カーネル（線形代数）

数学において、線型写像の核はヌル空間または零空間とも呼ばれ、共域の零ベクトルに写像される領域の部分であり、核は常に領域の線型部分空間である。 ^{[1]つまり、２つの}ベクトル空間VとW の間の線型写像L  : V → Wが与えられたとき、 Lの核は、L ( v ) = 0となるVのすべての元vのベクトル空間であり、ここで0 はWの零ベクトルを表す。^[2]またはより記号的には以下のようになる。 $${\displaystyle \ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}=L^{-1}(\mathbf {0} ).}$$

Lの核は定義域Vの線型部分空間である。^{[3] [2]} 線型写像において、Vの2つの元がWに同じ像を持つのは、それらの差がLの核にある場合のみである。つまり、 ${\displaystyle L:V\to W,}$$${\displaystyle L\left(\mathbf {v} _{1}\right)=L\left(\mathbf {v} _{2}\right)\quad {\text{ }}\quad L\left(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\right)=\mathbf {0} .}$$

このことから、第一同型定理により、 Lの像はVを核で 割った商に同型であることがわかります。$${\displaystyle \operatorname {im} (L)\cong V/\ker(L).}$$ Vが有限次元の場合、これは階数零定理を意味する。 ここで項$${\displaystyle \dim(\ker L)+\dim(\operatorname {im} L)=\dim(V).}$$ランクはLの像の次元を指し、${\displaystyle \dim(\operatorname {im} L),}$ヌル性はLの核の次元を指し、^[4] つまり、 ランクヌル性定理は次のように言い換えることができる。 ${\displaystyle \dim(\ker L).}$$${\displaystyle \operatorname {Rank} (L)=\dim(\operatorname {im} L)\qquad {\text{ および }}\qquad \operatorname {Nullity} (L)=\dim(\ker L),}$$$${\displaystyle \operatorname {Rank} (L)+\operatorname {Nullity} (L)=\dim \left(\operatorname {domain} L\right).}$$

Vが内積空間のとき、商はVのの直交補集合と同一視できる。これは、行列の行空間または共像 の 線型演算子への一般化である。${\displaystyle V/\ker(L)}$${\displaystyle \ker(L)}$

カーネルの概念は、スカラーが体ではなく環の要素であるベクトル空間の一般化であるモジュールの準同型にも意味をなします。マッピングのドメインはモジュールであり、カーネルはサブモジュールを構成します。ここでは、ランクとヌルの概念は必ずしも適用されません。

VとW が位相ベクトル空間でWが有限次元である場合、線型演算子L : V → Wが連続となるのは、 Lの核がVの閉部分空間である場合に限ります。

K体(通常はまたは)の係数を持つm × n行列Aとして表される線型写像を考えます。これは、 K上のn個の要素を持つ列ベクトルxに作用します。この線型写像の核は、方程式A x = 0の解の集合です。ここで、0 はゼロベクトルとして理解されます。Aの核の次元は、 Aの零点と呼ばれます。集合作成記法では、 行列方程式は線型方程式の 同次系に相当します。 したがって、 A の核は、上記の同次方程式の解の集合と同じです。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle \operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}\mid A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.}$$$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} \;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}}$$

m × n行列Aの体K上の核はK ⁿの線形部分空間です。つまり、Aの核である集合Null( A )には、次の 3 つの特性があります。

1. A 0 = 0なので、Null( A )には常にゼロベクトルが含まれます。
2. x ∈ Null( A )かつy ∈ Null( A )の場合、x + y ∈ Null( A )です。これは、行列の乗算と加算の分配法則から導かれます。
3. x ∈ Null( A )かつcがスカラー c ∈ Kの場合、A ( c x ) = c ( A x ) = c 0 = 0であるため、c x ∈ Null( A )となります。

積A x は、ベクトルのドット積で次のように表すことができます。 $${\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}.}$$

ここで、a ₁、...、a _{m は}行列Aの行を表します。したがって、x がAのカーネルに含まれるのは、 x がAの各行ベクトルに直交（または垂直）している場合のみです（直交性はドット積が 0 であると定義されるため）。

行列Aの行空間、または共像は、 Aの行ベクトルのスパンです。上記の理由により、Aの核は行空間の直交補集合です。つまり、ベクトルx がAの核内にあるのは、それがAの行空間のすべてのベクトルに垂直である場合のみです。

Aの行空間の次元はAのランクと呼ばれ、 Aの核の次元はAのヌル性と呼ばれます。これらの量はランク-ヌル性定理^[4]によって関連付けられています。 $${\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.}$$

行列Aの左ヌル空間、またはコカーネルは、 x ^T A = 0 ^Tとなるすべての列ベクトルxで構成されます。ここで、 T は行列の転置を表します。 Aの左ヌル空間は、 A ^Tのカーネルと同じです。 A の左ヌル空間は、Aの列空間の直交補空間であり、関連する線形変換のコカーネルの双対です。 Aのカーネル、行空間、列空間、および左ヌル空間は、行列Aに関連付けられた4 つの基本的な部分空間です。

カーネルは、非同次線形方程式の解においても役割を果たします。u とvが上記の方程式の 2 つの可能な解である 場合、方程式A x = bの 任意の 2 つの解の差は、Aのカーネルにあります。 $${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \quad {\text{or}}\quad {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}$$$${\displaystyle A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0} }$$

したがって、方程式A x = bの任意の解は、固定された解vとカーネルの任意の要素の合計として表すことができます。つまり、方程式A x = bの解のセットは、幾何学的に 、 A x = b の解のセットは、ベクトルvによるAのカーネルの変換であることを意味します。フレドホルム代替と平坦 (幾何学)も参照してください。 $${\displaystyle \left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)\right\},}$$

以下は、行列のカーネルの計算の簡単な図です (より複雑な計算に適した方法については、以下の § ガウス消去法による計算を参照してください)。この図では、行空間とカーネルとの関係についても触れています。

行列を考えてみましょう 。 この行列の核は、すべてのベクトル( x , y , z ) ∈ R ³で構成されており、 これはx、y、z を含む同次線形方程式系 として表現できます。 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}2x+3y+5z&=0,\\-4x+2y+3z&=0.\end{aligned}}}$$

同じ線形方程式は、次のように行列形式で表すこともできます。 $${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].}$$

ガウス・ジョルダン消去法によって、行列は次のように簡約されます。 $${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].}$$

行列を方程式の形で書き直すと次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {1}{16}}z\\y&=-{\frac {13}{8}}z.\end{aligned}}}$$

カーネルの要素は、次のようにパラメトリックベクトル形式でさらに表現できます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}\quad ({\text{where }}c\in \mathbb {R} )}$$

c はすべての実数にわたる 自由変数なので、これは次のようにも表現できます。 A の核は、まさにこれらの方程式の解の集合です (この場合は、R ³の原点を通る線)。ここで、ベクトル(−1,−26,16) ^{T は}Aの核の基底を構成します。 Aのヌル性は1 です。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.}$$

次のドット積はゼロです。 これは、 A のカーネル内のベクトルがAの各行ベクトルに直交していることを示しています。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad \mathrm {and} \quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0,}$$

これら2つの（線形独立な）行ベクトルは、ベクトル（−1,−26,16）^Tに直交する平面であるAの行空間を張ります。

Aの階数が 2 、 Aの無効性が 1 、Aの次元が 3 であることから、階数無効性定理の図が得られます。

• L : R ^m → R ⁿの場合、 Lの核は同次線形方程式の解の集合です。上の図のように、Lが演算子の場合、Lの核は方程式の解の集合です。$${\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})}$$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}}$$
• C [0,1]を区間 [0,1] 上のすべての連続実数値関数のベクトル空間として表し、規則L : C [0,1] → Rによって定義します。すると、 Lの核はf (0.3) = 0となるすべての関数f ∈ C [0,1]から構成されます。$${\displaystyle L(f)=f(0.3).}$$
• C ^∞ ( R ) をすべての無限微分可能関数R → Rのベクトル空間とし、D : C ^∞ ( R ) → C ^∞ ( R )を微分演算子とします。すると、 Dの核はC ^∞ ( R )内のすべての関数で導関数がゼロであるもの、つまりすべての定数関数の集合から構成されます。$${\displaystyle D(f)={\frac {df}{dx}}.}$$
• R ^{∞ を}Rの無限個のコピーの直積とし、s : R ^∞ → R ^∞をシフト演算子とします。すると、 sの核はすべてのベクトル( x ₁ , 0, 0, 0, ...)からなる 1 次元の部分空間になります。 $${\displaystyle s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ).}$$
• V が内積空間でW が部分空間である場合、直交射影 V → Wの核はVにおけるWの直交補空間です。

行列の核の基底はガウス消去法によって計算できます。

この目的のために、m × n行列Aが与えられた場合、まず行増加行列 を構築します。 ここで、Iはn × n単位行列です。${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}},}$

ガウス消去法（またはその他の適切な方法）によってその列階段形式を計算すると、 Aのカーネルの基底がCの非ゼロ列で構成され、Bの対応する列がゼロ列になるような行列 A が得られます。 ${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}.}$

実際、上側の行列が列階段形式になるとすぐに計算を停止できます。残りの計算は、上部がゼロである列によって生成されるベクトル空間の基底を変更することです。

例えば 、 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

行列全体の列演算によって上部を列階段形にすると、 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

Bの最後の 3 列はゼロ列です。したがって、 Cの 最後の 3 つのベクトルはA のカーネルの基底になります。 $${\displaystyle \left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]}$$

この方法がカーネルを計算することの証明: 列演算は可逆行列による事後乗算に対応するため、 がに簡約されるということは、列階段形式でとなる可逆行列が存在することを意味します。したがって、、、および です。列ベクトルが(つまり)のカーネルに属するのは、の場合に限ります。列階段形式で がそうであるように、の非ゼロ要素がのゼロ列に対応する場合に限ります。を乗算することにより、が の対応する列の線形結合である場合に限り、これが当てはまることが推測できます。${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}P={\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}},}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AP=B}$ ${\displaystyle IP=C}$${\displaystyle AC=B}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {0} }$${\displaystyle B\mathbf {w} =\mathbf {0} ,}$${\displaystyle \mathbf {w} =P^{-1}\mathbf {v} =C^{-1}\mathbf {v} }$${\displaystyle B}$${\displaystyle B\mathbf {w} =\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbf {v} =C\mathbf {w} }$${\displaystyle C}$

コンピュータ上でカーネルを計算する問題は、係数の性質に依存します。

行列の係数が正確に与えられた数値である場合、行列の列階段形式は、ガウス消去法よりもBareiss アルゴリズムでより効率的に計算できます。モジュラー演算と中国剰余定理を使用するとさらに効率的です。これにより、問題は有限体上のいくつかの類似の問題に縮小されます(これにより、整数乗算の計算の複雑さの非線形性によって引き起こされるオーバーヘッドが回避されます)。^{[引用が必要]}

有限体の係数に対してはガウス消去法がうまく機能しますが、暗号化やグレブナー基底計算で発生する大きな行列に対しては、計算の複雑さはほぼ同じで、より高速で、最新のコンピュータハードウェアでより適切に動作する、より優れたアルゴリズムが知られています。^[要出典]

要素が浮動小数点数である行列の場合、カーネルを計算する問題は、行数がそのランクに等しい行列に対してのみ意味を持ちます。丸め誤差のため、浮動小数点行列は、はるかに小さいランクの行列の近似であっても、ほぼ常にフルランクを持ちます。フルランク行列の場合でも、条件が適切である場合、つまり条件数が低い場合にのみ、カーネルを計算できます。^{[5] [出典が必要]}

条件の整ったフルランク行列であっても、ガウス消去法は正しく動作しません。ガウス消去法では、有意な結果を得るには大きすぎる丸め誤差が発生します。行列のカーネルの計算は、同次線形方程式を解く特別な例であるため、カーネルは同次システムを解くために設計されたさまざまなアルゴリズムのいずれかを使用して計算できます。この目的のための最先端のソフトウェアは、Lapackライブラリです。^{[引用が必要]}

Wikibooks には、線形代数/零空間に関する本があります。

• 「行列の核」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• カーンアカデミー、行列の零空間入門