={\sqrt {\langle f_{n},f_{n}\rangle }}=\left(\int f_{n}^{2}\ dx\right)^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \left\{f_{n}/\left\|f_{n}\right\|_{2}\right\}}$

直交関数のいくつかの集合は、関数を近似するための標準的な基底となっている。例えば、正弦関数sin nxとsin mx は、nとm が正の整数であるとき、区間上で直交する。 ${\displaystyle x\in (-\pi ,\pi )}$${\displaystyle m\neq n}$

${\displaystyle 2\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)=\cos \left(\left(mn\right)x\right)-\cos \left(\left(m+n\right)x\right),}$

そして、2つの正弦関数の積の積分はゼロになる。^[1]これらの直交関数は、余弦関数とともに三角多項式に組み立てられ、区間上の与えられた関数をそのフーリエ級数で近似することができる。

区間上の単項式列から始めてグラム・シュミット過程を適用すると、ルジャンドル多項式が得られます。直交多項式の別の集合は、ルジャンドル随伴多項式です。 ${\displaystyle \left\{1,x,x^{2},\dots \right\}}$${\displaystyle [-1,1]}$

直交多項式の研究では、双線形形式に挿入される 重み関数が扱われます。 ${\displaystyle w(x)}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx.}$

ラゲール多項式の場合、重み関数はです。 ${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle w(x)=e^{-x}}$

物理学者と確率論者は両方とも、上のエルミート多項式を使用します。ここで、重み関数はまたは です。 ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}}$${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}/2}}$

チェビシェフ多項式は で定義され、重みまたはを使用します。 ${\displaystyle [-1,1]}$${\textstyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}}$${\textstyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$

ゼルニケ多項式は単位円上で定義され、半径部分と角度部分の両方が直交します。

Walsh 関数とHaar ウェーブレットは、離散範囲を持つ直交関数の例です。

ルジャンドル多項式とチェビシェフ多項式は区間[−1, 1]の直交族を提供しますが、時々[0, ∞)の直交族が必要になります。この場合、最初にケイリー変換を適用して引数を[−1, 1]にすると便利です。この手順により、ルジャンドル有理関数とチェビシェフ有理関数と呼ばれる有理直交関数の族が得られます。

境界条件を持つ線形微分方程式の解は、多くの場合、直交解関数（別名、固有関数）の加重和として表され、一般化フーリエ級数につながります。

• 固有値と固有ベクトル
• ヒルベルト空間
• カルフーネン・レーヴの定理
• ローリセラの定理
• ワニエ関数

• George B. Arfken & Hans J. Weber (2005) Mathematical Methods for Physicists、第 6 版、第 10 章: Sturm-Liouville 理論 - 直交関数、Academic Press。
• Price, Justin J. (1975). 「直交関数の話題」. American Mathematical Monthly . 82 : 594–609. doi :10.2307/2319690.
• ジョヴァンニ・サンソーネ （エインズリー・H・ダイアモンド訳）（1959）直交関数、インターサイエンス出版社。

• 直交関数、MathWorld にて。